A一類三種群時滯捕食系統模型*

馬仁雪，謝偉杰，李佳倩，江 月

(安徽財經大學 管理科學與工程學院，安徽蚌埠 233030)

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A一類三種群時滯捕食系統模型*

馬仁雪，謝偉杰，李佳倩，江 月

(安徽財經大學 管理科學與工程學院，安徽蚌埠 233030)

研究了一類三種群時滯捕食系統模型的穩定性.以食餌種群的消極負反饋時滯為分支參數，利用特征值方法，得到系統模型局部漸近穩定的充分條件并確定了模型產生Hopf分支的時滯臨界點.最后，利用數值模擬驗證了所得結果正確性.

時滯捕食系統；種群；穩定性；Hopf分支

引言

考慮到自然界中種群之間的復雜關系，近年來多種群捕食系統模型受到國內外研究學者的廣泛關注.Kar和Batabyal研究了一類兩個食餌種群和一個捕食者種群的系統模型持久性和穩定性[1].Farajzadeh等人則研究了一類具有一個食餌種群和兩個捕食者種群的競爭捕食系統模型的穩定性[2].文獻[3]研究了一類時標上具有階段結構的三種群捕食系統的周期解.另外，對于具有時滯的多種群捕食系統模型的研究，也取得了很多成果[4～7].文獻[7]研究了一類時滯競爭捕食系統模型：

(1)

(2)

其中，τ為食餌種群的消極負反饋時滯.

1 局部穩定性分析

b1d1x2-e1x+d1=0.

(3)

(4)

其中，

整理得到：

λ3+A2λ2+A1λ+A0+(B2λ2+B1λ)e-λτ=0,

(5)

其中，

A2=-(a11+a33), A1=a11a33+a12a21+a13a31,

A0=-a12a21a33,B2=-b11,B1=a33b11.

當τ=0時，方程(5)變為

λ3+(A2+B2)λ2+(A1+A1)λ+A0=0.

對于τ>0，令λ=iω(ω>0) 為方程(5)的根，有

(6)

進而

(7)

為了給出本文主要結果，給出下列假設：即(H2) 假設方程(7)至少存在一個正實根ω0. 由方程(6)可得相應的時滯臨界值為

當τ=τ0時，方程(5)具有一對純虛根±iω0.

對方程(5)兩端同時對τ進行求導, 得到

所以,

其中,

2 數值模擬

為了驗證以上所得理論結果，我們給出一個仿真示例.為了方便起見，仍然采用文獻[7]中的各參數值：

(8)

經過計算，得到系統(8)有唯一的正平衡點 E*(1.308 4,0.187 6,2.818 1)，并進而得到，ω0=1.307 6, τ0=1.058 2.根據定理1中的結果可知, 當τ∈[0,1.058 2)時， E*(1.308 4,0.187 6,2.818 1)局部漸近穩定，仿真效果如圖1所示. 當τ>τ0=1.058 2時，E*(1.308 4,0.187 6,2.818 1)將失去穩定性，并在

E*(1.308 4,0.187 6,2.818 1)附近產生一簇分支周期解，仿真效果如圖2所示.

圖1: 當τ=0.855<τ0=1.058 2 時，E*漸近穩定

圖 2: 當τ=1.125>τ0=1.058 2時E*失穩，并產生Hopf分支

3 結論

本文在文獻[7]的基礎上，研究了一類具有消極負反饋時滯的的三種群捕食系統模型.相對于文獻[7]，本文主要研究食餌種群的消極負反饋時滯對系統模型的影響.研究表明，食餌種群的消極負反饋時滯對模型的穩定性也有一定的影響.當時滯的值低于臨界值τ0時，系統模型處于理想的穩定狀態.當時滯的值高于臨界值τ0時，系統模型將失去穩定性.并且，從仿真示例可以看出，相對于食餌種群的成熟時滯，消極負反饋時滯對模型穩定性的影響要更大一些.因為采用相同的參數值，所得到的消極負反饋時滯臨界點要比成熟時滯臨界點小的多(成熟時滯臨界點可參考文獻[7]).

[1]T.K.Kar, A.Batabyal. Persistence and stability of a two prey one predator system [J]. International Journal of Engineering, Science and Technology,2010,2(2):174-190.

[2]徐昌進. 時標上具有階段結構的三種群捕食系統的周期解[J]. 經濟數學, 2013,30(1):5-11.

[3]A. Farajzadeh, M. H. Rahmani Doust, F. Haghighifar, D. Baleanu. The stability of gauss model having one-prey and two-predators [J]. Abstract and Applied Analysis,2012,1(1):1-9.

[4]Cui Guo-hu, Yan Xiang-ping. Stability and bifurcation analysis on a three-species food chain system with two delays [J], Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 2011, 16(9):3704-3720.

[5]Meng Xin-you, Huo Hai-feng, Zhang Xiao-bing, Xiang Hong. Stability and Hopf bifurcation in a three-species system with feedback delays [J].Donlinear Dynamics, 2011, 64(4): 349-364.

[6]Meng Xin-you, Huo Hai-feng, Zhang Xiao-bing. Stability and global Hopf bifurcation in a delayed food web consisting of a prey and two predators [J]. Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 2011, 16(9):4335-4348.

[7]劉娟. 一類時滯競爭捕食系統模型的Hopf分支[J]. 濱州學院學報,2015,31(4):32-35.

[8]B. D. Hassard, N. D. Kazarinoff, Y. H. Wan, Theory and Applications of Hopf Bifurcation [M]. Cambridge University Press, Cambridge, 1981.

A Class of Three-species Predator-prey System with Time Delay

MA Ren-xue, XIE Wei-jie, LI Jia-qian, JIANG Yue

(School of Management Science and Engineering, Anhui University of Finance and Economics, Bengbu Anhui233030, China)

This paper is concerned with stability of a three-species predator-prey system with time delay. Using the characteristic value method, the sufficient conditions for the local asymptotic stability of the system model are obtained, and the time delay critical point of the Hopf bifurcation is determined. Finally, numerical simulations are used to verify the correctness of the results.

predator-prey system with time delay; species; stability; Hopf bifurcation

1673-2103(2016)05-0032-04

2016-09-20

2016年度安徽省自然科學基金青年項目(1608085QF151)

馬仁雪(1997-)，女，安徽壽縣人,研究方向：動力系統.

O175.12

A