基于點接觸赫茲理論的圓柱齒輪彎曲應力有限元分析

王紅香，熊林根

(中國電子科技集團公司第二十一研究所，上海 200233)

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基于點接觸赫茲理論的圓柱齒輪彎曲應力有限元分析

王紅香，熊林根

(中國電子科技集團公司第二十一研究所，上海 200233)

基于點接觸赫茲理論，計算出圓柱齒輪嚙合接觸域的大小、方向和接觸力。利用Pro/E建立圓柱齒輪三齒實體模型，利用模擬出來的接觸應力進行加載，基于有限元法對一個嚙合周期內圓柱齒輪彎曲應力分布進行計算分析，并與實例進行對比，驗證分析的正確性。

接觸特性；有限元分析；圓柱齒輪；彎曲應力

0 引 言

利用ANSYS軟件來模擬齒輪嚙合分析，能為設計者在設計過程中參數的選擇以及實際加工機床參數的調整等提供比較直觀的判斷，ANSYS軟件是假設齒輪是剛性的基礎上，并且只有一對相互嚙合的齒，所以軟件分析有一定的局限性。本文簡要描述了基于點接觸赫茲理論模擬圓柱齒輪的真實嚙合域來計算圓柱齒輪彎曲應力的方法，并利用有限元法進行仿真。

1 基于點接觸赫茲理論的齒輪傳動的接觸域計算

1.1 基于點接觸的齒輪接觸域的確定

在M點接觸的兩個不規則形狀的彈性體(如圖1所示)，根據赫茲點接觸理論，在法向施加力F的情況下相互接觸，在公切面上彈性體接觸面之間距離相同的點構成橢圓域Ω。根據壓力與位移成正比的關系，軸向偏移最大點在橢圓域Ω中心處，其對應的接觸壓力因此也最大；同理，隨著邊緣到中心的位移逐漸增大，其對應的接觸應力也逐漸增大，而在邊緣上偏移量為零，所以壓力也為零。假設外力F、彈性體外形和材料常數固定，接觸域的形狀和大小可以計算得出。

圖1 接觸模擬圖

基于幾何圖形可知，物體表面到公切面上距離相等的點組成一個類橢圓域。基于接觸點的彈性系數以及主曲率與橢圓域的關系可得，橢圓域長短軸需符合式(1)：

(1)

式中：F為法向嚙合力；θ1及θ2由彈性模量決定，θ的計算值由式(2)給出：

(2)

式中：m為拉伸系數。由于m=1/μ，則上式可化簡：

(3)

式中：μi為泊松比；Ei為彈性模量，其中(i=1,2)；u,v是基于τ(ρ)查詢橢圓積分系數表得到的橢圓積分函數，

(4)

式中：K11、K12、K21、K22分別為兩曲面在M點處的主法曲率；ω為兩曲面主方向之間的夾角φ1。由上求出的橢圓域長短半徑的大小可確定接觸域的大小。

1.2 接觸橢圓域長短軸方向的計算

確定的接觸橢圓域長短軸方向，即誘導法曲率主方向的計算。以漸開線形式的齒輪為例，其曲面方程是以漸開線上的θ作為參數的。基于曲面切平面上的矢量計算方法可方便求出圓柱齒輪的兩個主方向如下：

(5)

式中：θ10為圓柱齒輪漸開線起始點到齒槽對稱線的角度；θ1為漸開線角度。該方向是基于小齒輪軸坐標系而得。

由主誘導法曲率和在該點兩曲面主曲率之間的關系可知，e11，e12，e1，e2是位于公切面上矢量，為方便分析，以接觸點作為坐標原點，如下圖。

圖2 誘導法曲率主方向分析坐標系

上圖中φg為誘導法曲率主方向到圓柱齒輪主方向之間的轉角 。

由式(5)在上圖所示坐標系下可得誘導法曲率主方向如下：

(6)

1.3 嚙合域應力分布

考慮橢圓接觸區域由中心到邊緣位移逐漸減小，因此相應的接觸壓力也逐漸減小，則在中心位置處壓力最大，接觸域邊緣壓力近乎為0。則載荷F在接觸區域上是按近似半橢球體分布的，稱之為法向應力橢球體，由下式決定：

(7)

式中：ρx為長軸半徑；ρy為短軸半徑。

當x=0,y=0時，給出最大應力如下：

(8)

用彈性系數θ1，θ2和主曲率K11，K12，K21，K22表示橢圓體長半徑ρx和短半徑ρy，則最大應力可表示：

(9)

2 齒輪傳動彎曲應力在ANSYS軟件上的分析實例

2.1 實例

給定小齒輪的參數如下：模數m=4，壓力角α=20°，齒數N1=22，齒寬b=35 mm，與之嚙合的圓柱齒輪的齒數為86。施加名義切向力Ft=1 000 N，選取圓柱齒輪三齒模型作為分析對象，利用ANSYS軟件進行分析。

材料的彈性模量E取2.06×105MPa，泊松比μ為0.3。利用ANSYS工具，采取八節點四面體單元SOLID45對三齒模型進行網格劃分。選用自由網格劃分，確定接觸域并對其進行網格局部細化，細化粒度在0.4 mm到0.7 mm之間，其他區域取單元棱長為1.5 mm。做過有限元顆粒度細化的模型如下圖。最終面齒輪網格的單元數為40 379，節點數為8 172。

圖3 圓柱齒輪模型網格圖

以小齒輪開始嚙合的轉角做為參考基準，設為φ=0.2°，選擇以下瞬態角度：齒底φ=2.7°，φ=5.3°，φ=7.8°，齒中φ=10.4°，φ=13.0°，φ=15.6°，齒頂φ=18.1°，φ=20.7°，φ=23.3°。

根據節1.1中的計算方法，在考慮齒間載荷分配的基礎上，對接觸域幾何尺寸計算如表1。

表1 各接觸域長短軸大小

由表1中數值可得：

1)從齒根到齒頂，嚙合域先變小后變大，在下半部達到最大值；

2)短軸遠小于長軸，因此嚙合域近似為分布在長軸上的線段。

根據節1.3中的計算方法，模擬齒輪嚙合中的嚙合域分布力如圖4所示。在忽略齒間載荷分配的情況下，從齒根到齒頂嚙合分布力逐漸變大，齒底位置嚙合點接觸域上分布力最小。

圖4 嚙合力模擬分布圖

根據上述計算結果，對圓柱齒輪三齒模型進行齒面應力加載，得出彎曲應力分布圖。圖5是嚙合轉角在10.4°和23.3°時的彎曲應力分布圖。

(a)φ=10.4°(b)φ=23.3°

圖5 圓柱齒輪彎曲應力云圖示例

利用ANSYS逐一仿真出上述10個嚙合過程中的彎曲應力分布，并將統計結果計入表2。表中，σF為最大彎曲應力，σFV為當量應力。

表2 圓柱齒輪齒根當量應力及彎曲應力計算結果

2.2 實際應用

由于空間站需實現推進劑的在軌補加，故需要補加系統，而補加系統中壓氣機是一關鍵單機，壓氣機能否可靠工作是補加過程能否成功實現的關鍵之一。電機組件作為壓氣機裝置的動力源，實現壓氣機的啟動、運轉和停機。圖6為我們提供給用戶的電機組件產品。

圖6 壓氣機用電機組件

由于用戶初期的技術指標提供錯誤，導致實際輸出力矩比計算值超出了4倍，最終產品在壽命試驗過程中出現太陽輪受力過大損壞現象。如圖7所示，損壞的齒都是在齒根位置斷裂，跟我們用軟件模擬的效果一樣。

圖7 損壞太陽輪

3 結 語

由上面計算結果及應用實例總結出下面幾點：

1) 由于圓柱齒輪的齒面輪廓在過度曲線處齒厚最小，導致嚙合過程中的最大彎曲應力均出現在齒根位置；

2) 受齒形齒廓和載荷分配系數的影響，最大彎曲應力并不是單調遞增，而是呈拋物線分布，在近齒頂處齒根彎曲應力出現峰值；

3) 以當量應力和彎曲應力的差值作為分析對象，可以發現隨著嚙合域從齒頂到齒根變化，其差值越來越大，這是彎曲應力逐漸變小的結果；

4) 以彎曲應力較大點的覆蓋范圍作為分析對象，可以發現隨著嚙合區域從齒頂到齒根逐漸變化，覆蓋區域逐漸變小，于此同時該區域隨齒嚙合域方向呈非對稱分布。

[1] 胡仁喜.ANSYS 8.2機械設計高級應用實例[M].北京：機械工業出版社，2005.

[2] 李特文.齒輪嚙合原理[M].上海：上海科學技術出版社，1984.

[3] 方宗德.齒輪承載接觸分析的模型和方法[J].機械傳動，1998(2)：1-3.

Bending Stress Analysis of Cylindrical Gear Based on Hertz′s Contact Theory

WANGHong-xiang,XIONGLin-gen

(No.21 Research Institute of CETC,Shanghai 200233,China)

The contact regions and the contact force distribution of the pinion were calculated based on the theory of point contact Hertz. The solid model of the pinion was built using Pro/E, the contact regions was simulated based on Hertz theory and the distribution of bending stress was calculated using ANSYS.

contact characteristic； finite element analysis； cylindrical gear； bending stress

2015-12-20

TH132.41

A

1004-7018(2016)06-0041-03