NA序列自正則加權和的幾乎處處中心極限定理

付宗魁,吳群英

(桂林理工大學理學院，中國 桂林 541004)

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NA序列自正則加權和的幾乎處處中心極限定理

付宗魁*,吳群英

(桂林理工大學理學院，中國 桂林 541004)

NA序列; 自正則加權和; 幾乎處處中心極限定理

稱隨機變量X1,X2,…,Xn,n≥2是Negatively Associated (簡記為NA)的,若對集合{1,2,…,n}的任意兩個非空不交子集A1,A2,均有cov(f1(Xi;i∈A1),f2(Xj;j∈A2))≤0.其中，fi,i=1,2是使上式有意義且對各變元不降(或不升)的函數.稱隨機變量序列{Xn,n≥1}是NA列，如果對任意n≥2,X1,X2,…,Xn是NA的.近年來，自正則極限理論是概率論研究的一個熱門話題，許多學者已得到了很多結果.文獻[1]得到了混合序列自正則隨機和乘積的漸近性；文獻[2]得到了自正則和在正態吸引律下的幾乎處處中心極限定理，文獻[3]得到了φ混合序列自正則加權和的中心極限定理等.但關于自正則加權和的極限理論研究不多，本文討論了NA序列自正則加權和的幾乎處處中心極限定理.

(1)

定理1 設{X,Xn,n≥1}是均值為零的嚴平穩NA序列,EX2<∞,對任意的常數β>0,則有

(2)

其中，N為標準正態隨機變量.

定理2 設{X,Xn,n≥1}是均值為零的嚴平穩NA序列,{ani,1≤i≤n,n≥1}為實數陣列且滿足式(1),并且

(3)

對于任意的β>0,使得

(4)

(5)

則有

(6)

注2 如果{X,Xn,n≥1}為獨立同分布的隨機變量序列，則式(4)中β=1.

1 基本引理

引理1[5]設{Xn,n≥1}為NA隨機變量序列，如果{fi，i∈N}是一列非降(或非升)的函數，則{fi(Xi)，i∈N}仍是NA的.

證 由EX2<∞,則有

(7)

(8)

(9)

由式(1)和(7),則有

(10)

引理5 在定理2的條件下,dk和Dn滿足式(5)，如果f(x)為有界且具有連續導數的函數，則有

(11)

(12)

(13)

(14)

對任意的1≤k

由文獻[8]的引理3知，當EX2<∞和σ2>0時，則有

(15)

由式(1)和(15),則有

因此，式(14)成立，由引理3知式(11)成立.

由引理3知式(12)成立.

2 定理的證明

定理1的證明 為了證明式(2)，由引理4,則只需證

(16)

(17)

定理2的證明 對任意的0<ε<1，則有

因此，

類似地，有

為了證明式(6),只需要證明

(18)

(19)

(20)

對任意所為ε>0,為了證明式(19),則只需證

(22)

設f(x)為有界且具有連續導數的函數,對任意的ε>0,則有

(23)

由式(23)，(12)及Toeplitz引理，則有

當l=2時,式(22)也成立.于是,式(19)成立.類似式(19)的證明知式(20)也成立.類似文獻[9]中式(2.33)的證明知式(21)成立.

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[2] WU Q Y.A note on the almost sure limit theorem for self-normalized partial sums of random variables in the domain of attraction of the normal law[J].Inequal Appl,2012,17(1):242-252.

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(編輯 HWJ)

Almost Sure Central Limit Theorem for Self-Normalized Weighted Sums of Negatively Associated Random Variables

FU Zong-kui*,WU Qun-ying

(College of Science,Guilin University of Technology,Guilin 541004,China)

negatively associated random variables; self-normalized weighted sums; almost sure central limit theorem

10.7612/j.issn.1000-2537.2016.05.016

2015-10-10

國家自然科學基金( 11361019)；廣西自然科學基金重點項目 (2013GXNSFDA019001)；廣西高校人才小高地建設創新團隊資助計劃(桂教人[2011]47號)

*通訊作者,E-mail：gut_fuzongkui@163.com

O211.4

A

1000-2537(2016)05-0089-06