具有Hassell-Varley型的隨機捕食系統正全局解的存在性

葉麗霞，蘭德新

（武夷學院數學與計算機學院，福建武夷山354300)

具有Hassell-Varley型的隨機捕食系統正全局解的存在性

葉麗霞，蘭德新

（武夷學院數學與計算機學院，福建武夷山354300)

基于Hassell-Varely型功能性反應和隨機干擾，研究了一類具有Hassell-Varely型的隨機捕食系統正全局解的存在性與唯一性。利用隨機微分方程中的比較原理及It?積分方法，給出了該系統正全局解的存在性與唯一性的充分條件，為研究該系統全局漸進穩定奠定基礎。

隨機擾動；Hassell-Varley型功能性反應；正全局解

在生物種群的研究中，研究者們把種群與種群之間相互競爭、捕食與被捕食、互惠合作等情況建成數學模型，用來描述、預測以致調節和控制物種的發展過程和發展趨勢。食餌-捕食者相互作用的關系是生物種群之間相互作用的基本關系之一，是生態學、生物學的研究熱點。

功能性反應是指單個捕食者在單位時間內捕食者、食餌的數量，其在食餌-捕食者系統的研究中扮演著重要角色.目前，對于不同功能性反應的食餌-捕食者系統已建立相應的研究成果[1-12]。

1969年，Hassell和Varley首先發現捕食者種群之間的干擾影響捕食效率的實驗證據，并提出了現在被稱作Hassell-Varley[6]型功能性反應

這里和分別代表食餌和捕食者種群規模（或者密度），是捕食者搜尋食餌的效率，用來表示捕食者之間的干擾，一般介于0到1之間。近年來，具有Hassell-VarleyH-V型功能性反應的捕食系統深得許多學者的廣泛關注，并建立了相應的研究。

2013年，楊戈鋒[3]研究一類具有遷移效應的Hassell-Varley型功能性反應的捕食者-食餌系統，利用比較原理和解的延展定理，給出了該系統耗散性和持續生存的條件。

2012年，鐘敏玲,劉秀湘[5]對一類具有Hassell-Varley型功能性反應的非時滯捕食者-食餌系統的周期解存在性問題，通過對重合度定理的延拓定理的改進，給出了一種新的解的估計方法，同時運用拓撲度的同倫不變性，給出了該系統周期解存在性的充要條件。

但目前對具有Hassell-Varley型功能性反應的捕食者-食餌系統的研究，大多涉及其正周期解、持續生存的研究，對于該系統的穩定性，全局解的存在唯一性涉及的比較少,而且對該類系統的研究很少考慮隨機因素的影響。

然而，在現實的生物系統中，隨機因素總是不可避免的。我們發現，外界的隨機擾動對生物的生長及種群的密度產生影響。因此，隨機生物系統模型的研究具有現實意義與應用意義，是十分重要的。

JiCY等[11]利用隨機微分方程的比較原理及It?積分，對一類具有隨機干擾的時滯食餌-捕食系統進行分析，給出了其系統正全局解的存在唯一性和該解的階矩上界.目前，對具有隨機擾動和時滯的食餌-捕食者系統的研究涉及比較少，尤其是具有Hassell-Varley型功能性反應的食餌-捕食者系統。

本文在王莉[7]提出模型的基礎上，考慮環境白噪聲的干擾，提出一類具有隨機擾動的食餌-捕食者系統，該系統具有Hassell-Varley型功能性反應函數。利用隨機微分方程中的比較原理及It?積分公式，在一些假定條件下，給出了該系統正全局解存在唯一性的充分條件。

1 預備知識

引理1（隨機微分方程的比較原理）設xi（t）分別是隨機微分方程

的解，其中f（x，t）∈C（Rx［0，∞］），g（x，t）∈C（Rx［0，∞］）.若還滿足：

（2）f1（x，t）

（3）x1（0）≤x2（0）；

則依概率1有,x1（t）≤x2（t），t≥0。

2 主要結論

Hassell-Varley模型是Hassell和Varley在1969年首次發現充裕的捕食者數量對捕食量有反作用的實驗數據并提出的模型，該模型更形象地描述了生物系統相互作用的關系。H-V型功能性反應的食餌-捕食系統的一般形式為：

其中，x（t），y（t）分別表示食餌種群和捕食者種群在t時刻的密度；r，k，a，β,γ分別表示食餌內稟增長率，捕食率，半飽常數，捕食者的死亡率和食餌生物量轉化為捕食者生物量的轉化率；δ稱為Hassell-Varley系數.該模型能夠反映形成群體的捕食者之間的相互關系，對于某些構成群體的陸地捕食者，可設而對某些構成群體的水生捕食者，設更合適些，若δ=1，即捕食者沒有形成群體，則模型就要變為比率型捕食者-食餌系統。

基于此，本文假設系統（2）中食餌和捕食者的內稟增長率r，k受到隨機干擾，即

研究下列具有擾動的Hassell-Varley型功能性的食餌-捕食者系統：

下面將研究系統（3）的解是存在且唯一的。

全文中，除非特別說明，設（Ω，F，｛Ft｝t≥0，P）是完備的概率空間，｛Ft｝t≥0滿足通常條件，即單調遞增且右連續，F0包含所有零測集，B1（t），B2（t）是定義在整個概率空間上的相互獨立的布朗運動。

系統（3）中，x（t），y（t）表示種群密度，則由實際意義可知它們非負，現在我們通過變換，并利用引理1隨機方程的比較原理，證明系統（3）的解存在唯一且是全局的。

定理3.1若下列條件

成立，則對給定的初始函數x（0）=x0，y（0）=y0，系統（3）存在唯一解，且此解以概率1位于中，即

證明：首先條件變換x（t）=eu（t）,y（t）=eν（t）則可得到如下方程：

具有初始函數

顯然系統（5）系數滿足局部Lipschitz條件，則在t∈（［0，τe］上有唯一局部解（u（t），ν（t）），其中τe是爆破時間，由It?式可知x（t）=eu（t）,y（t）=eν（t）是對任意給定的初始函數，系統（3）的唯一正局部解。

其次，證明此解是全局的，即證τe=∞。

由x（t）>0，y（t）>0可知，

dx（t）≤［r-bx（t）］x（t）dt+σ1x（t）dB1（t）

有解.It?積分方法可解得

由引理1知，x（t）≤φ（t）,t∈（［0，τe］，a.s.（6）

有解.由It?積分方法可解得

由引理1知，y（t）≤ψ（t）,t∈（［0，τe］，a.s.。（7）

另一方面,由于y（t）≤ψ（t）且δ∈（0，1），則有

有解.由It?積分公式可解得

則x（t）≥φ（t）,t∈（［0，τe］，a.s.。（8）

又因為

有解.由It?積分方法可解得

則y（t）≥ψ（t）,t∈（［0，τe］，a.s.。（9）

總之，由式（6）-（9）式可知

ψ（t）≤x（t）≤φ（t），ψ（t）≤y（t）≤ψ（t），a.s.。

注意到，當t≥0，Φ（t），φ（t），Ψ（t）和ψ（t）都存在.所以?t≥0，對任意給定的初始函數x（0）=x0，y（0）=y0系統（3-2）有唯一正解（x（t），y（t）），幾乎處處成立，證畢。

[1]Liu M,Wang K.Global stability of stage-structured predator–prey models with Beddington–DeAngelis functional response[J].ELSEVIER,Commun Nonlinear Sci Numer Simulat，2011（16）:3792–3797.

[2]張升泉,劉會民.具有非線性收獲率和Hassell-Varley型功能性反應的差分方程組的周期解[J].生物數學學報,2013（3）:415-422.

[3]楊戈鋒.具有遷移效應的Hassell-Varley-Holling捕食者-食餌系統的持續生存[J].生物數學學報,2013（1）:61-66.

[4]沈柳平,姚曉潔,楊繼昌.一類具有Hassell-Varley型功能反應和脈沖的擴散捕食系統的正周期解存在性[J].數學的實踐與認識,2011（13）:228-240.

[5]鐘敏玲,劉秀湘.脈沖時滯Hassell-Varley-Holling功能性反應捕食者：食餌系統周期解存在的充要條件[J].應用數學學報,2012（2）:297-308.

[6]Hassell M P,Varely G C.New inductive population model for insect parasites and its bearing on biological control[J]. Nature,1969（223）:1133-1137.

[7]王莉.有Hassell-Varley型功能性反應的捕食者-食餌系統持續生存性[J].企業技術開發，2012,31（1）：1006-8937.

[8]JiCY,Jiang D Q,Li X Y.Qualitative analysis of a stochastic ratio-dependent predator–prey system[J].ELSEVIER,Journal of Computational and Applied Mathematics，2011(235):1326–1341.

[9]LiYQ,Gao H L.Existence,uniqueness and global asymptotic stability of positive solutions of a predator–prey system with Holling II functional response with random perturbation[J]. ELSEVIER,Nonlinear Analysis,2008(68):1694–1705.

[10]孟笑瑩，鄧其飛，彭云建.具有隨機擾動的食餌-捕食系統的穩定性[J].系統工程與電子技術,2011，33（2）：385-389.

[11]Ji C Y,Jiang D Q,Shi N Z.Analysis of a predator–prey model with modified Leslie–Gower and Holling-type II schemes with stochastic perturbation[J].ELSEVIER,Journal of Mathematical Analysis and Applications,2009(359):482–498.

[12]Hye K K,Hunki B.The dynamical complexity of a predator–prey system with Hassell–Varley functional response and impulsive effect[J].ELSEVIER,Mathematics and Computers in Simulation,2013(94):1–14.

（責任編輯：葉麗娜）

Existence of Global Solutions Stochastic Prey-Predator System with Hassell-Varley Type Functional Response

YE Lixia，LAN Dexin
(School of Mathematics and Computer,Wuyi University,Wuyishan,Fujian 334300)

With Hassell-Varley type functional response and random disturbance,this paper further studies existence and uniqueness of global solutions stochastic prey-predator system with Hassell-Varley type functional response.A sufficient condition of existence and uniqueness of global solutions have been presented for such systems by using the comparison principle of stochastic differential equation and integral,contributing to study global asymptotic stability of the systems.

random disturbance;Hassell-Varley type functional response;global solutions

O175

A

1674－2109(2016)09－0038－04

2016-01-05

國家自然科學基金（11202249）,福建省青年教師科研基金（JA15524）。

葉麗霞（1987-），女，漢族，助教，主要從事動力系統方面的研究。