非線性球形脈沖波在焦點的傳播與干擾

袁 明 生

( 上海對外經貿大學 商務信息學院， 上海 201620 )

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非線性球形脈沖波在焦點的傳播與干擾

袁 明 生*

( 上海對外經貿大學 商務信息學院， 上海 201620 )

在小初值的條件下，討論了半線性波動方程組脈沖波解的性質，利用非線性幾何光學的方法，證明非線性幾何光學給出的解在焦點附近是有效的．描述了脈沖波的傳播和干擾以及干擾后新脈沖波的產生情況．通過微分變換，利用球形對稱性將波動方程組化為一階雙曲型方程，得到一階近似解所滿足的方程組．分析脈沖波在各個特征線方向的傳播情況，得到近似解的一致有界性．對誤差方程的解進行有效估計，得到近似解在焦點附近的較好的漸近性態．

一致 Lipschitz；球對稱；幾何光學；焦點

0 引 言

脈沖波是物理和光學中一種重要的波，也是自然現象中常見的波．利用偏微分方程對脈沖波的研究也是非常重要的．Carles等在文獻[1-3]中研究了半線性波動方程脈沖波的傳播．Alterman等在文獻[4-5]中應用非線性幾何光學研究了非線性脈沖波的傳播性態．但在這些研究中，文獻[1-3]研究的非線性項比較特殊， 且研究的都是單個波動方程的情形，而文獻[4-5]研究的也是單個脈沖波的傳播問題．Yuan在文獻[6-7]中已將相應結果推廣到波動方程組的情形，且是多個脈沖波，而且在文獻[8]中研究了脈沖波的干擾產生新脈沖波的問題．

本文研究多個脈沖波的傳播與干擾，將問題擴展到波動方程組，并在非線性項更加一般性的情形下討論非線性焦散問題， 討論脈沖波穿過聚焦點后的特性．

1 主要結論

考慮波動方程組

(1)

式中：r=|x|，x=(x1x2x3)∈R3，r0>0，10內對第2個變量有緊支集，即存在z0>0，使得對所有r>0，

suppUji(r，·)?[-z0，z0]；i=1，2，j=0，1

(2)

而函數Fi(x，y)滿足

Fi(x，y)∈C1(R2)，Fi(0，0)=0

(3)

且存在常數N>0，使得對任何x，y∈R， |Fi(x，y)|≤N(|x|+|y|)．

除此之外，假設Fi(x，y)(i=1，2)在R2上是一致Lipschitz的，從而易得

(4)

在t≥0時，系統(1)將有沿特征線4個方向的脈沖波出現，本文感興趣的只是經過焦點(t，0)=(r0，0)的兩個方向的脈沖波．

注 (1)從脈沖波干擾的角度來說，系統(1)初始條件中的特征線只要是r±t-r0之一和r±2t-2r0之一，本文結論仍成立．

(2)在t>0時，新的脈沖波就會產生，干擾項和新的脈沖波出現在二階及二階以上輪廓(profiles) 中[8]．

由系統(1)，只需考慮初值問題：

(5)

由于初值是球形對稱的，假設解具有如下形式[1]：

引入微分算子

(6)

則方程組(5)轉化為

i=1,2

(7)

其中

gi(x)=2-pi|x|x，hi(y)=2-qi|y|y

(8)

Pi0±(r，z)∶=rU1(r，z)?ir?zU0(r，z)，

Pi1(r，z)∶=U0(r，z)+ir?rU0(r，z)；i=1，2

(9)

顯然Pi0±、Pi1與Uji(j=0，1，i=1，2)具有相同的性質．

由非線性幾何光學得如下幾個主要的輪廓：

i=1,2

(10)

圖1 射線的幾何反映

(11a)

(11b)

(12a)

(12b)

(13a)

(13b)

有以下結論：

(14)

且它們關于t和z的導數是有界的，即

(15)

(16)

而對于穿過焦點而言，有以下估計：

(17)

其中T>r0取定值，而p=max {p1，p2，q1，q2}．

2 主要結論的證明

2.1 準備工作

定義

(18)

(19)

其中

(20)

fi1、fi2的具體表達式可以參照式(11)～(13)．

式(19)與式(7)的第1個等式相減得

(21)

由Taylor中值定理有

(22)

(23)

其中

i=1,2

記

其中I=diag{1,1,1,1}， Λ=diag{-1，1，-2，2}．

定義1 記Γi±(T)為L在[0，T]×R+上的特征線集合，即

Γi-(T)∶={(t，r):it+r=iC，0≤t≤T，r≥0，

C∈[r0-εz0，r0+εz0]}，

Γi+(T)∶={(t，r):it-r=±iC，0≤t≤T，r≥0，

C∈[r0-εz0，r0+εz0]}；

i=1，2

2.2 定理1的證明

在命題1中，T為解的存在區間上限，且T≥r0， 而在命題2中有

(24)

(25)

其中0

接下來需證明存在一個常數C， 使得對0<ε<1及t≤tε， 有

(26)

這就證明了tε=T．下面證明式(26)成立．

將圖1中脈沖波軌跡在焦點處相交成的兩個平面全等三角形區域的并記為Ei(ε)，i=1，2，其表達式為

E1(ε)={(t，r):|t+r-r0|≤εz0，|t-r-r0|≤εz0}∪{(t，r):|t+r-r0|≤εz0，|t-r+r0|≤εz0}

E2(ε)={(t，r):|2t+r-2r0|≤εz0，|2t-r-2r0|≤εz0}∪{(t，r):|2t+r-2r0|≤εz0，|2t-r+2r0|≤εz0}

顯然有

r1-p1ζε1(t,r)χE1(ε)

r1-q2r1-p1ζε2(t,r)χE2(ε)

ζεi(t,r)(i=1,2)

其中在[0，T]×R+×R內是一致有界的，

χ

Ei(ε)為集合Ei(ε)(i=1，2)的特征函數．

式(26)得證(式(17)即得證)．

現在往證式(16)．對t≤r0-δ， 易得

3 結 語

本文研究了波動方程球形脈沖波穿過焦點的漸近性態，得到的是小初值條件下脈沖波穿過焦點的傳播與干擾現象．使用了幾何光學中的主要輪廓作為近似解得到結論，這在幾何光學中是較普遍的方法．所得結論也滿足高頻振蕩波所具有的性質．

[1] Carles R, Rauch J. Focusing of spherical nonlinear pulses inR1+3[J]. Proceedings of the American Mathematical Society, 2000, 130(3):791-804.

[2] Carles R, Rauch J. Focusing of spherical nonlinear pulses inR1+3, Ⅱ. Nonlinear caustic [J]. Revista Matematica Iberoamericana, 2004, 20(3):815-864.

[3] Carles R, Rauch J. Focusing of spherical nonlinear pulses inR1+3, Ⅲ. Sub and supercritical cases [J]. Tohoku Mathematical Journal, 2004, 56 (3):393-410.

[4] Alterman D, Rauch J. Nonlinear geometric optics for short pulses [J]. Journal of Differential Equations, 2002, 178(2):437-465.

[5] Alterman D, Rauch J. Diffractive nonlinear geometric optics for short pulses [J]. SIAM Journal on Mathematical Analysis, 2003, 34(6):1477-1502.

[6] YUAN Ming-sheng. Focusing of spherical nonlinear pulses for nonlinear wave equations [J]. Acta Mathematicae Applicatae Sinica, 2005, 21(3):415-428.

[7] YUAN Ming-sheng. Spherical nonlinear pulses for the solutions of nonlinear wave equations II, nonlinear caustic [J]. Acta Mathematica Scientia, 2007, 27B(2):381-394.

[8] YUAN Ming-sheng. Interaction of short pulses in a 3×3 hyperbolic system [J]. Proceedings of the Royal Society of Edinburgh, 2008, 138A(5):1163-1178.

Propagation and interference of nonlinear spherical pulses at focus

YUAN Ming-sheng*

( School of Business Information, Shanghai University of International Business and Economics, Shanghai 201620, China )

The behavior of the pulses like solutions to a semilinear wave equations is discussed under small initial value conditions. Using the method of nonlinear geometric optics, it is proved that the solution obtained by using the nonlinear geometric optics is effective around the focus. The propagation and interference of pulses and the production of new pulses after the interference are stated. By making use of a differential transformation, the wave equations are translated into one-order hyperbolic ones because of the spherical symmetry, and the equations for the one-order approximate solutions are obtained accordingly. The propagation of the pulses along every different characteristic line is analyzed, and the uniform boundness for the approximate solutions is obtained. Finally, by effectively estimating the solutions for the error equations, the good asymptotic behavior of the approximate solutions is testified around the focus.

uniform Lipschitz; spherical symmetry; geometric optics; focus

1000-8608(2016)02-0176-05

2015-05-31；

2015-09-22.

中央財政支持地方高校發展專項資金資助項目(YC-XK-13107).

袁明生*(1964-)，男，教授，E-mail:msyuan2006@suibe.edu.cn.

O175.27

A

10.7511/dllgxb201602010