含軸間距誤差的消隙齒輪剛柔耦合動力學仿真*

羅自榮，楊 政，尚建忠，于乃輝，曹玉君

(1.國防科技大學 機電工程與自動化學院， 湖南 長沙 410073； 2.北京信息高技術研究所， 北京 100095)

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含軸間距誤差的消隙齒輪剛柔耦合動力學仿真*

羅自榮1，楊 政2，尚建忠1，于乃輝1，曹玉君1

(1.國防科技大學 機電工程與自動化學院， 湖南 長沙 410073； 2.北京信息高技術研究所， 北京 100095)

軸間距誤差對消隙齒輪精度和性能有重要影響，但其機理和規律并不清楚。基于接觸碰撞力約束關系建立齒輪接觸動力學模型，進一步利用ADAMS/Flex 建立單級消隙齒輪傳動系統的剛柔耦合模型，通過剛柔耦合動力學仿真研究消隙齒輪傳動在不同軸間距制造誤差條件下的振動及頻率特性。研究發現：隨著軸間距的減小，扭簧的平均力矩增大，齒輪齒面間的嚙合力矩以及摩擦力矩也將增大，從而阻礙扭矩的正常傳遞，并導致固定齒輪轉速幅值降低；隨著軸間距的增大，固定齒輪主諧振頻率整體上降低，而且在軸間距稍大于標準中心距時降低很快。這一發現可指導消隙齒輪傳動的設計和裝配。

消隙齒輪；裝配參數；動力學；剛柔耦合

消隙齒輪機構是一種精密傳動裝置，既可消除齒輪本身誤差引起的齒隙，也可消除由溫度變化而引起的空程[1-2]。因此，消隙齒輪機構在工業機器人[3]、精密伺服機構[4-6]、雷達天線[7-9]、慣性穩定平臺[10-11]等精密工程領域應用廣泛。

消隙齒輪機構通常工作在頻繁啟動、制動、正反轉的載荷環境下，要求其具有高速、高精度、高穩定性的動力學特性。然而，目前大部分有關消隙齒輪的研究主要停留在結構設計計算、傳動精度及動力學層面，少有研究考慮其制造誤差對其精度和性能的影響。石輝[12]列舉了常用彈簧加載雙片齒輪的結構形式，建立了多種彈簧的力學模型并推導出彈性力矩及相關參數的計算公式；馬伯淵等[13]從靜力學的角度分析了彈簧消隙齒輪的受力情況，敘述了殘余回差的產生原因，并對某傳動機構中彈簧消隙齒輪傳動鏈的回程誤差進行了分析估算；Shim等[14]將雙片齒輪消隙系統用于一種農用拖拉機上以降低其動力輸出端(Power Take Off, PTO)的噪聲，利用經過實驗驗證過的仿真模型分析PTO的振動與噪聲，表明雙片齒輪消隙系統對PTO有很好的降噪作用；李國民[9]建立了雙片齒輪的扭振動力學簡化模型，對雙片齒輪固有頻率進行了分析計算；Naoki等[3]提出了一種具有消隙齒輪傳動關節的工業機器手臂控制方法，建立了一種具有三段柔性連接特性(three segment flexible joint characteristic)的消隙齒輪近似剛度模型，并對特性曲線進行了光滑處理； Kwon等[6]建立了含摩擦的消隙齒輪伺服機構動力學模型，其中消隙齒輪剛度模型同樣用典型的三段柔性連接曲線表示；Allan等[15]提出了一種計算消隙彈簧最小預緊力矩的方法，建立了不考慮時變嚙合剛度的多剛體系統扭轉運動學方程。

楊政等研究發現裝配工藝參數對其精度和性能有重要影響[16-19]，然而，建立包含裝配參數的動力學理論模型非常困難。軸間距誤差是齒輪傳動一種典型的制造誤差，其對消隙精度和動力學特性影響機理和規律并不清楚，因此，擬建立雙片消隙齒輪的接觸動力學模型和剛柔耦合動力學模型，通過動力學仿真研究消隙齒輪傳動不同軸間距制造誤差條件下的振動及頻率特性。

1 雙片消隙齒輪接觸碰撞動力學建模

雙片齒輪消隙機構的三維模型如圖1(a)所示，原理如圖1(b)所示。

(a) 三維模型(a) 3D model

(b) 工作原理圖(b) Working principle圖1 消隙齒輪機構的結構參數Fig.1 Structure parameters of anti-backlash gear mechanism

g1為主動齒輪，同時與齒輪g2和g3嚙合。g2為齒輪軸又稱固定齒輪，g3為空套在軸上的浮動齒輪，又稱為加載齒輪。加載齒輪和固定齒輪之間加一根扭簧，當兩片齒輪相對轉動一定齒數后，扭簧拉緊，然后將雙片齒輪與主動齒輪嚙合。由于扭簧的作用，固定齒輪和加載齒輪的輪齒分別與主動齒輪輪齒的兩個側面接觸。當主動齒輪順時針旋轉時，它與固定齒輪嚙合，加載齒輪則由于彈簧的作用，緊貼著主動齒輪的非工作側面，當主動齒輪逆時針旋轉時，立刻與加載齒輪嚙合，達到了消隙的效果，提高了傳動精度。

主動齒輪與固定齒輪、加載齒輪的動力學關系定義為基于接觸碰撞的力約束關系，即齒輪之間只能通過接觸碰撞力(法向)和摩擦力(切向)相互約束，而不存在其他的約束關系。

各嚙合齒輪輪齒之間的接觸碰撞采用Impact函數來計算接觸碰撞力，將實際中物體的碰撞過程等效為基于穿透深度的非線性彈簧-阻尼模型，其計算表達式為：

(1)

齒輪之間的接觸狀態判斷條件為：當x>x1時，兩齒輪不發生接觸，接觸力為0；當x

1.1 彈性力

彈性力表達式為K(x1-x)n，相當于一個非線性彈簧，彈性力分量中最主要的參數是接觸剛度系數K。接觸剛度系數與齒輪的材料屬性和接觸表面的幾何形狀有關，文獻[20]提供了接觸剛度計算式來計算各齒輪嚙合的齒廓面接觸剛度，即：

(2)

式中，R1，R2分別為相嚙合的兩齒廓面在嚙合點處的曲率半徑。對于漸開線齒輪，嚙合點在齒廓面上的位置是不斷變化的，其曲率半徑也時刻在變化，以兩輪齒在嚙合節點處嚙合作為計算點，則：

(3)

式中，m為模數，z為嚙合齒輪的齒數，α為節圓壓力角；h1，h2分別為材料參數，計算公式為：

(4)

式中，v為泊松比，E為彈性模量。

1.2 阻尼力

齒輪嚙合中的輪齒嚙合接觸阻尼系數一般采用非線性阻尼模型來計算，該模型認為齒輪表面接觸-碰撞過程中的能量損失是由接觸阻尼引起的，計算式為：

(5)

式中：e為彈性恢復系數，定義為接觸前法向速度差與接觸后法向速度差的比，跟齒輪的材料、碰撞表面曲率半徑、碰撞速度以及潤滑介質的黏度有關，一般通過實驗測定；δ為穿透深度；n為非線性指數；U為碰撞速度，以相嚙合的兩個齒輪在節點處的線速度的差值代替。

圖2 碰撞過程中的阻尼變化曲線Fig.2 Damping variation during collision process

1.3 摩擦力

接觸齒輪之間的摩擦力一般采用庫侖摩擦模型，摩擦力的函數表達式為：

f=-N·step(v,-Vs,-1,Vs,1)·step(|v|,Vs,Cs,Vt,Cd)

(6)

式中：N為法向力；v為表面相對滑移速度；Vs為最大靜摩擦對應的相對滑移速度；Cs為靜摩擦系數；Vt為動摩擦對應的相對滑移速度；Cd為動摩擦系數。

2 消隙齒輪剛柔耦合動力學建模

在基于接觸碰撞力約束關系的齒輪動力學模型的基礎上，擬結合柔性體系統動力學理論，利用ADAMS/Flex有限元分析軟件對消隙齒輪剛柔耦合系統進行動力學建模與動態特性分析。其中軸承支撐采用剛性連接，其余部件包括傳動軸、主動齒輪、固定齒輪以及加載齒輪均為柔性有限元模型，建立的剛柔耦合模型如圖3所示。

圖3 剛柔耦合模型Fig.3 Rigid-flexible coupling model

ADAMS/Flex是ADAMS軟件包中的一個集成可選模塊，提供了與ANSYS，MSC/NASTRAN，ABAQUS，I-DEAS等軟件的接口，可以方便地考慮零部件的彈性特性，建立多體動力學模型，以提高系統仿真的精度。

2.1 齒輪傳動軸柔性有限元建模

齒輪傳動軸采用柔性梁連接法，該方法將傳動軸離散為小剛性構件，小剛性構件之間通過柔性梁連接。傳動軸離散柔性連接件的變形是柔性梁連接的變形，并不是小剛性構件的變形，小剛性構件的任意兩點不能產生相對位移，所以離散柔性連接件本質還是在剛性構件的范疇內。

該方法的優點在于，建立的柔性體可以模擬齒輪傳動軸的非線性變形，可以直接幫助用戶計算傳動軸橫截面的屬性，比直接使用柔性梁連接將兩個構件連接起來方便。

2.2 齒輪柔性有限元建模

齒輪建模采用模態中性文件法，該方法是利用其他有限元分析軟件將齒輪離散成細小的網格進行模態計算，將計算的模態保存為模態中性文件(Modal Neutral File，MNF)直接讀取到ADAMS中建立柔性體。

計算MNF的有限元軟件有ANSYS，NASTRAN，I-DEAS以及ABAQUS等，在此采用ANSYS計算齒輪的MNF。計算得到的齒輪模態是構件自身的一個物理屬性，齒輪有限元模型的各個節點有一定的自由度，所有節點自由度的和就構成了齒輪有限元模型的自由度，該有限元模型有多少個自由度，齒輪就有多少階模態。由于采用的是模態線性疊加來模擬齒輪變形，因此模態式柔性體適用于線性結構的受力行為。

3 軸間距對消隙齒輪動力學的影響

引起齒輪的軸間距誤差的元素較多，包括齒輪偏心量、軸的柔性變形量、軸承游隙以及中心距偏差等。軸間距誤差是影響消隙齒輪精度和動力學性能的主要因素之一，但其影響精度和性能的機理和規律并不清楚。以下基于建立的消隙齒輪剛柔耦合動力學模型，通過動力學仿真研究消隙齒輪傳動不同軸間距制造誤差條件下的振動及頻率特性。各仿真參數設置如表1所示。

表1 仿真參數

3.1 軸間距對扭簧預緊力的影響

圖4為軸間距對扭簧預緊力的影響情況，可以看出，軸間距對扭簧預緊力的影響較大，在軸間距為最小值17.8 mm時，扭簧的平均扭矩為6378.32 N·mm，當軸間距增大到18.5 mm時，扭簧的平均力矩減小到183.46 N·mm。可見，隨著軸間距增大，扭簧的平均力矩持續減小。

圖4 軸間距對扭簧預緊力的影響Fig.4 Influence of shaft distance on the torsion spring preload

圖5(a)～(c)為齒輪的嚙合情況，可見，隨著中心距的增大，消隙扭簧在初始預緊力的作用下，固定齒輪與加載齒輪發生相對轉動，兩輪齒始終與主動齒輪的側齒面保持嚙合，表明軸間距并不影響消隙齒輪的靜態傳動精度。

(a) 軸間距17.8 mm(a) The shaft distance is 17.8mm

(b) 軸間距18.0 mm(b) The shaft distance is 18.0 mm

(c) 軸間距18.5 mm(c) The shaft distance is 18.5mm圖5 不同軸間距時消隙齒輪的嚙合狀態Fig.5 Mesh state of anti-backlash gear with variation of shaft distance

圖6為掃頻激勵過程中軸間距與固定齒輪轉速RMS的變化曲線，可以看出，隨著軸間距的增加，固定齒輪轉速RMS也不斷增加，并且當軸間距大于標準中心距時，固定齒輪轉速RMS值迅速增加，直至接近輪齒脫離。對照圖5，可進一步發現，當軸間距很小時，如圖5(a)所示，消隙齒輪副兩齒輪嚙合較深入，當有外部驅動時，兩齒輪由于齒側間隙變小無法正常嚙合運轉產生“卡死”的狀態，所以轉速無法起來。

圖7為軸間距與齒輪嚙合力的變化關系，由圖可知，隨著軸間距的減小，齒輪齒面間的嚙合力矩逐漸增大，由于嚙合力矩的增大而導致摩擦力矩同時增大，阻礙了扭矩的正常傳遞，因此，導致固定齒輪轉速幅值降低，“卡死”導致齒面間的接觸嚙合力增大。

圖6 固定齒輪轉速RMS隨軸間距的變化曲線Fig.6 Change of fixed gear speed with shaft distance

圖7 齒輪副嚙合力隨軸間距的變化曲線Fig.7 Change of mesh force with shaft distance

3.2 軸間距對諧振頻率的影響

圖8為固定齒輪主諧振頻率隨軸間距的變化曲線，可以看出，隨著軸間距的增大，固定齒輪主諧振頻率整體上是降低的，諧振頻率從524 Hz降低到344 Hz，而且在軸間距稍大于標準中心距時降低很快，如軸間距為18.1 mm到18.3 mm之間。

為了更深入研究軸間距對系統頻率特性的影響，本節統計出8組不同軸間距下，輸出軸端對應的三階諧振頻率值，并繪制出如圖9所示的輸出軸諧振頻率隨軸間距的變化曲線。從圖中可以看出，隨著軸間距的增加，輸出軸的各階諧振頻率不斷下降，并且幅度很大，就一階諧振頻率來看，從最高的458.9 Hz下降到49.4 Hz。究其原因：隨著軸間距的不斷增大，扭簧預緊力減小，輪齒間接觸貫穿深度減小，同時，接觸面積減小，根據接觸剛度分形理論，齒輪嚙合接觸剛度也變小，因此導致諧振頻率降低。

圖8 固定齒輪主諧振頻率隨軸間距的變化曲線Fig.8 Change of fixed gear resonance frequency with shaft distance

圖9 輸出軸諧振頻率隨軸間距的變化曲線Fig.9 Change of output shaft resonance frequency with shaft distance

4 結論

建立了單級消隙齒輪傳動系統的接觸動力學模型和基于ADAMS/Flex的剛柔耦合動力學模型，通過動力學仿真研究了消隙齒輪傳動在不同軸間距制造誤差條件下的振動及頻率特性，研究表明，軸間距并不影響消隙齒輪的嚙合狀態和靜態傳動精度；但軸間距對消隙齒輪的動力學特性有重要影響，減少的軸間距會增加齒輪齒面間的嚙合力矩以及摩擦力矩，阻礙扭矩的正常傳遞；軸間距增大，將降低固定齒輪的主諧振頻率，且在軸間距稍大于標準中心距時降低很快。上述發現對消隙齒輪傳動的設計、裝配和使用具有指導意義和借鑒作用。

References)

[1] 李丹. 傳動裝置齒隙位置對伺服系統的影響[J]. 重型機械科技， 2004(2): 26-31.

LI Dan. The influences to the servo system by the gear clearance of the driving device [J].Heavy Machinery Science and Technology， 2004(2): 26-31.(in Chinese)

[2] 謝鋒， 梁新立. 機構消隙的方法及應用[J]. 機械管理開發， 2011(2): 118-123.

XIE Feng， LIANG Xinli. The methods and application of eliminating clearances in structure [J]. Mechanical Management and Development， 2011(2):118-123.(in Chinese)

[3] Naoki I， Masayoshi T. Adaptive control of robot manipulators with anti-backlash gears[C]//Proceedings of IEEE International Conference on Robotics and Automation， 1995: 306-311.

[4] 周保牛， 葉穗. 數控雙齒輪消隙減速機的研制[J]. 制造技術與機床， 2008(12): 156-157.

ZHOU Baoniu，YE Sui. Development of double-gear eliminating backlash decelerator for CNC machine [J]. Manufacturing Technology & Machine Tool， 2008(12): 156-157.(in Chinese)

[5] 程登元. 一種雙電機消隙伺服系統[J]. 雷達科學與技術， 2009， 7(5): 392-396.

CHENG Dengyuan.A kind of double motor anti-backlash mechanism servo system [J]. Radar Science and Technology， 2009， 7(5): 392-396. (in Chinese)

[6] Kwon Y S, Hwang H Y, Lee H R, et al.Rate loop control based on torque compensation in anti-backlash geared servo system[C]//Proceeding of the America Control Conference, 2004.

[7] 高衛. 彈簧消隙小模數齒輪傳動鏈回差計算分析及工程應用[J]. 火控雷達技術， 1999(4): 31-34.

GAO Wei. Analysis of backlash in spring anti-backlash small modulus gear drive train and its engineering application [J]. Fire Control Radar Technology， 1999(4): 31-34. (in Chinese)

[8] 馬曉麗. 消隙拉簧設計[J]. 機械， 1997(02): 11-13.

MA Xiaoli. Extension spring design[J]. Machinery， 1997(2): 11-13. (in Chinese)

[9] 李國民. 雙片齒輪固有頻率計算分析[J].電子機械工程， 2001(3): 11-12.

LI Guomin. Calculation and analysis of double gear′s inherent frequency [J]. Electro-Mechanical Engineering， 2001(3): 11-12. (in Chinese)

[10] 廖洪波， 范大鵬， 范世珣. 消隙齒輪伺服系統動力學建模與頻率特性研究[J].航空學報， 2015， 36(3): 987-994.

LIAO Hongbo， FAN Dapeng， FAN Shixun. Research on the dynamics and frequency characteristics of anti-backlash gear system[J].Acta Aeronautica et Astronautica Sinica， 2015， 36(3): 987-994. (in Chinese)

[11] 羅自榮， 尚建忠， 范大鵬， 等. 導引頭伺服機構的結構非線性動力學特性研究[J]. 中國機械工程， 2010(21): 2521-2526.

LUO Zirong， SHANG Jianzhong, FAN Dapeng， et al. Study on the nonlinear dynamics of seeker servo mechanism[J]. China Mechanical Engineering， 2010(21): 2521-2526. (in Chinese)

[12] 石輝. 雙片齒輪用彈簧的彈性力計算[J]. 雷達與對抗， 2000(3): 45-50.

SHI Hui. Spring′s elastic force computation for double gear[J].Radar &Ecm， 2000(3): 45-50. (in Chinese)

[13] 馬伯淵， 李志武. 彈簧消隙齒輪傳動鏈回差分析估算[J]. 機械設計， 2001, 18(6): 40-42.

MA Boyuan, LI Zhiwu.Analytical estimation of backlash in spring anti-backlash gear drive train[J].Mechanical Design, 2001, 18(6): 40-42. (in Chinese)

[14] Shim S B, Park Y J, Kim K U.Reduction of PTO rattle noise of an agricultural tractor using an anti-backlash gear[J]. Biosystems Engineering， 2008， 100(3): 346-354.

[15] Allan P M, Levy N M.The determination of minimum pre-load torque for anti-backlash gears in a positional servo mechanism[J]. IEEE Transactions on Industrial Electronics and Control Instrumentation， 1980， 27(1): 1232-1239.

[16] Yang Z, Shang J Z, Yu N H, et al. Effects of shrink range and preload on dynamics characteristics of anti-backlash geared rotor-bearing system with composite mesh stiffness[J]. Journal of Vibroengineering， 2013， 15(4): 1642-1655.

[17] Yang Z, Shang J Z, Luo Z R. Effect analysis of friction and damping on anti-backlash gear based on the dynamics model with time-varying mesh stiffness [J]. Journal of Central South University, 2013， 20(12): 3461-3470.

[18] 楊政， 尚建忠， 羅自榮, 等. 扭簧加載雙片齒輪消隙機構綜合嚙合剛度[J]. 機械工程學報， 2013， 49(1): 23-30.

YANG Zheng， SHANG Jianzhong， LUO Zirong, et al. Research on synthesis meshing stiffness of torsional spring loaded double-gear anti-backlash mechanism[J]. The Journal of Mechanical Engineering，2013， 49(1): 23-30.(in Chinese)

[19] Yang Z, Shang J Z, Luo Z R, et al. Nonlinear dynamics modeling and analysis of torsional spring-loaded antibacklash gear with time-varying meshing stiffness and friction[J]. Advances in Mechanical Engineering, 2015, 5(4): 203438.

[20] 龍凱， 程穎. 齒輪嚙合力仿真計算的參數選取研究[J]. 計算機仿真， 2002， 19(6): 87-91.

LONG Kai， CHENG Ying. The research of parameters by the simulation of exciting force in gears[J]. Computer Simulation， 2002， 19(6): 87-91. (in Chinese)

Rigid-flexible coupling dynamics simulation of anti-backlash gear considering shaft distance errors

LUO Zirong1, YANG Zheng2, SHANG Jianzhong1, YU Naihui1, CAO Yujun1

(1. College of Mechatronics and Automation, National University of Defense Technology, Changsha 410073, China;2. Beijing Institute of Information High Technology, Beijing 100095, China)

It is widely recognized that the shaft distance errors have vital effect on the accuracy and performance of anti-backlash gear transmission system. However，the essential mechanism and property is still undiscovered. Based on the contact constrained dynamics model of anti-backlash gear transmission system，the rigid-flexible coupling dynamics model of anti-backlash gear transmission system was established by adopting the ADAM/ Flex. Then，the rigid-flexible coupling dynamics simulation was carried out to study the vibration and frequency characteristics of the anti-backlash gear transmission system with different shaft distance errors. It is discovered that the spring torque，contact force and the friction torque will increase with the decrease of shaft distance，which will hamper the normal motion of the active gear and reduce the magnitude of rotation speed of the fixed shaft ; the main frequency of the main shaft will decrease with the increase of shaft distance，and the decrease will be sharper when the shaft distance is a little more larger than the standard centre distance. These discoveries will be helpful in the design and assembly of anti-backlash system.

anti-backlash gear; assembly parameters; dynamics; rigid-flexible coupling

10.11887/j.cn.201605027

http://journal.nudt.edu.cn

2015-06-24

國家自然科學基金資助項目(51175505)

羅自榮(1974—)，男，湖南邵陽人，副教授，博士，碩士生導師，E-mail：luozirong@nudt.edu.cn

TP242

A

1001-2486(2016)05-170-06