3個幾何不等式的統一指數推廣*

●黃兆麟

(天津水運高級技工學校 天津 300456)

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3個幾何不等式的統一指數推廣*

●黃兆麟

(天津水運高級技工學校 天津 300456)

文獻[1-3]中的3個幾何不等式雖然下界相同,但各自所給出的證明方法均不相同,無法統一.筆者通過定理4,不僅將3個幾何不等式有機地聯系在一起,而且還將其作了指數推廣,充分揭示了3個幾何不等式的本質聯系,給人帶來“既見樹木,又見森林”的整體美感.

旁切圓半徑；高線；角平分線；中線；幾何不等式

文獻[1]中利用3個引理證明了如下定理1:

定理1 設a,b,c是△ABC的3條邊長,wa,wb,wc是△ABC的角平分線，則

而文獻[2]指出僅用文獻[1]中的引理1即可獲證定理1,且文獻[2]又將定理1加強為如下定理2.

定理2 設a,b,c是△ABC的3條邊長,對應邊上的中線為ma,mb,mc，則

文獻[3]又給出含旁切圓半徑的類似不等式(定理3).

定理3 設a,b,c是△ABC的3條邊長,ra,rb,rc為△ABC的旁切圓半徑，則

文獻[1-3]所用方法均不相同,讓人“只見樹木,不見森林”.為了更好地看清以上3個定理的本質及聯系,本文特將以上3個定理統一指數推廣為如下定理4.

定理4 設a,b,c是△ABC的3條邊長,對應邊上的旁切圓半徑、高線、角平分線、中線長分別為ra,rb,rc;ha,hb,hc;wa,wb,wc;ma,mb,mc,指數p≥1,則

證明 首先證明當指數k>1,鏈中前3個不等式成立,即

(1)

即

即

同理可得

3個式子相加得

即鏈(1)中第1個不等式成立.當且僅當a=b=c時取等號.

再證鏈(1)中第2,3個不等式:

即

ma≥wa≥ha，

從而

于是

即鏈(1)中第2,3個不等式成立.當且僅當a=b=c時取等號.至此不等式鏈(1)全部獲證.

在不等式鏈(1)中取k=2p(其中p≥1)即得定理4中不等式鏈的前3個不等式成立.

最后證明定理4中第4個不等式成立,即證如下不等式(2)成立:

(2)

即當p=1時不等式(2)成立.當p>1時,由冪平均不等式,可得

即當p>1時,不等式(2)也成立.綜合可得當p≥1時定理4中第4個不等式成立.至此定理4全部獲證.

[1] 曾善鵬.一個角平分線不等式[J].數學通報,2009(12):45.

[2] 安振平.一個角平分線不等式的簡證與加強[J].數學通報,2011(4):38.

[3] 馬占山,范紅英.關于三角形旁切圓半徑的一個有趣性質[J].數學通報,2011(11):57.

?2015-11-19；

2015-12-25.

黃兆麟(1961-)，男,湖南隆回人,高級講師，研究方向：數學教育.

O122.3

A

1003-6407(2016)03-34-02