矩陣空間保相似關系或合同關系的函數

楊巍

(廣西工業職業技術學院基礎教學部，廣西南寧530001)

矩陣空間保相似關系或合同關系的函數

楊巍

(廣西工業職業技術學院基礎教學部，廣西南寧530001)

設F是域，Mn(F)和Sn(F)分別記為F上n階全矩陣空間和n階對稱矩陣空間，刻畫了Mn(F)上保相似關系和Sn(F)上保合同關系的函數形式.

域;全矩陣空間;對稱矩陣空間;相似關系;合同關系

0 引言

F表示一個域，Mn(F)和Sn(F)分別記為F上n階全矩陣空間和n階對稱矩陣空間，Eij表示Mn(F)上(i，j)位置是1，其余位置是0的矩陣;Di(k)表示(i，i)位置是k，(j，j)位置是1(j≠i)，其余位置是0的初等陣;Tij(k)表示Mn(F)上(i，i)位置是1，(i，j)位置是k，其余位置是0的初等陣;對于任意A，B∈Mn(F)，若存在Mn(F)上的可逆陣P滿足PAP-1=B，則稱矩陣A與B相似，記為A～B;對于任意A，B∈Sn(F)，若存在Mn(F)上的可逆陣P滿足PAPT=B，則稱矩陣A與B合同;A⊕B表示矩陣的直和.

保持問題的研究是矩陣論研究中非?；钴S的一個領域［1-4］.設f為F到自身的映射，A=(aij)∈Mn(F)，記Af為矩陣(f(aij))，對于Mn(F)中任意相似矩陣A與B，均有Af與Bf相似，則稱f為Mn(F)的保相似關系的函數;如果對于Sn(F)中任意合同的矩陣A與B，均有Af與Bf合同，則稱f為Sn(F)的保合同關系的函數.此類問題的研究最初與積分被應用于線性代數有關［5］，后來Kalinowski［6-7］研究了保矩陣秩的函數，Hao等［8］研究了保矩陣固定秩k的函數，LI N N等［9］給出了保對合矩陣的函數的形式.本文是上述問題的擴展，推廣到更一般的保相似和保合同關系的函數的刻畫.

1 保相似結果

定理1.1設F是一個域，n≥3，則f為Mn(F)上保相似關系的函數當且僅當f為下述兩種形式之一:

根據相似矩陣有相同的特征根多項式，可得f(0)(f(0)-f(x))=0，由此可得如下兩種情形之一成立:

①f(0)=f(x)，?x∈F;

②f(0)=0，且存在d1≠0使得f(d1)≠0(否則同①).

由①推出結論(i)，下面我們分4步由②推出結論(ii).

Step1若f(d)=0，則d=0，?d∈F，即f為域F的單自同態.

利用反證法，設存在d2≠0使得f(d2)=0，由f保相似及d2E11～d2E11+d1E12可得(d2E11)f=0與(d2E11+d1E12)f=f(d1)E12≠0相似，與相似定義矛盾，結論成立.

Step2f(x+y)=f(x)+f(y)，?x，y∈F.

設

由f保相似及B=T32(1)·A·T32(-1)可知Af與Bf相似，又相似矩陣有相同的秩及Bf的秩≤2有Af的

Step3f(x)·f(y)=f(1)·f(xy)，?x，y∈F.

不妨設x，y均不為0，令A=xE12+xyE13+E22+yE23，B=E22+yE23

由f保相似及T12(x)·A·T12(-x)=B可知Af與Bf相似，同理由Bf秩≤1得到Af的秩≤1，即

Step4存在0≠c∈F及域F的單位自同態δ，使得f=cδ.

?x,y∈F，令f(1)=c≠0及δ=c-1f，易得δ(x+y)=δ(x)+δ(y);再由Step2有c-1f(xy)=c-1f(x)·c-1f(y)，即δ(xy)=δ(x)·δ(y).綜上結論成立.

2 保合同結果

定理2設F為域，n≥3，且chF≠2，則f為Sn(F)的保合同關系的函數當且僅當f為下述兩種形式之一:

(i)f為常函數;

(ii)存在0≠c∈F及域F的單位自同態δ，使得f=cδ.

證明:充分性顯然，下面證明必要性.

Step1若f(d)=0，則d=0，?d∈F，即f為域F的單自同態.

Step2f(x+y)=f(x)+f(y)，?x,y∈F.

由f保合同及T32(-1)·T31(-1)·A·T13(-1)·T23(-1)=B，從而Af與Bf合同，由合同矩陣有相同的秩及Bf

整理得:f(x+y)=f(x)+f(y)，?x,y∈F.

Step3f(x)·f(y)=f(1)·f(xy)，?x,y∈F.

不妨設x，y均不為0，令A=E11，B=E11+xE12+xE21+x2E22，由f保合同及T21(-x)·B·T12(-x)=A可知Af與 Bf相似，同理由Af的秩≤1得到Bf秩≤1即

由此式出發，用x+y代替其中的x可得f(1)f((x+y)2)=f2(x+y).

利用step2之結果及chF≠2結論可得.

Step4與定理1之Step4類似(略).

［1］楊巍.域上2階上三角矩陣空間保對合性的線性算子［J］.廣西工學院學報，2013，24(4):88-90.

［2］曹重光，張顯，唐孝敏.高等代數方法選講［M］.北京:科學出版社，2011.

［3］黃麗，劉敏.標準算子代數上完全保對合性的可加映射［J］.數學的實踐與認識，2012，42(10):156-162.

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［6］KALINOWSKI J.On Rank Equivalence and Rank Preserving Operators［J］.Journal of Mathematics Novi Sad，2002，32(1):133-139.

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［8］HAO L Z，ZHANG X.Functions Preserving Rank-k matrices of Order n over Fields［J］.Miskok Mathematical Notes，2005(6):197-200.

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Maps preserving similarity and congruence relations over matrix space

YANG Wei
(Department of Basic Courses，Guangxi Vocational＆amp;Technical Institute of Industry，Nanning 530001，China)

Suppose F is a field，we denote by Mn(F)and Sn(F)be the vector spaces of all n×n full matrices and all n×n symmetric matrices over F respectively.In this paper，the maps preserving similarity relation on Mn(F)and congruence relation on Sn(F)are given.

field;space of full matrices;space of symmetric matrices;similarity relation;congruence relation

O151

A

2095-7335(2016)02-0104-03

10.16375/j.cnki.cn45-1395/t.2016.02.018

(學科編輯:張玉鳳)

2015-12-22

2013年度廣西高等教育教學改革工程項目A類課題(2013JGA371)資助.

楊巍，碩士，講師，研究方向:線性保持問題，E-mail:312484068@qq.com.