分裂四元數(shù)矩陣方程-XB=C的解*

趙琨,張兆忠，王茂香

(1.山東師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山東濟南 250014；2.臨沂大學(xué) 理學(xué)院，山東臨沂 276005；3.曲阜師范大學(xué) 管理學(xué)院，山東日照 276826)

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趙琨1,2,張兆忠2，王茂香3

(1.山東師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山東濟南 250014；2.臨沂大學(xué) 理學(xué)院，山東臨沂 276005；3.曲阜師范大學(xué) 管理學(xué)院，山東日照 276826)

分裂四元數(shù)；矩陣方程；解析解；實表示

引言

對于復(fù)矩陣方程

AX-XB=C,

(1)

其中A∈Cm×m, B∈Cn×n, C∈Cm×n.

引理1[1,5]令A(yù)∈Cm×m,B∈Cn×n以及C∈Cm×n.

2)矩陣方程(1)有唯一解當(dāng)且僅當(dāng)fA(λ)和fB(λ)互素, 即fA(B)非奇異.

引理 2[5]令A(yù)∈Cm×m,B∈Cn×n以及C∈Cm×n.

2)如果X是(1)的唯一解, 那么

(2)

1 分裂四元數(shù)矩陣的實表示

(3)

命題1

(4)

(5)

(6)

由此可得以下結(jié)果.

證明 由命題2, (6)中特征多項式的系數(shù)a2k-1(k=1,…,2m)為零, 所以1)成立. 由命題1, 可得

2 分裂四元數(shù)矩陣方程

本節(jié)使用實表示方法討論分裂四元數(shù)矩陣方程

(7)

AσY-YBσ=Cσ.

(8)

由命題1, 方程(7)等價于AσXσPn-XσPnBσ=Cσ. 所以方程(7)有解X當(dāng)且僅當(dāng)方程(8)有實矩陣解Y=XσPn. 如果實矩陣

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

其中，

由(13)構(gòu)造如下分裂四元數(shù)矩陣

(14)

(15)

是方程(7)的一個解.

1)如果分裂四元數(shù)矩陣方程(7)有一個解X, 那么

(16)

2)如果分裂四元數(shù)矩陣方程(7)有一個解X, 并且fAσ(λ)與fBσ(λ)互素, 那么方程(7)有唯一解

(17)

證明 1)如果方程(7)有一個解X, 那么方程(8)有一個解Y=XσPn. 由引理2和命題3, 可得

再由命題1與命題3, 可得

(18)

故1)成立.

(19)

由(3)可知

(20)

(21)

由命題1, 原方程等價于AσY-YBσ=Cσ. 解此實矩陣方程, 可以得到解

(22)

注 定理2給出了相似于Roth定理形式的分裂四元數(shù)矩陣方程(7)解的存在性定理, 而定理1給出在實矩陣方程(8)的解已知的情況下, 求分裂四元數(shù)矩陣方程(7)解的代數(shù)方法. 如果方程(7)有一個解X并且fAσ(λ)與fBσ(λ)互素, 那么定理3通過借助實矩陣方程的特征多項式給出了方程(7)的解析解.

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ZHAO Kun1,2, ZHANG Zhao-zhong2, WANG Mao-xiang3

(1.School of Mathematical Sciences, Shandong Normal University, Jinan Shandong 250014, China;2. Department of Mathematics, Linyi University, Linyi Shandong 276005, China;3. Department of Management, Qufu Normal University, Rizhao Shandong 276826, China)

split quaternion; matrix equation; closed-form solution; real representation

1673-2103(2016)05-0018-06

2016-10-01

國家自然科學(xué)基金(NSFC) 11301252;山東省自然科學(xué)基金(BS2015DX012)

趙琨(1992-)，女，山東淄博人，在讀碩士研究生，研究方向：物理學(xué)中的數(shù)學(xué)方法.

O151.2

A