初中生數學實驗觀的現狀分析與教學建議

孫朝仁

摘要：現代數學觀的發展，已由靜態的絕對主義的數學觀向動態的擬經驗主義的數學觀轉化，數學實驗觀則屬于動態的數學觀范疇。基于對417名初中生的問卷調查和訪談，結合課堂觀察，了解數學實驗觀的5個梯級現狀水平，發現初中生數學實驗觀念系統尚未真正形成。建議采取注重問題設計方案的實驗性、重視教材中實驗素材的使用性、強化問題解決實驗的價值性等實踐性舉措，以促進初中生數學實驗觀的形成。

關鍵詞：數學實驗觀；調查；教學建議

中圖分類號：G633.6 文獻標志碼：A 文章編號：1673-9094（2016）10A-0048-05

數學觀的現代發展，已由靜態的絕對主義的數學觀向動態的擬經驗主義的數學觀轉化。[1]前者認為數學是數學知識的簡單匯聚，后者則認為數學是人類的一種創造性活動，它是一個由數學理論、數學方法、數學問題和數學特有的符號語言等多種成分所組成的復合體。這種復合體是人類創造性活動的產物。著名的哲學家Lakatos認為，數學是既含有經驗成分又含有理性成分的一種非封閉的演繹系統即擬經驗的體系。就數學的研究過程、數學與其他科學的關系層面而言，數學具有形象性、似真性、擬經驗性、可證偽性的特點，對這些特點的強調就是為突出觀察、實驗、分析、比較、歸納、聯想、想象等思維過程的重要性。而數學實驗恰好是反映這些具有創造性思維成分的重要載體，符合初中生知覺思維水平、抽象思維尚待完善的特點，因此探討初中生數學實驗觀對初中數學教育意義重大。

同時，皮亞杰的認知發展理論與建構主義思想、弗賴登塔爾的“再創造”理論、迪恩思的四個學習原則（活動原則、結構原則、數學化原則、知覺變化原則）和學習過程的六個階段理論、比格斯的“實驗室法”、施瓦布“探究性學習法”、杜威的“做中學”理論等為“數學實驗觀”的形成提供了豐富的理論依據，因此研究以“做”為表征的初中生數學實驗觀，其價值毋庸置疑。

一、數學實驗觀的認識

“數學實驗觀”屬于動態的數學觀，是指學生在學習過程中建立起來的自覺“做”數學的習慣化意識水平，是關于數學實驗內涵、思想方法及其應用價值的綜合性認識。荷蘭范希爾（VanHiele）夫婦把幾何思維劃分為5個水平；水平1：直觀（visuality）；水平2：分析（analysis）；水平3：非形式化的演繹（informaldeduction）；水平4：形式的演繹（formaldeduction）；水平5：嚴密性（rigior）。把這“5維劃分法”借用到數學實驗認識論領域，則反映數學實驗觀水平的5個梯級層次。水平1：面對實驗素材有“做”實驗念頭，但沒有意識到數學實驗的直觀作用；水平2：意識到數學實驗的直觀作用，但仍流于任務性分析水平；水平3：習慣于單一實驗方法并進行非形式化拓展，但沒有意識到同一模型可以有多種實驗方法；水平4：面對棘手問題，有借助實驗發現問題解決突破口的意識，在直觀發現的基礎上進行多種形式化運演；水平5：面對困難問題組，有借助實驗直覺性發現問題解決的思維慣習，自覺優化解題方案和隱性變式。

二、現狀調查與分析

為把握學生數學實驗觀念水平，促進基本活動經驗積累的指向性教學水平，針對初中學生數學實驗觀的現狀，采用問卷、課堂觀察和結構性訪談相結合的方式進行調查分析。基于以上5層次水平劃分法分析，在查閱文獻的基礎上編制初始問卷，經歷試測并修改完善，研制出“初中學生數學實驗實驗觀的調查問卷”。以某市部分初中學校共426名學生作為研究對象（電腦隨機確認），于2015年1月，在不同層次4所中學進行問卷調查，共發放問卷426份，收回有效卷417份，有效回收率98%。問卷回收后，采用SPSS Statistics13.0軟件進行統計分析。

（一）初中階段學生數學實驗觀的基本概況

初中階段學生的數學實驗觀的現狀調查與分析（如表1）。

從表1可以看出，學生對數學實驗幫助學習的看法中，認為“幫助很大”的占33.8%，“有些幫助”的占51.1%。因此，可以確認初中學生基本認同數學實驗對數學學習的幫助。換句話說，數學實驗是初中學生數學學習不可或缺的一種方式，對數學思維發展起一種直觀的補助作用。對于“是否愿意用數學實驗方式進行學習”的問題，選擇“不太愿意”和“不愿意”的共占5.2%，這就從反面說明絕大多數初中學生喜歡用數學實驗的這種蘊含天性的學習方式進行數學學習，這與數學實驗先期調查數據有明顯的差異：先期調查數據顯示“愿意”以上的學生占89%，而本次調查高達94.8%，這說明數學實驗觀念漸次深入人心。對于“用數學實驗解決問題的實踐”這一問題，選擇“經常”的只有9.6%，選擇“偶爾遇過”的學生占61.1%。這表明僅有不到1成的學生經常借助數學實驗解決問題，9成以上的學生數學實驗的觀念不強，數據的背后反映了數學實驗觀念系統尚未真正形成，由“愿望”到“行動”還有很長的距離；另一個側面說明，傳統的標準化學習方式依然根深蒂固。在訪談中也了解到學生（尤其是學優生）認為數學實驗的“過程性”，會耽誤好多時間，盡管“經歷”能變遷為“客觀經驗”，在“作業”壓倒一切的學習時代，數學實驗觀念具有政策和教育指向的局限性。

（二）初中階段學生對不同“知識類型”實驗的看法

初中階段學生對不同“知識類型”的認識調查與分析（如表2）。

從表2可以看出，對于“概念性知識”用數學實驗方式處理的僅占9.5%，說明不到1成的學生意識到概念發生、發展和形成過程的重要性。這在很大層面上源于概念的“規定性”認識觀念根深蒂固，這與裴光亞先生所說的數學不允許有“前概念”是一脈相承的，忽略了數學教育是可以有“前概念”的說法。這有悖于裴光亞先生的“最好的老師是發現真理，最差的老師奉送真理，介于兩者之間的是闡釋真理”的現代數學教育觀的主張。對于“程序性知識”用數學實驗方式處理的只占9.3%，說明也只有不到1成的學生意識到原理（公式、法則）發現的重要性，也與傳統的“記憶+模仿”的原理課慣習分不開的。而“闡釋真理+創造模仿”具有數學實驗的傾向性占67.2%，說明數學實驗觀形成形態良好，而“創造模仿”意味著變式化傾向明顯，這就從另一個層面說明，中國傳統變式教育的優良傳統對中國數學教育的巨大貢獻。對“過程性知識”用數學實驗處理的方式即重視過程性占47.8%，這表明重視知識產生過程的比例呈上升趨勢，改變了傳統的“唯結果”的教育觀，這與“課標”倡導“課程內容組織要重視過程，處理好過程與結果的關系”的精神是一致的。“過程大于結果”“過程與結果并重”是數學實驗教學的終極目標，實驗更重視過程，唯有直觀的過程方能產生突如其來直覺的創造性，因此過程性知識需要過程成就，要重視過程意義豐富的數學實驗觀培養。endprint

（三）初中階段學生對不同“課型”數學實驗方法的看法

初中階段學生對不同“課型”的實驗方法的看法調查與分析（如表3）。

數學課堂通常分為若干模塊，其中概念課、原理課（也叫規則課）、習題課是教學的主體。從表3可以看出，對于“概念課”，采用“再發現過程法”即實驗法的高達78.1%，即有近8成的學生能自覺借助數學實驗理解概念，這說明數學實驗在概念的形成和理解層面為學生提供了很大的幫助。就概念形成的心理過程而言，抽象和概括是掌握概念的前提和基礎，而數學實驗為抽象、概括提供了直觀可行的抓手，因此數學實驗是學生理解概念的有效工具。對“原理課”，采用幾何背景意義法即學生借助實驗活動法來理解規則的比例高達67.9%，也就是說有近7成的學生能主動借助實驗的直觀性理解抽象的數學原理，這說明數學實驗能為抽象原理的認知理解提供幾何直觀。比如“因式分解”的抽象性，借助符合條件的長方形面積與邊長的關系就能直白的顯化，化隱為明、化抽象為具體，體現了數學實驗觀確立的本質初衷。對于“習題課”，采用內源變式思維法的學生有79.1%，多維建模法的有20.9%，也就是說有8成學生習慣變式思維，這和“智慧技能學習的唯一有效方法就是建立在理解基礎上的變式練習”的學習傳統是分不開的。先期數學實驗“揭示三角形內角和定理本質”的調查數據顯示：有52.1%的同學能用變式實驗法把握原理內涵。這些變式思想和高級意識都是學生的創造潛能得以發展的地氣，因此培養“課型”實驗觀至關重要。

（四）初中階段學生對數學實驗內源作用的看法

初中階段學生對數學實驗內源作用的看法訪談分析（如表4）。

S.Pirie和T.Kieren的超回歸數學理解模型。[2]超回歸數學理解模型由8個不同理解水平組成，即：原始認識、產生表象、形成表象、性質認知、形式化、觀察評述、構造化、發明創造。這8個理解水平包括了人們理解某一數學知識（概念、公式、原理等）所經歷的全過程。從表4可以看出，“原始認識”水平占98.3%，說明數學實驗幾乎能喚醒每一位同學已有認知經驗；遷移水平占9.3%，說明數學實驗作用傾向于高級思維認識，本源性遷移作用不明顯，要強化學生的“后臺經驗”圖式，使其轉化為“緩存經驗”，便于支取，方能提升由“知”到“識”能力遷移的水平，“打通”問題的突破口。“形成表象”水平占74.5%，表象是人腦對客觀事物的印象，這說明在數學實驗的幫助下大多數學生的思維水平都能達到現有知覺水平，而遷移賦值僅為27.9%，說明表象對內源思維建構的遷移作用不明顯，數學實驗在這一思維層面應該滲透功能性培育意識。“形式化”水平占40.1%，也就是說數學實驗幫助學生形成“一般化”產生式系統的能力比較強；遷移水平占47.5%，說明有近一半學生的思維圖式經驗的躍遷來自于數學實驗內源建構思維的作用。從數學教育視角證明，學生運用數學知識解決實際問題能力和創造力并不呈正態分布。“創造發明”水平占比例是7.8%，這說明不到十分之一的學生在數學實驗的幫助下能產生創造的直覺思維；遷移水平卻高達84.8%，說明數學實驗對學生經驗遷移能力作用顯著，這與“每個學生都擁有運用數學知識解決實際問題和創造力的潛能”研究結論是一致的。[3]

從訪談顯示的數據來看，數學實驗“5層級水平觀”建立意義重大，無論是創造潛能還是簡單化思想都是“上位”的行事觀，直接影響人生能力和生命質量。

三、教學建議

積累活動經驗是提高學生數學素養的“關鍵性標志”，是數學課堂教學的重要目標。數學實驗作為理解數學的特殊工具，本身帶有積累活動經驗的個性特征，因此，讓學生形成自動化實驗觀念意義重大。而實驗觀念產生、形成、發展需要教師的實踐性引領，方能讓行動成就觀念，讓觀念反哺行動，進而落實課程教育素養性目標。

（一）注重問題設計方案的實驗性

調查數據表明，對于“用數學實驗解決問題的實踐”這一問題，選擇“經常”的只有9.6%。這說明大部分學生的數學實驗觀念系統尚未形成，這就要求教師要加強教學引領，關注問題設計實驗傾向的研究和示范，凸顯實驗性，方能在實驗意識的滲透中形成穩定的實驗心理特征，進而初步形成實驗觀念。比如，蘇科版七年級上冊《豐富的圖形世界》教學，可以通過制作幾何體、認識幾何體（摸幾何體和說幾何體面、棱、頂點的特征）、設計幾何體方案三模塊學習。讓學生通過動手操作，理解從平面到空間的轉換過程，認識簡單幾何體的基本特征。設計這種實驗傾向的問題串意義不止于理解知識，更在于形而上素養積累，落實課程生命觀。

（二）重視教材中實驗素材的使用性

用數學實驗方式理解“過程性知識”的學生占47.8%，這說明有近一半的學生意識到，數學實驗對過程性知識理解起著不可替代的作用。為引領更多學生參與實驗理解“過程性”“程序性”知識，建議重視實驗素材的可使用性。換句話說，就是對課本呈現的實驗素材進行全角發掘其實驗功能，讓學生在實驗組織系統樣板實踐中，不自覺形成實驗的依賴性，進而養成“每一個學生”的實驗觀。比如，蘇科版七年級第105頁數學實驗室《月歷游戲》可全角拓展設計流程：猜數游戲、算數游戲、設計游戲、拓展游戲，以月歷為工具，通過游戲的形式展開實驗過程，在游戲中揭示月歷的排列規律，進而形成用列一元一次方程來解決問題的意識。這種由“猜想”到“實踐”到“創編”的命題實驗意識，使得學生形成模塊性實驗系統，有利于實驗觀的定性養成，提升實驗的知覺水平，落實課程教育發展觀。

（三）強化問題解決實驗的價值性

對于“概念課”，采用實驗發現法的學生占78.1%，說明學生的數學實驗觀念在概念理解領域初步形成；學生實驗超模型的“形式化”思維水平占40.1%，說明一部分學生意識到借助實驗有利于“一般化”圖式產生，而“形式化思維”標準下的學生的遷移水平占47.5%，說明數學實驗內源建構思維的作用比較顯著。為拓展學生現有實驗觀念意識區，建議強化提升問題解決實驗傾向的水平，體現實驗的價值性，讓學生在初級實驗觀念的指導下，由原初實驗觀上升為結構實驗觀，進而形成帶有鮮明個性的數學實驗慣習。比如，無理數概念的建立，可以通過兩組實驗來深化認識。實驗1：在數軸上表示面積為2的正方形的邊長 所對應的點（實物操作、計算機模擬）；實驗2：在數軸上表示圓周率 所對應的點（實物操作、計算機模擬）。這樣設計問題傾向有利于學生直觀理解“無理數也可以用數軸上的點表示”。這種在變異理論指導下的實驗傾向，有利于把握概念的本體價值，使得抽象因具體而抽象，具體因抽象而具體，反映數學實驗的本源價值，落實人文素養課程觀。

“問題設計方案的實驗性”側重于“做”實驗的念頭和實驗“直觀”性認識水平；“實驗素材的使用性”意味著多維度地解釋同一模型；而“問題解決實驗的價值性”則反映實驗“突破”意識和直覺的“從天而降”的創造價值，這些基于“理解數學”的實驗意識觀與數學認知過程包括感知覺、注意、表象、記憶、數學語言、數學思維與意識等過程性形態意識是一脈相通的，強調了數學實驗觀建立的發展性意義。

參考文獻：

[1]喻平，董林偉，魏玉華.數學實驗教學：靜態數學觀與動態數學觀的融通[J].數學教育學報，2015（2）：26-28.

[2]李淑文，張同君.“超回歸”數學理解模型[J].數學教育學報，2002（2）：21-23.

[3]王延文，王光明.數學能力研究導論[M].天津：天津教育出版社，1999.

責任編輯：徐瑞泰endprint