含弱界面結構斷裂分析中辛方法

徐 新 生， 程 顯 賀， 徐 成 輝， 周 震 寰

( 1.大連理工大學 工程力學系, 遼寧 大連 116024；2.大連理工大學 工業裝備結構分析國家重點實驗室, 遼寧 大連 116024 )

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含弱界面結構斷裂分析中辛方法

徐 新 生*1,2， 程 顯 賀1,2， 徐 成 輝1,2， 周 震 寰1,2

( 1.大連理工大學 工程力學系, 遼寧 大連 116024；2.大連理工大學 工業裝備結構分析國家重點實驗室, 遼寧 大連 116024 )

基于哈密頓體系，提出了一種分析含弱界面彈性材料斷裂問題的辛方法．通過引入對偶變量，建立基本問題的哈密頓體系．在該體系下，問題的解可被辛本征解的級數形式所表示．利用辛本征解之間的辛共軛正交關系，以及裂紋面條件、弱界面條件和結構外邊界條件，可確定辛本征解級數的待定系數，從而得到問題的解．這樣，可以獲得Ⅰ型和Ⅱ型廣義應力強度因子解析表達式．數值結果揭示了各種邊界條件對應力強度因子的影響，同時也表明該方法對復雜的混合邊界條件問題更有效．

哈密頓體系；辛方法；應力強度因子；弱界面

0 引 言

隨著科學技術的發展，層狀復合材料以其優良的力學性能被廣泛應用于土木、機械、航空航天以及電子工程領域中．該類材料通常由一種或多種材料通過黏合等方式構成，在使用中易產生界面裂紋，從而影響結構的整體性能以及壽命．目前，針對層狀復合材料界面斷裂的研究多集中于強連接界面情況，即假定材料界面位移和應力連續．然而，由于制造技術等原因，各層材料間界面往往達不到強連接的黏結強度．此外，對某些復合材料結構層裂的修復也不能作為強連接問題．因此，考慮具有弱連接界面的斷裂問題具有重要的實際意義．

目前對弱界面問題研究中多采用彈簧模型[1-5]，即界面上的應力連續、位移間斷，并且應力與間斷位移間存在比例關系．Zhong等[1]和Li等[3]使用傅里葉變換及奇異積分方程分析了垂直于弱連接界面的Ⅰ型深埋裂紋問題和平行于弱連接界面的Ⅲ型裂紋問題．Chen等[2]采用狀態空間法給出了簡支狀態下弱連接壓電層合板自由振動的精確解．Wang等[6]利用邊界元法討論了具有弱連接界面的Ⅲ型裂紋問題．薛雁等[7]研究了具有弱連接界面的壓電夾層結構在反平面變形情況下的端部效應．從上述文獻可以看出，現有關于弱連接界面斷裂問題的文獻非常有限，針對裂紋修復問題甚至尚未提及．因此，對該類界面裂紋及其修復效果的評估研究是必要的．

Zhong針對彈性力學問題首次提出哈密頓體系下的辛方法[8]，突破傳統拉格朗日求解體系的限制，將問題在哈密頓體系下進行研究，并形成比較完整的求解方法．后來此方法被推廣到許多其他研究方向[9-11]．本文將哈密頓體系辛方法拓廣到弱界面斷裂問題中，在哈密頓體系下，利用對偶變量構造基本控制方程，將問題歸結為本征值和本征解問題，直接得到界面裂紋的應力強度因子，以評估含裂紋結構的安全性．

1 基本問題

(1)

其中k1(r)與k2(r)分別為連接界面的法向與切向界面參數．裂紋面(θ=±π)處的邊界條件為[1-5]

(2)

其中k3(r)與k4(r)分別為裂紋面的法向與切向界面參數．這里需要特別指出，k1(r)=k2(r)=∞表示界面強連接情況；k3(r)=k4(r)=0表示自由裂紋面情況，即裂紋未做修復處理情況，k3(r)=k4(r)≠0表示裂紋面被黏結修復，等效為弱連接．

圖1 含邊裂紋區域

外邊界條件可歸結為位移條件和應力條件，它們分別可以表示為

(3)

(4)

(5)

(6)

其中?r≡?/?r，?θ≡?/?θ．

2 問題的哈密頓體系描述

為了導入哈密頓體系，引入廣義坐標ξ=lnr，記?ξ≡r?r．將ξ模擬為“時間”，并定義

f.

(7)

L(i)，利用哈密頓變分原理可以得到哈密頓對偶方程：

(8)

哈密頓體系下材料連接界面(θ=0)處的邊界條件如下[4]：

(9)

其中sθ=rσθ，k1與k2分別為連接界面的法向與切向界面參數．裂紋面(θ=±π)處的邊界條件如下[4]：

(10)

這里k3與k4分別為裂紋面的法向與切向界面參數．

3 辛本征解和辛共軛正交關系

不考慮體力，哈密頓方程式(8)可改寫為

(11)

采用廣義分離變量法

Ψ(i)(ξ,θ)=ψ(i)(θ)eμξ

(12)

則有

(13)

由文獻[8]可知本征解形式如下：

(14)

可見本征解(14)中含有8個未知數，由方程(9)可得

(15)

其中

將式(14)代入裂紋面條件(10)，可得

(16)

其中

由式(15)和(16)可得

Kφ(1)=0

(17)

(18)

當區域Ω1與區域Ω2材料相同時，即E=E1=E2，υ=υ1=υ2時，上式可化簡為

[-4Eμcos(μπ)(k1+k3)+sin(μπ)×

(E2μ2-16k1k3)][-4Eμcos(μπ)(k2+k4)+

sin(μπ)(E2μ2-16k2k4)]μ2sin2(μπ)=0

(19)

式(14)的本征值可以利用上式確定．

若μm是式(13)本征值，則-μm亦是其本征值．故本征值可分成以下兩組：

(20)

則本征解滿足辛共軛正交關系：

(21)

4 數值方法

由于β-類本征解在r=0處位移奇異，該類解為非物理解，只需考慮α-類本征解．通解Ψc可以寫為

(22)

這里dj為待定系數．在r=a處的邊界條件為

(23)

利用通解(22)，邊界條件(23)可以改寫為

(24)

利用式(24)和辛共軛正交關系(21)有

(25)

其中

至此，通解的待定系數dj可以由式(25)的線性代數方程組確定．

5 數值結果分析

數值模擬中主要考慮以下兩種情況．

情況1： k1≠0，k2≠0，k3=0，k4=0，即裂紋面自由，材料界面弱連接．

情況2： k1≠0，k2≠0，k3≠0，k4≠0，即裂紋面弱連接，材料界面弱連接．

5.1 弱連接界面的奇異性分析

首先，討論裂紋面自由，材料界面弱連接的情況1的奇異性問題．裂紋尖端的奇異性可以通過-1

(26)

其中KⅠ和KⅡ分別為Ⅰ型和Ⅱ型廣義應力強度因子．

表1 不同界面參數下的奇異性

5.2 弱連接界面在集中荷載作用下的問題

考慮所討論的問題為圓形區域，如圖2所示．有一對集中力作用在邊界上，界面和裂紋面條件如情況1．PⅠ為作用在外邊界±θ0處的對稱單位集中力，PⅡ為作用在裂紋面上B、C點處的反對稱單位集中力．

圖2 弱連接界面圓盤受Ⅰ/Ⅱ型集中力作用情況

圖3給出了受PⅠ單獨作用(θ0=180°)產生的Ⅰ型廣義應力強度因子隨本征解項數的收斂性曲線．從圖中可以看到，當本征解項數超過18項之后，界面強連接情況(k1=k2=∞)對應的KⅠ穩定收斂于理論值，說明本文方法的可靠性；界面弱連接(k1=k2=5/5)情況對應的廣義應力強度因子KⅠ收斂值略低于強連接情況，這與物理現象一致．由此可見，該方法的收斂性較好．以下算例的計算均取26項辛本征解．

圖3 收斂性與本征解項數的關系

圖4給出對稱荷載PⅠ作用位置θ0及界面參數k1=k2對Ⅰ型廣義應力強度因子KⅠ的影響曲線．從圖中可看出，KⅠ隨θ0增大而增大．這種現象是由于荷載作用位置與裂紋尖端在裂紋面的投影距離增大所致．KⅠ隨界面參數k1=k2增大而增大，即界面連接越牢固對應的KⅠ越大．且當k1=k2=∞時，當前解與理論解[12]非常吻合．

圖4 自由裂紋面Ⅰ型廣義應力強度因子

圖5給出反對稱荷載PⅡ作用下Ⅱ型廣義應力強度因子KⅡ的變化情況．KⅡ隨界面參數k1=k2增加而增大，當k1=k2=2.5時，KⅡ為1.971 8．另外可知，當k1=k2=∞時，KⅡ達到最大值2.068 7，可見k1=k2>2.5后KⅡ的變化不大．說明這種情況可以被近似視為強連接問題．

圖5 自由裂紋面Ⅱ型廣義應力強度因子

5.3 弱連接裂紋面受集中荷載作用問題

考慮圖2所示的情況2．圖6與7分別給出弱界面參數k1、k2、k3與k4對KⅠ及KⅡ的影響曲線．圖6表明自由裂紋面(k3=k4=0)情況下，集中力作用位置越遠離裂紋尖端KⅠ越大；而裂紋

圖6 不同弱界面條件下Ⅰ型廣義應力強度因子

圖7 不同弱界面條件下Ⅱ型廣義應力強度因子

修復后(k3=k4≠0)，KⅠ的變化趨勢與自由裂紋面情況完全相反，且θ=0的連接界面參數k1與k2越大KⅠ也越大．這種現象說明，裂紋修復(弱連接)有利于實現止裂效果．圖7表明反對稱荷載作用下，KⅡ隨弱界面參數k3與k4增大而減小，說明裂紋面連接越牢固，KⅡ就越小．且θ=0的界面參數k1與k2越大KⅡ也越大．該規律與物理現象一致．

5.4 弱連接界面的混合邊界條件問題

最后，考慮情況1界面和裂紋且外邊界為混合邊界條件，如圖8所示．不妨取

圖9給出不同弱界面參數k1與k2和不同角度θ0對KⅠ的影響曲線．從圖中觀察到，當θ0=0°時，KⅠ達到極大值；當θ0>0°后，KⅠ急劇下降．圖10給出KⅡ隨角度θ0的變化曲線．該圖表明，當θ0=-45°時，KⅡ達到極大值；且在θ0=[-90°，90°]，界面參數k1與k2越大，KⅡ的絕對值亦越大．

圖8 弱連接界面圓盤受混合邊界條件作用

圖9 混合邊界條件下Ⅰ型廣義應力強度因子

圖10 混合邊界條件下Ⅱ型廣義應力強度因子

6 結 語

本文將辛方法應用于具有弱界面的斷裂分析中．在哈密頓體系下，可直接得到界面裂紋的應力場、位移場及廣義應力強度因子的解析表達式．數值結果表明，辛方法可以有效求解弱界面斷裂問題，方法具有良好的收斂性，尤其對復雜邊界條件同樣有效．裂紋面為自由表面時，相同外邊界條件作用下，材料界面參數越大，相應的廣義應力強度因子越大．然而，該廣義應力強度因子不會高于強連接界面問題的廣義應力強度因子；反之，裂紋面亦為弱連接時，相應的廣義應力強度因子較之裂紋面為自由表面情況小得多，說明裂紋經過修復之后，可以承載更大的荷載．

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A symplectic method for fracture analysis of structure with weak interface

XU Xin-sheng*1,2, CHENG Xian-he1,2, XU Cheng-hui1,2, ZHOU Zhen-huan1,2

( 1.Department of Engineering Mechanics, Dalian University of Technology, Dalian 116024, China；2.State Key Laboratory of Structural Analysis for Industrial Equipment, Dalian University of Technology,Dalian 116024, China )

Based on Hamiltonian system, a symplectic method for analyzing the fracture problem of weak interface between two elastic media is presented. By introducing the dual variables, the Hamiltonian system is constructed, then the solution of the problem can be represented by series form of the symplectic eigensolutions. By means of the symplectic adjoint orthogonal relationship between symplectic eigensolutions, together with crack surface conditions, weak interfacial conditions and external boundary conditions of structure, the undetermined coefficients of the symplectic series can be determined. Therefore, the solution is obtained. In this way, the generalized stress intensity factors of Mode Ⅰ and Mode Ⅱ are expressed analytically. The numerical results reveal the influence of various boundary conditions on the stress intensity factors, and also show that the method is more effective for complex mixed boundary conditions.

Hamiltonian system; symplectic method; stress intensity factor; weak interface

1000-8608(2016)02-0111-07

2015-07-14；

2016-01-10．

國家自然科學基金資助項目(11372070，11302042)；“九七三”國家重點基礎研究發展計劃資助項目(2014CB046803)；中央高校基本科研業務費專項資金資助項目(DUT14LK41，DUT14RC(4)39).

徐新生*(1957-)，男，博士，教授，博士生導師，E-mail:xsxu@dlut.edu.cn.

TP273

A

10.7511/dllgxb201602001