比較二次函數值的大小

薛秋萍

二次函數值的比較大小類試題一直是中考熱點問題.這類問題一方面凸顯了對二次函數的圖像性質的基本知識、核心知識的考查，另一方面體現了對數形結合、分類討論等重要思想方法的考查.

【引例】

已知點A（2，y1），B（-1，y2）在拋物線y=（x-1）2+1上，則比較y1，y2的大小關系 .

【常規思路】

從代數的角度，我們可以根據二次函數圖像上點的坐標特征，將A（2，y1），B（-1，y2）代入二次函數分別計算出y1，y2的值，然后再比較它們的大小；從函數的角度，我們可以先利用二次函數的對稱性，將對稱軸異側兩點A（2，y1），B（-1，y2）轉化到對稱軸的同一側兩點A（2，y1），B′（3，y2），再根據二次函數的增減性比較大小.

【題后反思】

從解題中我們發現代數法的本質即利用圖像上點的坐標特征把二次函數值的比較大小轉化為代數式值的比較大小.而函數法的本質即結合二次函數的圖像，利用函數增減性把二次函數值的比較大小轉化為比較A、B兩點到對稱軸距離的遠近.

代數法是順其自然的解答，函數法是數形結合的方法，直觀簡單.這兩種方法時刻貫穿于我們二次函數的值比較大小的問題中，如何準確熟練使用好這兩種方法呢？下面我們一起看三個例題分析.

【應用實例】

例1 二次函數y=mx2-2mx+m2+1（m<0）的圖像經過點A（2，y1），B（-1，y2），則比較y1，y2的大小關系 .

【思路分析】順其自然我們會想到代數法，利用代入法算出y1=m2+1，y2=m2+3m+1，然后利用作差法得出y1-y2=-3m>0即y1>y2.由于函數法取決于開口方向與對稱軸，只有找出“隱形”對稱軸x=1，進一步判斷出A點到對稱軸的距離比B點到對稱軸距離要近，再根據開口向下，離對稱軸越近函數值越大進而得出y1>y2.

【題后反思】

一般情況下，若點的橫坐標已知，我們易用代數法解決問題；若對稱軸以及開口方向顯然可知，用函數法相對比較簡單.

例2 已知拋物線y=（x-3）2+2經過點A（m，y1），B（n，y2），且[m-3]<[n-3]，則比較y1，y2的大小關系 .

【思路分析】 此題中非常清晰可知二次函數的對稱軸與開口方向，函數法應該優先考慮.再根據[m-3]<[n-3]，不難得出A點到對稱軸的距離比B點到對稱軸的距離要近，再根據“開口向上，離對稱軸越遠函數值越大”進而得出y1

【題后反思】用函數法處理問題時我們僅需關注二次函數的對稱軸與開口方向以及已知點與對稱軸的距離的遠近，與已知點在對稱軸的同側還是異側關系不大。

例3 已知點A（m，y1），B（m+1，y2）， 在拋物線y=（x-1）2+1上，則比較y1，y2的大小關系 .

【思路分析】代數法，常規做法利用代入法算出y1，y2，然后利用作差法得y1-y2=-2m+1，由于m的取值未知，故而對-2m+1的正負性討論，最后得出：當m=0.5時，y1=y2；當m>0.5時，y1y2.二次函數的對稱軸與開口方向都易知，函數法應該也是可以的.但從題目中難以確定A點到對稱軸的距離與B點到對稱軸距離的遠近，于是必須對此進行討論，即[m+1-1]與[m-1]比大小.當A點與B點到對稱軸距離一樣時，m=0.5，此時y1=y2；當A點到對稱軸較近時，m>0.5，此時y1y2.

【題后反思】此題中無法判斷兩點與對稱軸的距離的遠近，似乎用函數法不易理解，下面我們把它簡化為判斷AB中點與對稱軸的位置.

【變式】若二次函數y=a（x-h）2+k（a>0）經過A（m，y1），B（n，y2）兩點，且m

【解答】①AB中點在對稱軸上，即[m+n2]=h時，y1=y2；②AB中點在對稱軸右面，即[m+n2]>h時，y1y2.

【方法總結】

二次函數的函數值比較大小的方法：

（1）代數法.具體步驟：①代入求值；②作差比較.

（2）函數法.具體步驟：①找對稱軸與開口方向畫出簡圖；②求AB中點的橫坐標；③判斷AB中點與對稱軸的位置（點在對稱軸上、左、右）；④根據函數圖像性質得出結論.

（作者單位：江蘇省太倉市第二中學）