考慮載荷作用次數的多失效模式扭力軸靈敏度分析*

劉 喆，陶鳳和，賈長治

(軍械工程學院 火炮工程系， 河北 石家莊 050003)

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考慮載荷作用次數的多失效模式扭力軸靈敏度分析*

劉 喆，陶鳳和，賈長治

(軍械工程學院 火炮工程系， 河北 石家莊 050003)

機械構件的不同的失效模式之間具有一定的相關性，而且隨機載荷作用次數對機械構件的可靠性有一定程度的影響。因此對機械構件進行可靠性靈敏度分析時，需要充分考慮其不同失效模式和載荷作用次數的影響。通過運用順序統計量理論考慮載荷多次作用以及多種失效模式條件下機械構件可靠性及可靠性靈敏度的變化規律，運用隨機攝動理論和四階矩技術，建立一種考慮載荷作用次數的多失效模式機械構件可靠性靈敏度分析數值方法的應力強度干涉模型。在隨機變量前四階矩已知的情況下，結合靈敏度分析的梯度算法，推導出關于隨機變量均值和方差的靈敏度計算公式。以某履帶車輛底盤扭力軸為例進行計算，得到其可靠度隨載荷作用次數、隨機變量均值和方差而改變的可靠性靈敏度變化曲線，為扭力軸的可靠性優化提供一定的理論依據。研究成果可以推廣到相關機械可靠性靈敏度設計和結構優化領域，具有非常重要的實用意義。

載荷作用次數；多失效模式；四階矩技術；扭力軸；靈敏度分析

隨著科技的發展，現代戰爭對于機械裝備的性能要求越來越高，機械裝備的可靠性提高更是一直研究的重點。可靠性是衡量機械產品質量的重要指標，它在機械結構設計、強度分析、壽命預測和失效模式分析等方面具有重要意義[1]，評估機械系統構件的可靠性對于整個系統的安全合理運行有重要的作用。傳統的設計方法對于機械構件的結構參數主要采用靜強度設計理論[2]，即用最大承受載荷增大安全系數的方法來保證系統具有足夠的可靠性，這樣設計出來的機械產品往往顯得特別笨重，許多設計者考慮使其結構質量減小的同時保證機械產品的可靠性不變甚至提高，這就需要對機械產品構件的結構參數變化對其可靠性的影響規律進行研究，即對機械產品進行可靠性靈敏度分析，降低結構參數對其可靠性影響的靈敏度，進而對機械產品的設計和結構優化提供一定的指導[2-3]。

履帶式車輛裝備的靈敏度分析是在可靠性基礎上進行的，它可以評價設計參數改變對履帶車輛裝備構件可靠性影響的大小，即車輛構件可靠性對其結構參數變化的敏感性[4-5]。目前對結構可靠性靈敏度的研究已經有了很大的發展，文獻[5]中較早地提出了可靠性靈敏度這一概念。就可靠性靈敏度分析方法來說，主要有基于矩方法和基于Monte Carlo的數值模擬分析方法[6]。靈敏度分析已經在可靠性分析、可靠性設計和可靠性優化領域有了很重要的應用前景[7-8]。

在機械零部件的可靠性建模中，當零部件在使用過程中存在多種失效模式時，就應當建立多種失效模式條件下的可靠性模型，而機械構件往往出現任意一種失效模式時都會導致構件的失效，而且幾種失效模式之間具有一定的相關性，因此在進行幾種機械構件的可靠性分析時需要建立考慮各失效模式相關性的串聯系統模型進行分析[9-11]。機械零部件和系統在運行使用過程中所承受載荷的作用往往是隨機和反復多次的[12-14]，故在機械零部件的可靠性建模中，應當同時考慮載荷的隨機性和作用次數對可靠性的影響。

本文針對在運行使用期間具有多種失效模式的履帶車輛的扭力軸構件，考慮多種失效模式相關性的情況，建立隨機載荷多次作用條件下扭力軸的可靠度計算模型，研究扭力軸可靠度隨載荷作用次數的變化規律，在此基礎上還研究了隨機變量的靈敏度隨載荷作用次數改變的變化規律，為扭力軸的結構優化做一定的探索研究。

1 多失效模式扭力軸力學模型

履帶式車輛扭力軸是行走系統中重要的傳力構件，工作中主要承受扭矩和彎矩載荷以平衡履帶車輛底盤系統以及推動整車運動，其結構簡圖如圖1所示。其危險截面上的最大正應力和剪切應力分別為σ=M/Wx和τ=T/Wρ，其中M和T分別為履帶車輛扭力軸所承受的彎矩和轉矩，Wx和Wρ為結構的抗彎和抗扭截面系數，且有：

(1)

(2)

圖1 扭力軸結構簡圖Fig.1 Structure sketch of torque axis

根據應力-強度干涉理論，運用應力極限狀態表示的扭力軸不同失效模式下狀態函數為：

靜強度失效：

(3)

其中，σs為材料靜強度極限。

疲勞強度失效：

(4)

其中：σ-1K為材料疲勞強度極限；α為剪切應力折算系數，一般取0.6。

扭轉剛度失效：

(5)

其中，[κ]為軸的許用偏轉角，κ為偏轉角，l為受扭轉作用軸的長度，G為材料的切變模量。

扭力軸工況條件下主要出現疲勞強度失效，但同時也有一定概率存在靜強度失效和扭轉剛度失效。且扭力軸出現以上任意一種失效模式時，都會導致其失效，故將其看作是所有失效模式組成的串聯系統失效模式來綜合考慮，如圖2所示。

圖2 多失效模式下扭力軸可靠性等效串聯系統
Fig.2 Equivalent series system of torque
axis with multiple failure modes

2 可靠性分析

機械零部件存在多種失效模式時，其可靠度和狀態函數可以表示為：

(6)

G(X)=(g1(X),g2(X),…,gn(X))T

(7)

其中，X=(X1,X2,…Xn)T為隨機變量的矩陣，gi(X)為第i種失效模式的狀態函數，G(X)為零部件整體的狀態函數，fG(G)為不同失效模式對應的概率密度函數。

由可靠性理論可知，不同失效模式的可靠性指標為：

(8)

Ri=Φ(β2Mi)

(9)

其中：μgi，σgi和β2Mi分別為不同狀態函數的均值、標準差和可靠性指標；Φ(·)為正態分布函數。

當結構隨機參數服從正態分布時，通過式(9)可以計算得到準確的結果。然而實際中各個結構參數的分布概型是未知的，無法獲得相關分布函數，只能通過統計方法得到各結構參數的前幾階矩。查閱文獻[6]得到根據狀態函數前四階矩近似計算不同失效模式的可靠性指標為：

(10)

(11)

(12)

不同失效模式的可靠度為：

Ri=1-Φ(-β4Mi)

(13)

考慮多失效模式機械零部件失效模式間相關性，應用概率攝動法確定的各階失效模式間協方差和相關系數為：

(14)

(15)

機械結構系統往往存在多種失效模式，而且發生一種失效模式以后機械零部件整體基本就失效了，因此可將機械零部件的多種失效模式當作串聯失效模型來計算。考慮各失效模式之間的相關性，則系統整體可靠度為：

R=1-Φ′(ρ,-βT)

(16)

β=(β4M1,β4M2,…,β4Mm)T

(17)

其中：Φ′為多維標準正態聯合概率分布函數；β為各階失效模式四階矩可靠性指標；ρ為失效模式相關系數矩陣，其每個元素由式(15)求得。

3 載荷多次作用下扭力軸可靠度計算

機械構件和機械系統在運行使用階段所承受的載荷是隨機和反復多次的，故在機械構件的可靠性分析建模時，應該同時考慮載荷隨機性以及作用次數對其可靠性的影響。在運用順序統計量理論建立隨機載荷多次作用時等效載荷的累積分布函數和概率密度函數的基礎上，建立多種失效模式下隨機載荷多次作用情況下的扭力軸可靠性模型。

隨機載荷多次作用在機械構件上，相當于從母體中抽取n次樣本，當機械構件在這n個樣本中載荷最大樣本載荷作用下沒有失效時，則在n次載荷作用下也不一定會失效。因此隨機載荷多次作用時扭力軸的可靠度等價于多次作用的載荷樣本中最大載荷對應的可靠度值。載荷樣本中最大載荷的值定義為載荷多次作用的等效載荷，由順序統計量理論，載荷作用n次的最大載荷即是載荷樣本所確定的最大順序統計量。

機械構件承受單一載荷作用時，根據載荷-強度模型，零部件承受載荷L為隨機變量，載荷引起的結構應力為s(L)，則零部件的可靠度為：

(18)

載荷多次作用于機械構件時，載荷大小是隨機的，其累積分布函數為FL(L)，概率密度函數為fL(L)，設隨機變量X為載荷樣本的最大值，即等效載荷。則載荷作用n次時等效載荷X的累積分布函數為：

FX(x)=[FL(x)]n

(19)

等效載荷X的概率密度函數為：

fX(x)=n[FL(x)]n-1fL(x)

(20)

將式(20)代入式(18)，由載荷-強度干涉理論模型可得隨機載荷作用n次時，扭力軸可靠度為：

(21)

將式(20)中的積分變量x換為L，式(21)可以寫成

(22)

不同的載荷作用次數對應不同的載荷累積分布函數和概率密度函數，進而可以計算得出不同載荷作用次數對應扭力軸的可靠度值。

4 可靠性靈敏度分析

可靠性靈敏度是結構參數對系統可靠度影響的敏感程度，數學上可以表示為系統的可靠度對結構參數的偏導。通過進行靈敏度分析，可以將設計變量對可靠度影響的大小進行排序，以此指導可靠性穩健優化設計。存在多種失效模式的時候，考慮其相關性，機械零部件的可靠度為：

R=1-Φ′(ρ,-β4M1,-β4M2,…,-β4Mm)

(23)

可確定系統可靠性R對隨機參數向量X中任意元素x的參數均值和方差靈敏度為：

(24)

(25)

其中，φ(·)為n維正態聯合概率密度函數。

(26)

(27)

(28)

(29)

(30)

(31)

(In?Un2×n2)[In?VAR(X)]

(32)

(34)

(35)

(36)

(37)

式(32)中，I為單位矩陣，U為標準上三角矩陣。將式(26)～(37)代入式(24)、式(25)，便可求得多種失效模式下機械零部件可靠度對于隨機變量均值和方差的靈敏度，從而得出履帶車輛扭力軸的結構參數變化對其可靠度的影響規律，進而指導扭力軸的結構改進設計。

5 數值算例

扭力軸的主要失效模式為：靜強度失效、疲勞強度失效和扭轉剛度失效。下面針對這三種失效模式來進行扭力軸的可靠度計算。

經查閱相關設計資料，某履帶車輛扭力軸材料的相關屬性參數如下：σs=450 MPa，σ-1K=360 MPa，G=220 MPa。將扭力軸結構的尺寸參數及其承受的外載荷作為隨機變量進行可靠性靈敏度計算，即X=(d,l,M,T)T，其概率統計特性見表1。

表1 隨機變量的統計特性(載荷作用1次)

應用式(16)和式(17)，求得各階失效模式間相關系數矩陣為：

可見，由于扭力軸結構的各階失效模式的隨機參數的同一性和載荷的同源性，失效模式之間是具有一定相關性。由四階矩方法計算得到的各階可靠性指標、各階可靠度以及結構整體可靠度見表2。

表2 扭力軸結構整體可靠度

計算得到扭力軸在多種失效模式聯合作用下的結構整體的可靠度R=0.942 1。

假設各失效模式之間是相互獨立的，即不考慮失效模式的相關性，可得扭力軸整體的可靠度為：Rind=R1R2R3=0.939 9。

運用Monte Carlo數學模擬方法得到傳動軸構件多種失效模式下的可靠度為：RMCS=0.946 1。

這是載荷作用1次的可靠度。如果考慮載荷作用次數，比如，取n=10 000，即載荷作用10 000次，這樣對應的前四階矩和可靠性指標都將重新計算，同時計算出相應的可靠度數值，設置計算步長為100次，將可靠度變化結果繪制曲線如圖3所示。

圖3 扭力軸可靠度變化曲線Fig.3 Diversification of reliability of torque axis

從圖3可以看出，隨著載荷作用次數的增加，扭力軸的可靠度是逐漸減小且單調的。當n=1時，扭力軸可靠度的計算結果和靜態分析時一致；當載荷作用次數增加到10 000時，扭力軸可靠度下降為0.918 8。這是由于載荷作用的隨機性和反復性，隨著載荷作用次數的增加，扭力軸構件內部應力逐漸增大，應力強度模型改變，可靠度隨著載荷作用次數的增加而出現逐漸減小的趨勢。

載荷作用次數為1時，由式(23)和式(24)，代入相關參數的已知數值，計算可得扭力軸可靠度對結構參數隨機變量的均值和方差靈敏度矩陣分別為：

從均值靈敏度計算結果可以看出，扭力軸直徑參數均值的增加將使構件可靠性增加；而扭力軸承受的扭矩作用距離l、彎矩M和轉矩T的增加，都將使構件可靠性降低，并趨于失效。另外，從具體的影響數值來看，結構尺寸均值的靈敏度大于外載荷的靈敏度，即扭力軸結構參數對可靠度影響的靈敏度從大到小依次是結構尺寸、扭矩作用長度、外載荷。因此，在機械構件產品的設計階段，可以通過優化設計結構參數的均值來提高產品的可靠度。

從方差靈敏度計算結果可以看出，各個隨機變量方差的增加都會導致扭力軸結構可靠度降低，即趨于失效。從具體的影響數值上來看，結構尺寸方差的靈敏度大于外載荷方差的靈敏度，即扭力軸隨機變量方差的靈敏度從大到小依次是結構尺寸、扭矩作用長度、外載荷。因此，在機械構件產品的制造階段，應該嚴格控制加工精度等對隨機參數方差有影響的因素，提高機械產品的可靠度。

分析載荷作用次數對結構參數靈敏度的影響規律，結構參數均值和方差的靈敏度變化曲線如圖4、圖5所示。

圖4 參數均值靈敏度變化曲線Fig.4 Diversification of sensitivity of mean

從圖4可以看出，d和l的靈敏度增長比其他三個參數要快，這表明載荷作用次數對d和l的靈敏度影響較大。直徑均值對扭力軸可靠度的影響是正向增加的，即直徑均值越大，可靠度值越大；尺寸、彎矩和扭矩對扭力軸可靠度的影響是負向的，即：參數均值越大，可靠度值越小。可以認為載荷作用次數的增加對彎矩和扭矩的均值靈敏度影響不大，而直徑均值對扭力軸可靠度的影響程度在n值比較大的區域比較明顯。

圖5 參數方差靈敏度變化曲線Fig.5 Diversification of sensitivity of variance

從圖5可以看出，所有參數的方差靈敏度都是隨著載荷作用次數增加而減小的，其中直徑和尺寸的方差靈敏度隨載荷作用次數增加變化比較明顯，彎矩和扭矩的方差曲線隨載荷作用次數的變化較小。

總體來說，隨著載荷作用次數的增加，扭力軸直徑的均值和方差對構件可靠度的影響比較明顯，其余參數的變化對可靠度影響較小。這是由于機械系統構件的可靠度在結構設計定型以后基本就確定了，所以其結構尺寸對其可靠度的影響是最主要的，數值計算結果和曲線圖也可以說明這一點。分析結果和通常定性的分析結果一致，這進一步說明運用靈敏度矩陣方法對扭力軸各結構參數分析結果的正確性。

6 結論

在考慮機械系統零部件多種失效模式具有相關性的條件下，研究機械構件的可靠性分析方法，建立了一種基于四階矩理論，考慮載荷作用次數的應力強度干涉可靠性模型。以履帶車輛扭力軸為例，對其結構參數的可靠性靈敏度進行分析，結果表明在考慮載荷作用次數時，扭力軸的可靠度隨載荷作用次數的增加而減小，同時，扭力軸截面直徑均值和方差的靈敏度隨著載荷作用次數的增加而逐漸增大。研究內容為扭力軸的靈敏度設計和結構優化研究做了一定的鋪墊和探索，對于機械系統的設計和制造具有一定的指導。研究方法可以推廣到相關機械可靠性研究領域，對機械系統的可靠性分析和優化具有一定的參考意義。

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Sensitivity analysis of torque axis considering times of load action with multiple failure modes

LIU Zhe, TAO Fenghe, JIA Changzhi

(Department of Mechanical Engineering, Mechanical Engineering College, Shijiazhuang 050003, China)

Several potential failure modes may occur when mechanical components fail, and they have several correlation in some way. For that the conditions of times of load action have an impact on the reliability of mechanical components. Thus it is necessary to take all the failure modes and times of load action into account when analyzing the mechanical reliability sensitivity. Combining the order statistic theory to study the influence of times of load action on the reliability and sensitivity calculation, and applying the probabilistic perturbation method, the research built a reliability calculation model of mechanical components with multiple failure modes and times of load action modes using the stress-strength interference mode. The calculating formulas of reliability sensitivity with respect to the mean and variance of random variables were derived with the gradient method. According to the result of the torque axis reliability sensitivity analysis, the curves of reliabilities and sensitivities can be obtained, and the production can be very useful if it is extended to correlated area of machine sensitivity design.

times of load action; multiple failure modes; fourth-moment technique; torque axis; sensitivity analysis

10.11887/j.cn.201605028

http://journal.nudt.edu.cn

2015-10-11

國家自然科學基金資助項目(51175508)；河北省自然科學基金資助項目(E2012506009)

劉喆(1988—)，男，陜西三原人，博士研究生，E-mail：lzlz1313@126.com；陶鳳和(通信作者)，男，教授，博士，博士生導師，E-mail：fhtao63@126.com

TH122

A

1001-2486(2016)05-176-07