競爭學習的非均勻采樣非線性系統的模糊辨識

王宏偉，連 捷

(大連理工大學 控制科學與工程學院，116024 遼寧 大連)

?

競爭學習的非均勻采樣非線性系統的模糊辨識

王宏偉，連 捷

(大連理工大學 控制科學與工程學院，116024 遼寧 大連)

在實際非線性系統中，由于資源的限制，使得輸入信號快速刷新，輸出信號慢速采樣.利用獲得的非均勻采樣數據對原非線性系統辨識存在一定困難.為此，通過提升技術，把非線性系統的多個特征點局部的線性模型轉化為模糊模型的后件線性模型.在此基礎上，提出基于競爭學習和遞推梯度下降方法的辨識算法.通過定理證明:輸入信號在持續激勵條件下，模糊模型的參數能夠一致性收斂;針對化工pH中和過程非線性系統，采用非均勻采樣數據，建立其模糊模型,通過實際數據與模糊模型輸出數據誤差對比，表明了實際系統在非均勻采樣條件下，模糊辨識能夠建立其過程模型，驗證了提出方法的有效性.

競爭學習；模糊辨識；多采樣率系統；非均勻采樣；非線性系統

非均勻多采樣率系統是工業控制中很重要的一類系統，受各種條件的限制，例如，時基抖動、人工采樣、數據丟失或傳輸延遲等，系統的輸入信號和輸出信號分別采用不同的非均勻采樣頻率.在實際系統中，如果輸入信號采用了快速刷新周期信號，輸出信號采用了慢速周期采樣信號，且輸出信號采樣周期等于輸入信號刷新更新周期(框架周期)的系統，這類特殊的非均勻采樣系統，屬于多采樣率系統的一種.

針對非均勻周期采樣的離散線性系統，文獻[1-3]針對含有白噪聲和有色噪聲的非均勻采樣線性系統，分別采用輔助模型和提升技術，解決了其辨識問題，并對算法的收斂性進行了研究；文獻[4]基于遞階辨識原理，利用非均勻周期采樣系統的輸入輸出數據，解決了輸入信號為多變量的非均勻采樣線性系統建模問題； 文獻[5]使用提升方法構造了多率系統的模型，并參考了文獻[6-7]子空間辨識建模方法.此外，針對非均勻采樣線性系統，一些研究者還在網絡控制系統辨識[8]，系統狀態估計[9]，廣義預測控制[10-11],信號處理[12-13],故障診斷[14]等領域給出了新的研究結果.

本文從模糊模型出發，研究非線性系統在非均勻采樣條件下的辨識問題.首先，在非均勻采樣情況下，描述了非線性系統和線性系統的離散模型，建立了非線性系統和線性系統之間的聯系; 其次，在上述關系的基礎上，將提升變量作為模糊模型的輸入變量，建立非均勻多采樣率非線性系統的模糊模型；然后，利用競爭學習和遞推梯度下降算法進行結構辨識和參數辨識.通過定理證明，輸入信號在遍歷和持續激勵條件下，模糊模型參數能夠一致收斂；化工pH中和過程是一個非常復雜的非線性過程，采用現場的非均勻采樣數據對其進行模糊建模，證明了所提方法是有效的.

1 模糊模型的建立

1.1 問題描述

假設x(t)∈Rn,y(t)∈Rl,u(t)∈Rl.考慮連續的非線性函數

式中的控制量滿足如下關系

利用提升技術，構造提升向量為

此時，可將原系統轉換如下離散系統，即

(1)

1.2 線性模型與非線性模型的關系

首先，考慮Sc是線性系統的情況，即

(2)

式中：x(t)∈Rn為狀態向量；u(t)∈R1為控制輸入；y(t)∈R1為系統輸出；Ac、Bc、C分別為適當維數的矩陣.由問題描述可知，量測的采樣數據分別為u(kT+ti),i=0,1,2,…,p-1和y(kT).在一個幀周期T內對式(2)進行離散化為

(3)

引入后移算子z-1，滿足z-1u(kT+ti)=u(kT+ti-T),或前移算子z，滿足zx(kT)=x(kT+T)，由式(3)可得

(4)

式中In為n階單位矩陣，式(4)也可以表示為有理分式的形式：

其中

a(z-1)=z-ndet[zIn-A]=1+a1z-1+a2z-2+…+anz-n，aj∈R1,

b0(z-1)=b00z0+b01z-1+b02z-2+…+b0nz-n，b0j∈R1，b00=0,

bi(z-1)=bi1z-1+bi2z-2+…+binz-n，bij∈R1，

i=1,2,…,p-1;j=1,2,…,n.

對于式(1)，它與線性系統式(3)的關系是：非線性系統可以看作其有多個平衡點，多個平衡點的非線性特性可以用局部線性模型式(3)來近似，那么整個非線性系統模型可以用局部線性模型式(3)經過多個非線性加權函數的組合來表示，即

(5)

其中

φ(kT)=[y(kT-T),…,y(kT-nT),u(kT-T),…,u(kT-nT),u(kT+t1-T),…,u(kT+t1-nT),…,u(kT+tp-1-T),…,u(kT+tp-1-nT)]T,

(6)

fl[φ(kT)]為第l個非線性加權函數；gl[φ(kT)]為非線性系統在第l個平衡點處局部線性模型.對于式(5)而言，神經網絡模型、模糊模型、支持向量機模型等都可以拓展成類似的形式.

1.3 模糊模型的確定

對于非線性系統式(1)，在進行非均勻采樣后，其模糊模型為

(7)

式中:Fl為第l條規則下的模糊集合;μl[φ(kT)]為Fl模糊集合的隸屬度函數；c為采用模糊規則的總數；φ(kT)為第kT時刻采樣樣本；al(z-1)、bli(z-1)滿足al(z-1)=1+al1z-1+al2z-2+…+alnz-n，bli(z-1)=bli1z-1+bli2z-2+…+blinz-n，blij∈R1，(i=0,1,2,…,p-1；j=1,2,…,n；l=1,2,…,c).

對于模糊模型式(7)，還可以表示為如下形式：

Rl:ifφ(kT)屬于Fl，then

(8)

最后，模型總輸出為

(9)

2 模糊模型的辨識

2.1 基于競爭學習的結構辨識

競爭學習也是一種聚類方法，在文獻[15]中給予了介紹，該算法表示如下.

2) 每一采樣樣本其隸屬度計算為

其中η是學習系數.

2.2 模糊模型的參數辨識

對于式(9)，辨識目的是根據采樣數據{u(kT+ti-1),y(kT)}，(i=1,2,…,p;k=1,2,…,N)，確定模糊模型參數alj和blij.為此，首先定義如下參數向量：

θ1=[a11,a12,…，a1n,b101,…,b10n,…,b1p-11,b1p-12,…,b1p-1n]T∈Rn0,

…

θc=[ac1,ac2,…,acn,bc01,…,bc0n,…,bcp-11,bcp-12,…,bcp-1n]T∈Rn0，

(n0=(p+1)×n).

模糊模型的輸入向量為：

μ1(kT)u(kT+tp-1-nT)]T,

…

ψc(kT)=[-μc(kT)y(kT-T),…,-μc(kT)y(kT-

nT),μc(kT)u(kT-T),…,μc(kT)u(kT-

nT),…,μc(kT)u(kT+tp-1-T),…,

μc(kT)u(kT+tp-1-nT)]T.

這樣，式(9)可以寫成線性回歸形式，由于系統總是含有噪聲的，因此模糊模型最后輸出可以表示為

(10)

通過競爭學習得到聚類中心和隸屬度函數.模糊模型的后件參數可以采用隨機梯度算法來確定，算法如下：

(11)

(12)

(13)

2.3 性能分析

為了說明式(11)～(13)算法的收斂性，給出如下引理.

證明 參見文獻[11,16]，此處略.

引理3 下列不等式成立:

根據式(13)的r(kT)定義，并且r(kT)是遞增的，很容易證明上述引理.

定理1 對于式(10)，假定噪聲信號v(kT)是定義在概率空間(Ω,F,P)上的鞅差序列，對于遞增σ代數序列{FkT,k∈N}，其在kT時刻可觀測到，并滿足條件：

證明 由于論文篇幅的限制，此處略.

3 仿真實例

為了驗證本文方法的有效性，對化工非線性對象pH的中和過程進行研究.pH控制系統的中和反應過程，如圖1所示[17].

圖1 pH中和反應過程

圖1中，酸液、緩沖液、堿液在反映池內發生中和反應，其溶液為：酸液HNO3；緩沖液NaHCO3；堿液NaOH，堿液NaHCO3.q1、q2、q3分別是酸液、緩沖液、堿液化學液劑的流量；q4是輸出液的流量；pH4是輸出液pH的測量值;Wa1、Wa2、Wa3、Wa4分別是這些化學液劑的電荷平衡因子；Wb1、Wb2、Wb3、Wb4分別是這些化學液劑的物料平衡因子.

用堿流q3作為控制量u，p=2，t1=τ1=1.0 min，τ2=1.5 min，T=τ1+τ2=2.5 min.輸出液pH測量值作為輸出量y.選y(kT-T)、y(kT-2T)、u(kT-T)、u(kT-2T)、u(kT+t1-T)和u(kT+t1-2T)構成向量φ(kT).取模糊模型的規則數c=6，模糊模型具體形式如下：

Rl:ifφ(kT) 屬于 Fl，then

y(kT)=-al1y(kT-T)-al2y(kT-2T)+

bl01u(kT-T)+bl02u(kT-2T)+

bl11u(kT+t1-T)+bl12u(kT+t1-2T)，

(l=1,2,…,6).

從現場得到60個數據進行競爭學習，建立pH控制系統的中和反應過程的模糊模型.仿真結果如下：圖2給出了模糊模型的輸出和實際輸出結果的比較；圖3為誤差比較曲線，均方差為0.155，顯然模糊模型能夠很好反映pH控制系統的中和反應非線性非均勻采樣過程，具有計算簡便、建模方便、高效的特點.

圖2 模糊模型的輸出和實際輸出結果的比較

圖3 誤差比較曲線

4 結 論

1)利用競爭學習確定模糊模型的前件結構；通過隨機梯度算法確定模糊模型的后件參數；通過定理和引理證明了模糊辨識算法的收斂性能.通過化工過程pH中和非均勻采樣過程研究，證明了所提出方法有效性.

2)對于含有框架周期，輸入信號的刷新時間不確定、隨機的、非均勻采樣的非線性系統的辨識(這種情況在網絡控制系統，工業系統中，也是經常出現的)仍是困難的，主要困難表現在，由于輸入信號的刷新時間不確定，使得系統離散模型難于建立，因此不能采用基于離散模型的方法辨識.

[1] 劉艷君, 謝莉, 丁鋒. 非均勻采樣數據系統的AM-RLS辨識方法及仿真研究[J]. 系統仿真學報, 2009, 21(19): 6186-6189.

[2] XIE L, LIU J, YANG H Z, et al. Modelling and identification for non-uniformly periodically sampled-data systems[J]. IET Control Theory and Applications, 2010, 4(5): 784 -794.

[3] DING Feng, LI Qiu, CHEN Tongwen. Reconstruction of continuous-time systems from their non-uniformly sampled discrete-time systems[J]. Automatica, 2009, 45(2): 324-332.

[4] 丁鋒, 陳通文, 蕭德云. 非均勻周期采樣多率系統的一種辨識方法[J]. 電子學報, 2004, 32(9): 1414-1420.

[5] LI Weihua, HAN Zhengang, SHAH S L. Subspace identification for FDI in systems with non-uniformly sampled multirate data[J]. Automatica, 2006, 42(4): 619 - 627.

[6] VERHAEGEN M. Identification of the deterministric part of MIMO state space models given in innovations from input-output data[J]. Automatica, 1994, 30(1): 61-74.

[7] Van OVERSCHEE P, De MOOR B. N4SID: subspace algorithm for the identification of combined deterministic-stocastic system[J]. Automatica, 1994, 30(1): 75-93.

[8] WANG Jiandong, ZHENG Weixing, CHEN Tongwen. Identification of linear dynamic systems operating in a networked environment[J]. Automatica, 2009, 45 (12): 2763-2772.

[9] 蔣紅霞, 丁鋒. 一類非均勻采樣數據系統的狀態估計[J] . 科學技術與工程, 2008, 8(2) : 513-514.

[10]SHENG Jie, CHEN Tongwen, SHAH S L. Generalized predictive control for nonuniformly sampled systems[J]. Journal of Process Control, 2002, 12(8): 875-885.

[11]SHENG Jie, CHEN Tongwen, SHAH S L. Generalized predictive control for non-uniformly sampled systems[J] . Journal of Process Control, 2002, 12(8) :875-885.

[12]KAZAKOV, V A. Non-uniform sampling and reconstruction of stochastic processes with the limited number of samples[J]. WSEAS Transactions on Systems, 2006, 5(8): 1777-1784.

[13]LUO Junyi, LEI Lin. Periodic non-uniform sampling for sparse signals in shift-invariant spaces[J]. International Journal of Hybrid Information Technology, 2015, 8(12): 421-432.

[14]WAN Yiming, WANG Wei, YE Hao. Discrete time-varying fault detection filter for non-uniformly sampled-data systems[J]. Science China Information Sciences, 2014, 57(3): 1-11.

[15]CHUN F L, LEE T. Fuzzy competitive learning[J]. Neural Networks, 1994, 7(3): 539-551.

[16]GOODWIN G C, SIN K S. Adaptive Filtering Prediction and Control[M]. New York, NY: Dover Publications, Inc, 1984.

[17]張智煥, 王樹青. 基于多模型pH非線性過程的預測控制[J]. 浙江大學學報：工學版，2002, 36(1): 29-31.

(編輯 張 紅)

Fuzzy identification of non-uniformly multirate sampled nonlinear systems based on competitive learning

WANG Hongwei，LIAN Jie

(School of Control Science and Engineering, Dalian University of Technology, 116024 Dalian, Liaoning, China)

In practical nonlinear system, due to the limitation of resources, the input signal is quickly refreshed, while the output signal is slowly sampled. Thus, it is difficult to identify the original nonlinear system by using the sampled data. For this purpose, the linear models of multiple characteristic points of nonlinear system are transformed into a series of consequent linear models of the fuzzy model by the lifting technique. On this basis, we propose a fuzzy identification algorithm based on competitive learning and recursive gradient descent method. And we prove that the parameters of the fuzzy model can be uniformly convergent under the condition of persistent excitation. In view of chemical pH neutralization process, the fuzzy model of the chemical system is established by using non-uniformly sampled data. By comparing the output errors between the actual data and the output data of the fuzzy model, it is shown that the fuzzy identification method can establish the process model in the real system under the condition of non-uniform sampling, which verifies the validity of the proposed method.

competitive learning; fuzzy identification; multi-rates sampling systems; non-uniformly sampled; nonlinear systems

10.11918/j.issn.0367-6234.2016.04.018

2014-10-20.

國家自然科學基金(61004040).

王宏偉(1969—),男,副教授，碩士生導師;

連 捷(1980—),女,副教授,博士生導師.

王宏偉, wanghw@dlut.edu.cn.

TP273

A

0367-6234(2016)04-0109-05