無窮曲線組上R問題的一般解*

管 珍

(天津職業技術師范大學理學院，天津 300222)

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無窮曲線組上R問題的一般解*

管 珍

(天津職業技術師范大學理學院，天津 300222)

以實軸上的Riemann邊值問題(以下簡稱R問題)的解的形式為參照，推廣給出有限條無窮曲線上R問題的一般解.

無窮曲線；Riemann邊值問題；指標κ

引言

1 實軸上的R問題

考慮一條無窮曲線L上的R問題，不妨將L設作實軸X，即需要求解問題：

Φ+(x)=G(x)Φ-(x)+g(x), x∈X

(1)

這里要求G(x)≠0，并設X的正向與x軸的正向一致，并把x軸的上半平面記為Z+，下半平面記為

Z-，要求Φ(∞)有界.

引理 實軸上的問題Φ+(x)=G(x)Φ-(x)+g(x),x∈X，要求Φ(∞)有界時，若當κ≥0，一般解為：

(2)

若κ=-1，有唯一解：

(3)

總之, 解的自由度為κ+1.

引理的提法及其證明已經在[1]中詳細給出，這里我們只提及證明思路.

考慮齊次問題：

Φ+(x)=G(x)Φ-(x),x∈X

(4)

Ψ+(x)=G0(x)Ψ-(x),x∈X

(5)

再考慮非齊次問題(1)：

將(1)改寫為：

(6)

當κ≥0時，F(z)在z=-i處有κ階.為使它在此處有界，需乘上因子(z+i)κ，則z=∞處它將有κ階，即有(z+i)κF(z)=Pκ，則Φ(∞)有界時，(1)的一般解是(2).

當κ<0時，F(z)在全平面有界，故為常數C，即Φ(z)=Y(z)[Ψ(z)+C].

當κ=-1時，為了消除z=-i處的極點，只要C=-Ψ(-i)即可，唯一解為(3).

k=1,2,…-κ-1才有唯一解(3).

2 無窮曲線組上的R問題

2.1無窮曲線組上R問題的提法

求解無窮曲線組上的R問題

Φ+(t)=G(t)Φ-(t)+g(t),t∈L

(7)

定理 有線條無窮曲線上的Riemann邊值問題(7)，要求Φ(∞)有界時，若當κ≥0，則其一般解為

(8)

當κ=-1時，有唯一解：

(9)

若κ<-1，當且僅當

(10)

滿足時，有解，且有唯一解(9). 解的自由度總為κ+1.

2.2 定理的證明

對每一Lj(j=1,2,…n)作問題(7)(限于t∈Lj上)的典則函數Xj(z)，于是，

(11)

且Xj(z)滿足典則函數特點Xj(z)≠0于全復平面，在∞處有-κj=-IndLjGj(t)階.由于各Lj互不相交，故Xj(z)在Lk(k≠j)上全純[5]，從而

(12)

現在令

(13)

則X(z)是一以L為跳躍曲線的分區全純函數.由(11)、(12)式可知，

X+(t)=G(t)X-(t),t∈L

(14)

且X(z)≠0于全平面上，包括其邊值X±(t)≠0.此外，X(z)在z=∞處的階數為諸Xj(z)在該處的階數之和，即

(15)

后，遍乘(x-z1)-κ，使得

(16)

其中無論κ如何，統一令：

(17)

(18)

則(16)式可改寫為

(19)

則(7)式在R0中的一般解為：

當κ≥0，一般解

這里利用了(z-z1)-κY(z)=X(z)；

當κ=-1，有唯一解

利用了Φ(z)=Y(z)[Ψ(z)-Ψ(z1)]；

當κ<-1，當且僅當滿足

這-κ-1個條件時才有唯一解同(9).

[1]路見可. 解析函數邊值問題教程[M]. 武漢：武漢大學出版社. 2009.

[2]路見可. 路見可論文選集[M]. 湖北：武漢大學出版社，1989.

[3]鐘壽國. 奇異積分方程的可解條件[J]. 武漢大學學報(數學專輯)，1982,2:120-140.

[4]聞國椿. 共形映射與邊值問題[M]. 北京：高等教育出版社，1985.

[5]Mohamed S. Akel, F.Alabbad, A Riemann-Hilbert boundary value problem in a bounded sector [J]. Complex Variables and Elliptic Equations, Vol. 60, No.4, 493-509 (2015).

[6]H.Begehr, Boundary value problems in complex analysis [J]. Bol. Asoc. Mat. Venez, (2005)65-85,217-250.

The General Solution of R Problem on Limited Infinite Curves

GUAN Zhen

(College of Science, Tianjin University of Technology and Education, Tianjin 300222, China)

The paper takes the form of solution of the Riemann boundary value problem(here in after referred to as R) on the real axis as reference to give a general solution of the problem R on limited infinite curves.

infinite curve; Riemann boundary value problem; indexκ

1673-2103(2016)05-0028-04

2016-05-23

天津職業技術師范大學研究生創新基金項目(YC16-13)

管珍(1993-)，女，山西大同人，碩士研究生，研究方向：復分析與復幾何.

O175.8

A