高考選擇題的解法*

●張春杰

(學軍中學 浙江杭州 310012)

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高考選擇題的解法*

●張春杰

(學軍中學 浙江杭州 310012)

主要針對浙江省高考數學選擇題的特點和命題趨勢，結合多年選擇題的備考思路，分析了一些常見的解題策略和方法:直接法、特例法、排除法和圖像法等，力圖體現數學本質，提煉數學思想.

高考；選擇題;解法

1 知識內容

1)高考數學選擇題主要考查基礎知識與基本方法，力求知識的覆蓋、方法的融合.解決選擇題，一般不宜采取長篇大論的思維策略，主要目標是準確和快速.

2)選擇題的特點是不需要過程，只需給出選項答案，因此選擇題的解法千姿百態、不拘一格.常見選擇題的解法有直接法、特例法、排除法、圖像法、逆推法、分類討論法等.

2 命題分析

從歷年浙江省數學高考試題來看，試卷的題型結構一直在變化，其中選擇題從2015年開始調整為8道，預計2016年保持穩定，仍主要考查數學基本概念，以思維分析判斷為主、計算為輔.

3 典題剖析

3.1 直接法

直接法，就是“由因到果”解決問題的思路方法.具體地說，就是由已知條件或相關定理，按照嚴謹的思路，一步一步直接解決問題的思路和方法.

( )

分析 因為

當k=2時，選項D符合.

例2 如圖1，已知△ABC，D是AB的中點，沿直線CD將△ACD折成△A′CD，所成二面角A′-CD-B的平面角為α，則

( )

A.∠A′DB≤αB.∠A′DB≥α

C.∠A′CB≤αD.∠A′CB≥α

圖1 圖2

分析 如圖2，作AO⊥DC，由旋轉的過程可知，二面角A′-CD-B的平面角為∠A′OE,AO=A′O,從而

同理可得

因為∠A′OA是直線AA′與平面A′DC所成的角(是直線與平面所成角中最小的角)，所以∠AA′D≥∠AA′O,從而∠A′OA≤∠A′DA,于是∠A′DB≥α.故選B.

點評 直接法是解答選擇題最常用的基本方法．應用直接法需要有效地整合題目給出的條件，選擇一個適當的切入口，進行嚴謹地論證或說明.直接法的思路有時不宜發現，需要對題目進行仔細分析.

2 特例法

特例法是一種在客觀題中經常采用的思維方法.主要特點就是分析題目的條件，從一般情形中找出最有代表性的例子.特例法的特點是過程雖不嚴謹，但是可以快速有效地解決問題，是一種“小題小做”的典型方法.

例3 一個二面角的2個半平面分別垂直于另一個二面角的2個半平面，則這2個二面角

( )

A.相等 B.互補

C.相等或互補 D.關系不確定

分析 考慮特殊情形，也就是說二面角是180°的情形，另外一個平面只要保證棱與已知平面垂直，可以得出2個二面角沒有任何關系.故選D.

例4 函數f(x)=Msin(ωx+φ)(其中ω>0)在區間[a，b]上是增函數，且f(a)=-M，f(b)=M，則函數g(x)=Mcos(ωx+φ)在[a，b]上

( )

A．是增函數 B．是減函數

C．可以取得最大值M

D．可以取得最小值-M

點評 特例法的特點在于選擇的例子要典型，具有一般性的特征.特例法不僅可以快速有效地解決選擇題，而且在其他類型的題目中可以幫助我們有效理解題意.

3 排除法

排除法其實和特例法是密切相關的.需要針對題目給出的條件進行分析，逐步排除一些明顯不符合題意的情況，縮小選擇的范圍，直至選出正確的選項.

例5 若a,b∈R，則使|a|+|b|>1成立的一個充分不必要條件是

( )

C.a≥1 D.b<-1

分析 對于選項A,取a=b=0.5,則不是充分條件.同理可說明選項B也不成立.對于選項C來說，只需取a=1,b=0,即可說明選項C是錯誤的.故選D

例6 存在函數f(x)滿足：對任意x∈R都有

( )

A.f(sin2x)=sinxB.f(sin2x)=x2+x

C.f(x2+1)=|x+1| D.f(x2+2x)=|x+1|

點評 排除法的特點是“逐步篩選”，直至得出正確答案．

4 圖像法

圖像法，有時也稱數形結合法,是充分地把“數”和“形”結合起來解決問題的方法.形是具體的，數是抽象的.利用形尋找解決問題的突破口，打開解決問題的鑰匙，再利用數進行嚴謹地表述.

( )

C.(-1,1) D.(-2,2)

分析 不妨令t=3x,由f(x)=0,可知

a=PA-PB∈(-1,1).

故選C.

圖3 圖4

( )

分析 如圖4，由題意可知，點O，A，C，B共圓.當OC為該圓的直徑時，|c|取得最大，此時

點評 圖像法的關鍵點在于形的把握.所謂形散而神不散，就是要從題目繁雜的條件中準確地畫出圖形，然后從圖形中尋找解決問題的“突破口”.圖像法在高考選擇題中用途非常廣泛.

4 精題集萃

1.已知i是虛數單位，a,b∈R,則“a=b=1”是“(a+bi)2=2i”的

( )

A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件

2．過點(1,3)作直線l，若l經過點(a,0)，(0,b),且a,b∈N*，則可作出的l的條數為

( )

A．1 B．2 C．3 D．多于3

3.已知{an}是等差數列，公差d不為0，前n項和是Sn，若a3，a4，a8成等比數列，則

( )

A.a1d>0,dS4>0 B.a1d<0,dS4<0

C.a1d>0,dS4<0 D.a1d<0,dS3>0

( )

A.直線x=2上 B.直線x=1上

C.直線y=2x上 D.直線y=x上

5.在空間中，過點A作平面π的垂線，垂足為B，記B=fπ(A).設α,β是2個不同的平面，對空間任意一點P，Q1=fβ[fα(P)]，Q2=fα[fβ(P)],恒有PQ1=PQ2，則

( )

A.平面α與平面β垂直

B.平面α與平面β所成的(銳)二面角為45°

C.平面α與平面β平行

D.平面α與平面β所成的(銳)二面角為60°

6.已知圓(x+1)2+y2=4的圓心為C，點P是直線l：mx-y-5m+4=0上的點，若該圓上存在點Q使得∠CPQ=30°，則實數m的取值范圍為

( )

A．[-1，1] B．[-2，2]

7.設實數a,b,t滿足|a+1|=|sinb|=t,下面哪個敘述是正確的

( )

A.若t確定，則b2唯一確定

B.若t確定，則a2+2a唯一確定

D.若t確定，則a2+a唯一確定

( )

9.已知⊙C的方程為(x-2)2+(y-1)2=5，點B的坐標為(0,2)，設P,Q分別是直線l:x+y+2=0和⊙C上的動點，則|PB|+|PQ|的最小值為

( )

圖5

10.如圖5,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，底面ABCD的對角線BD在平面α內，則正方體在平面α內的射影構成的圖形面積的取值范圍是

( )

參 考 答 案

1.A2.B3.B4.A5.A6.D7.B

8.D9.B10.B

?2015-12-16；

2016-01-19.

張春杰(1974-)，男，河南潢川人，中學高級教師，研究方向：數學競賽.

O12

A

1003-6407(2016)03-46-03