異常波動源模型下巨災標準期權及任選期權的定價

朱 丹

(湖南財政經濟學院基礎課部，中國 長沙 410205)

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異常波動源模型下巨災標準期權及任選期權的定價

朱 丹*

(湖南財政經濟學院基礎課部，中國 長沙 410205)

從定量的角度分析了巨災期權的價值構成,并在隨機利率下，考慮股票價格異常波動,利用Martingle Pricing方法推導出巨災標準期權及任選期權定價公式.

巨災標準期權；任選期權；風險中性定價；波動源模型

“巨災”是一個隨著社會發展而不斷變化的新概念，對它至今尚缺乏統一的定性與定量認識.一般從死亡人數、損失金額、影響范圍等特點對其加以界定.約定俗成的解釋是：“巨災”是指對人民生命財產造成特別巨大的破壞損失，對區域或國家經濟社會產生嚴重影響的災害事件，如：地震與海嘯、特大洪水、特大風暴潮、特大空難等.

近年來不斷攀升的巨災風險使得傳統的保險與再保險體系難以承受損失，為分散風險，傳統保險市場不得不與資金雄厚的資本市場結合，由此引發了保險領域的不斷創新，衍生了巨災債券、巨災期權、巨災期貨等金融新品.

1996年第一支針對保險公司設計的，標的物為普通股票的巨災股票看跌期權(Cat Put Option)在美國上市.這種巨災標準期權是以某種約定的股票價格為基礎而設計的期權合同，其基本構成要素與價值組成與一般的期權不完全相同，區別在于期權持有者(保險公司)只有在巨災損失額或災難次數超過事先規定的某一范圍才能行使權力.為更好地吸引投資者，證券市場又相繼推出了巨災指數期權、巨災颶風指數期權、巨災任選期權等金融新品.隨著各類巨災風險衍生品的問世，理論界與實務界對其定價問題展開了廣泛探討，對標準巨災期權的研究比較有代表性的是國外Cox和Robert[1]利用均衡價格理論與無套利定價原理得出的巨災風險債券定價模型，Hainaut[2]考慮了索賠抵達過程中隨機季節性影響，構建了巨災風險債券定價模型，利用快速傅里葉變換對息票價格進行求解，國內周洪海[3]、龔日朝[4]等利用保險精算原理研究了巨災指數期權定價模型，李永、劉鵑[5]運用非壽險精算的方法，利用利率期限結構中的BDT模型對臺風巨災債券的損失分布進行了擬合，但這些研究多假定利率為常數且股價服從幾何布朗運動.考慮到在市場實踐中，當巨災發生時，股票價格往往會產生異常波動，本文在一種由隨機波動源和異常波動源共同作用的股票價格波動模型——波動源模型[6]下探討巨災期權定價問題，它既考慮了大量的散戶交易者的不相關交易對股票價格造成的隨機波動，又考慮到了巨災產生時對股票價格造成的異常波動，因此，它能更精確地描述巨災期權對應股票價格的波動現象，更貼近現實市場.

本文在完備市場環境下,假設股票價格服從波動源模型，市場利率為隨機利率，利用鞅論及隨機微分方程理論，給出了巨災標準期權及任選期權的價格公式.

1 模型的假設及預備知識

1.1 模型假設

在給定的完備、無套利市場及帶流概率空間(Ω,F,P,(Ft)0≤t≤T)，總存在唯一的一個風險中性的等價鞅測度，使得市場中任何資產的貼現過程在此測度下為鞅.所以,不妨直接假設P本身即為一個風險中性鞅測度，市場有兩種資產：

(1)一種無風險資產，稱為債券或銀行存款，其價格過程滿足方程

(1)

其中，μ1(t),σ1(t)分別代表在時刻t的瞬間期望報酬率和瞬間標準差，是時間t的非隨機函數,Bt=B(t,T)為T時刻到期的零息票債券在時刻t的價格；

(2)另一種是股票,其對應的價格過程{St,0≤t≤T}為波動源模型，滿足方程

(2)

1.2 預備知識

為了得到股價波動源模型下巨災期權在任意時刻t的價值表達式,先引入下面的引理.

對任意的A∈F都成立，其中EP,EPL分別表示在測度P,PL下的數學期望，I表示示性函數.

引理2[10]設{Nt,0≤t≤T}是參數為λ的Possion計數過程，則對任意實數α，e(αNt+λ(1-eα)t)是P測度下的鞅.

其證明參見[9～10].

由引理2，可考慮將式(2)改寫成

(4)

其中，β=λ(1-eα).

2 異常波動源模型下巨災標準看跌、看漲期權的定價

巨災看跌期權到期時刻T的價值為：

巨災看漲期權到期時刻T的價值為：

其中K是約定的行權價格，n是約定的災難損失額下限值，兩者均為定值.

定理1 股價異常波動源模型下，巨災標準看跌、看漲期權在任意時刻t的價值為：

(5)

(6)

其中τ=T-t.

證 由于P為風險中性測度，故

令上式中的第一、二大項分別為V1,V2,先計算V1,為計算方便，選用Bt作為計價單位，定義測度Q,其關于測度P的Radon-Nikodym導數[11]為：

由Girsanov定理，Q是P的等價鞅測度，且如定義

(7)

再計算V2，選取St作為計價單位，定義新測度R，其關于測度P的Radon-Nikodym導數為：

由Girsanov定理，R是P的等價鞅測度，且如定義

(8)

由Girsanov定理的式(3)及引理2，可得

將V1,V2分別代入，得

類似計算，可得

3 異常波動源模型下巨災任選期權的定價

與標準期權相比，巨災任選期權事實上是一種復合期權[12]，其合約持有人可以在一個事先約定的時間T*(稱為選擇日)從到期日為T(T*≤T)的看跌和看漲期權中選擇一個執行，其規避風險的機會更多，其到期時刻T*的價值為

V(T*,T)=max{VC(T*,T,NT*,ST*),VP(T*,T,NT*,ST*)}，

其中，VC(T*,T,NT*,ST*)是巨災標準看漲期權在時刻T*的價值,VP(T*,T,NT*,ST*)是巨災標準看跌期權在時刻T*的價值，由定理1，容易得到以下推論,

推論1 在模型(1)和(2)假設下，到期日為T，選擇日為T*(T*≤T)的任選期權滿足

(9)

則式(9)可化為：

VP(T*,T,NT*,ST*)=VC(T*,T,NT*,ST*)+A1-A2.

(10)

定理2 股價異常波動源模型下，到期日為T，選擇日為T*(T*≤T)的巨災任選期權在任意時刻t(t

(11)

其中，

顯然，上式中的第一項可看成到期時刻為T，行權價格為K的巨災標準看漲期權在t時刻的價值，其結果可直接由定理1得到，為

(12)

而第二項可看成到期時刻為T*，行權價格為A1，到期價格為A2的巨災標準看跌期權在t時刻的價值，其計算為

令上式中的第一、二大項分別為V3,V4，先計算V3，將A1,A2代入，類似于前面V1的計算，將P測度轉換為Q測度，

(13)

而V4的計算類似于V2,將P測度轉換為R測度，可得

(14)

將式(12),(13)和(14)分別代入，即得(11).

4 結語

本文將無套利定價原理與數學領域的鞅論、隨機微分方程理論結合起來，構建一種由隨機波動源和異常波動源共同作用的股票價格波動模型——波動源模型，在隨機利率下考慮問題，得到了股價異常波動源模型下巨災標準期權及任選期權的價格公式.做為一種創新金融衍生產品,巨災期權能為保險公司提供一種新的風險分散機制，也能在巨災發生時，為投保人減少損失.但是，我國金融市場相對于國外發達國家起步較晚，巨災期權等保險金融衍生品無論是設計、定價還是運行都缺乏相應的技術支撐，所以再保險市場進展緩慢.不過，作為自然災害多發的大國，保險市場與資本市場的有效結合是大勢所趨，研究巨災期權以及其他巨災衍生金融產品的定價問題無疑具有重要的理論及實踐價值.本文對巨災期權定價問題做了初步探討，期望能對我國金融市場提供一些有益借鑒.

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[5] 李 永,劉 鵑.基于無套利利率模型的臺風巨災債券定價研究[J].預測,2010，29(1)：49-53.

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(編輯 HWJ)

The Pricing for the Catastrophe Option and Chooser Option under Stock Price Fluctuation

ZHUDan*

(Department of Basic Courses,Hunan College of Finance and Economics,Changsha 410205,China)

In this article,the value composition of the Catastrophe option is discussed in quantitative analysis.Under stochastic interest,we consider the models of fluctuation of stock price and obtain the pricing formula of Catastrophe common option and Catastrophe chooser option by means of Martingle approach (risk-neutral valuation).

catastrophe option; chooser option; risk-neutral valuation; models of fluctuation of stock price

10.7612/j.issn.1000-2537.2016.05.015

2015-12-31

湖南省軟科學基金資助項目(2011ZK3101);湖南財政經濟學院科研項目(K201101)

*通訊作者,E-mail：dzhu2000123@sina.com

O211.63

A

1000-2537(2016)05-0083-06