卵圓方程研究

李湘江

(長沙理工大學計算機與通信工程學院，湖南 長沙 410114)

卵圓方程研究

李湘江

(長沙理工大學計算機與通信工程學院，湖南 長沙 410114)

卵圓是生活中非常常見的圖形，但數學和工程學中對卵圓沒有明確的定義。對于卵圓的研究仍然停留在圓和橢圓的階段。根據卵圓的描述性定義，給出了卵圓的卵心、卵圓的長半徑、卵圓的短半徑和卵圓的對稱半徑等概念，經過嚴格的數學分析和推導首次提出了一種三次卵圓方程及標準卵圓方程。給出某些三次方程是否為卵圓方程的判別方法，以及卵圓長、短半徑和卵圓對稱半徑的求法。在一定程度上解決了卵圓無單一數學表達的問題。通過對真實雞蛋照片的圖像分析，取得照片中雞蛋的長、短半徑和對稱半徑的實際參數值，代入卵圓方程，運用計算機程序繪制卵圓方程圖形，與真實雞蛋照片進行比照，能達到高度吻合的效果。

卵圓；卵圓方程；卵心；長半徑；短半徑；對稱半徑

自然界是如此的美妙和神奇，為科學與工程學提供了各種各樣的素材和靈感。人們從拋體運動獲得了拋物線及其方程，從天體運動獲得了橢圓及其方程，而常見的各種鳥類、禽類和爬行動物的卵的縱截面形狀，被人們習慣地稱之為卵圓或卵形線。盡管人們對卵圓的直觀認識由來已久，但至今未能對卵圓有一個明確的定義，仍然停留在圓[1]和橢圓[2]階段，更未能給出卵圓的曲線方程；卵圓曲線大都是通過圓和橢圓的拼湊或組合形式即分段函數的形式給出[3]。本文通過分析，獲得了三次曲線中的一種卵圓方程及標準卵圓方程。

1 卵圓及其相關概念

眾所周知，卵圓類似于橢圓，但是一頭大，一頭小，且有一條對稱軸。這可視為卵圓的一種描述性定義。若取這條對稱軸為x軸，小頭方向為x軸的正向，把通過卵圓上、下的兩個頂點S、T的直線設為y軸，并設卵圓與x軸的兩個交點即卵圓左、右兩個頂點為Q、P。并將線段ST與PQ的交點即坐標系的原點O(0,0)稱為卵圓的卵心，線段OP稱為卵圓的長半徑，其長度記為a；線段OQ稱為卵圓的短半徑，其長度記為b；線段OS(或OT)稱為卵圓的對稱半徑，其長度記為c。線段PQ稱為卵圓的直徑，其長度記為d，顯然d = a + b，線段ST稱為卵圓的對稱直徑，顯然ST = 2c。并將卵圓的長、短、對稱半徑a、b、c稱為卵圓的3個特征參數。卵圓及其在直角坐標系的示意圖如圖1所示。

圖1 卵圓及其在直角坐標系示意圖

2 卵圓方程推導

下面來探求以正數a、b、c (a＞b)為卵圓的長、短、對稱半徑，以原點O(0,0)為卵心的卵圓的方程。

一般的二次方程表達式為

上式所表示的曲線不外乎為橢圓(圓是橢圓的特例)、拋物線、雙曲線，或脫化成兩條直線或一點，或者為空集[4]。故卵圓方程不可能在二次方程中找到。

因此轉而考慮如下的三次方程

因為卵圓是關于x軸對稱的，故其方程中，關于y的一次項不能出現，而關于y的平方項一定出現；又卵圓不經過原點，故式(1)中的常數項不能為零。因此式(1)中只有當第二、五、七項不出現時，才有可能成為卵圓方程，于是卵圓方程可在如下的三次方程中來尋找

其中，系數A、B、C、D、E均不為零。

下面進一步探求式(2)中的系數要滿足何種條件方能成為卵圓方程呢？為此，用 A(A≠0)去除式(2)的兩邊，令首項(三次項)的系數為1，得到

(4)

當已知卵圓的長、短和對稱半徑分別為a、b、 c (a＞b)時，可確定卵圓方程式(3)中的系數K、L、M、N。為此，先將式(3)變成顯函數形式

并求出導數，得到化簡式

因為頂點P(a,0)、Q(-b,0)、S(0,c)均在卵圓上，故這3點的坐標應滿足式(3)，從而得到

又頂點S(0,c)應是卵圓曲線的極值點，故在x=0處的導數等于零，從而由式(6)得到

聯立式(7)、(8)即可解得

將式(9)代入式(3)，即得

或

或

式(10)～(13)就是已知卵圓的長、短、對稱半徑a、b、c的3個特征參數，以原點O(0,0)為卵心的卵圓方程。其中式(12)稱為卵圓的標準方程。

由式(9)可知：K＞0、L＞0、M＜0且N=LM，故卵圓方程又可表示為

其中，K＞0、L＞0、M＜0。且由式(9)的前3個等式反解之，可得卵圓的長、短、對稱半徑

又比較式(2)與式(11)可得

故知，當A＞0、B＞0、C＞0時

式(17)為卵圓方程，且由式(16)的前3個等式反解可得卵圓的長、短、對稱半徑

在式(12)及式(13)中，令

則知，當α＞0、β＞0、γ＞0時

均亦為卵圓方程，且由式(19)反解可得卵圓的長、短、對稱半徑

當b=a時，即卵圓的短半徑與長半徑相等時，由式(12)可得

式(23)即為橢圓方程。故卵圓是橢圓的擴充或推廣，而橢圓是卵圓的特款。

3 實例與仿真驗證

3.1 實例

下面給出一個具體的三次卵圓方程，取a=6、b=4、c=3，則由式(10)或式(11)、式(12)、式(13)即得其卵圓方程

方程式(24)在區間[-4,6]上，用計算機繪制的圖形如圖2所示。

或

圖2 方程式(24)的圖形

3.2 仿真驗證

圖 2的圖形看上去像一個卵圓，直觀上符合卵圓的描述性定義。但到目前為止，數學和工程學對卵圓還沒有明確定義。為了驗證本文所建卵圓方程圖形效果，在網上下載了一張雞蛋的照片，

如圖3所示。

圖 3是未做任何修改的原照片，只將圖片進行旋轉并剪裁成合適大小，用 VB6.0編寫了一個繪圖程序。程序界面上的繪圖區將雞蛋照片作為繪圖背景。通過像素分析和計算，獲得圖片中雞蛋圖像橫向最大像素為386，縱向最大像素為294，在雞蛋圖像橫向和縱向最大像素處畫兩條直線作為x、y軸，x軸與y軸的交點即為雞蛋的卵心，并將卵心位置設定為繪圖區的原點。程序界面如圖4所示。

圖3 雞蛋照片

圖4 繪圖程序界面

按卵圓方程的需求量取雞蛋以像素為單位的長、短、對稱半徑3個參數值，得出a=206、b=180、c=147。則由式(13)即得其卵圓方程

繪圖程序使用方程式(25)在區間[-180,206]中進行計算并通過描點法繪制圖形。程序界面右側文本框中顯示方程取點的計算值。程序運行結果如圖5所示。

圖5 繪圖程序運行結果

圖 5中雞蛋外輪廓的黑色圖線是繪圖程序根據卵圓方程式(25)繪制的卵圓圖形，與圖片中雞蛋外輪廓高度重合。這充分說明本文所得卵圓方程的圖形確實是卵圓。

4 結 論

在工程中，繪制卵圓及卵形曲線通常是用多段圓弧來近似連接而成，或由經過若干個點的自由曲線構成，或以橢圓為初始曲線利用幾何變換生成[5]，或利用多焦點圓及橢圓生成[3]等方法，在高等級公路工程設計與計算中卵形曲線就是難度較大的一種曲線[6]。上面從卵圓的描述性定義出發，在三次方程中得到了一種卵圓方程，解決了卵圓無單一數學表達式的問題。有了卵圓方程就可以通過計算機繪制精確的卵圓曲線，比其他輔助方法繪制的卵圓曲線更快捷、優美，實現了計算機繪制卵圓圖形最快速、最直接的方法。可以預見，由于有了這種卵圓的三次方程，將會給卵圓及其應用研究帶來極大方便。

[1] 劉紹學. 數學必修 2[M]. 北京: 人民教育出版社, 2007: 118-122.

[2] 劉紹學. 數學選修 2-1[M]. 北京: 人民教育出版社, 2007: 38-40.

[3] 管賢根, 管 杰. 多焦點圓及其橢圓和卵圓[J]. 圖學學報, 2013, 34(2): 52-64.

[4] 吳光磊, 丁石孫, 姜伯駒, 等. 解析幾何[M]. 北京:人民教育出版社, 1979: 128-129.

[5] 宋業存, 祝燕琴. 一種生成卵形曲線的方法[J]. 工程圖學學報, 2006, 27(1): 160-163.

[6] 張家平, 陳化新, 于文勇. 運用切基線法測算卵形曲線要點解析[J]. 測繪工程, 2010, 19(1): 17-20.

The Study on the Oval Equation

Li Xiangjiang

(School of Computer and Communication Engineering, Changsha University of Science & Technology, Changsha Hunan 410114, China)

Oval is a very common graphics in life, however it is not clearly defined in mathematics and engineering. It is still in the stage of circle and ellipse for studying the oval. In this paper, according to the descriptive definition of oval, a kind of cubic and standard equation is firstly given by mathematical analysis and derivation. A determ ining method is proposed whether a cubic equation is an oval equation or not, and the approach is given about how to calculate long, short and symmetry radius. To some extension, the proposed method can solve the problem about the oval w ithout a mathematical expression. By analyzing the real images of an egg, the real parameter values of long, short and symmetry radius are obtained. These values are input to the oval equation, the graphics is drawn using computer program. Compared w ith the real images of eggs, the highly consistent results can be achieved.

oval; oval equation; oval center; long radius; short radius; symmetric radius

O 182.1

10.11996/JG.j.2095-302X.2016040467

A

2095-302X(2016)04-0467-04

2015-12-15；定稿日期：2016-01-05

李湘江(1972?)，男，湖南湘陰人，高級實驗師，高級程序員，碩士。主要研究方向為圖形圖像、軟件工程及計算機測控。E-mail：cslixj@163.com