太高了？構(gòu)造“相似三角形”測(cè)高度

陶建石

數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)自于我們的生活，反過(guò)來(lái)運(yùn)用所學(xué)到的數(shù)學(xué)知識(shí)可以去解決生活的問(wèn)題.看似簡(jiǎn)單的相似三角形模型，若能夠靈活運(yùn)用，便可以解決生活中許多“高度”的問(wèn)題.下面我們舉例分析相似三角形的應(yīng)用.

例1 某市為了打造森林城市，樹(shù)立城市新地標(biāo)，實(shí)現(xiàn)綠色、共享發(fā)展理念，在城南建起了“望月閣”及環(huán)閣公園.小亮、小芳等同學(xué)想用一些測(cè)量工具和所學(xué)的幾何知識(shí)測(cè)量“望月閣”的高度，來(lái)檢驗(yàn)自己掌握知識(shí)和運(yùn)用知識(shí)的能力.他們經(jīng)過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)，觀測(cè)點(diǎn)與“望月閣”底部間的距離不易測(cè)得，因此經(jīng)過(guò)研究需要兩次測(cè)量，于是他們首先用平面鏡進(jìn)行測(cè)量.

方法如下：如圖1，小芳在小亮和“望月閣”之間的直線BM上平放一平面鏡，在鏡面上做了一個(gè)標(biāo)記，這個(gè)標(biāo)記在直線BM上的對(duì)應(yīng)位置為點(diǎn)C，鏡子不動(dòng)，小亮看著鏡面上的標(biāo)記，他來(lái)回走動(dòng)，走到點(diǎn)D時(shí)，看到“望月閣”頂端點(diǎn)A在鏡面中的像與鏡面上的標(biāo)記重合，這時(shí)，測(cè)得小亮眼睛與地面的高度ED=1.5米，CD=2米.然后，在陽(yáng)光下，他們用測(cè)影長(zhǎng)的方法進(jìn)行了第二次測(cè)量，方法如下：如圖1，小亮從D點(diǎn)沿DM方向走了16米，到達(dá)“望月閣”影子的末端F點(diǎn)處，此時(shí)，測(cè)得小亮身高FG的影長(zhǎng)FH=2.5米，F(xiàn)G=1.65米.

如圖1，已知AB⊥BM，ED⊥BM，GF⊥BM，其中，測(cè)量時(shí)所使用的平面鏡的厚度忽略不計(jì)，請(qǐng)你根據(jù)題中提供的相關(guān)信息，求出“望月閣”的高AB的長(zhǎng)度.

【解析】根據(jù)鏡面反射原理結(jié)合相似三角形的判定方法得出△ABC∽△EDC，△ABF∽△GFH，進(jìn)而利用相似三角形的性質(zhì)得出AB的長(zhǎng).

因?yàn)椤鰽BC∽△EDC，△ABF∽△GFH，

則[ABED]=[BCDC]，[ABGF]=[BFFH].

即[AB1.5]=[BC2]，[AB1.65]=[BC+182.5].

解得AB=99.

答：“望月閣”的高AB的長(zhǎng)度為99米.

例2 如圖2，小華為了測(cè)量所住樓房的高度，他請(qǐng)來(lái)同學(xué)幫忙，測(cè)量了同一時(shí)刻他自己的影長(zhǎng)和樓房的影長(zhǎng)分別是0.5米和15米.已知小華的身高為1.6米，那么他所住樓房的高度為多少？

【解析】在同一時(shí)刻，不同物體的物高與影長(zhǎng)成比例.根據(jù)這一模型可以避免直接測(cè)量較高的物體如高樓、旗桿等的高度.只需測(cè)量出人與人影、樓影這些較易測(cè)量的長(zhǎng)度就能計(jì)算出樓高.

由△BAC∽△EDF可得BC∶AC=EF∶DF，再將AC=1.6米，EF=15米，BC=0.5米代入，可求得大樓的高度為48米.

例3 如圖3，小麗利用影長(zhǎng)測(cè)量學(xué)校旗桿的高度.由于旗桿靠近一個(gè)建筑物，在某一時(shí)刻旗桿影子中的一部分映在建筑物的墻上，小麗測(cè)得旗桿AB在地面上的影長(zhǎng)BC為20m，在墻上的影長(zhǎng)CD為4m，同時(shí)又測(cè)得豎立于地面的1m長(zhǎng)的標(biāo)桿影長(zhǎng)為2m，請(qǐng)幫助小麗求出旗桿的高度.

這個(gè)問(wèn)題有以下三種構(gòu)造相似模型的方法：

方法一：如圖4，延長(zhǎng)AD、BC交于點(diǎn)E.可知在沒(méi)有建筑物的情況下旗桿的影子應(yīng)為BE，根據(jù)標(biāo)桿的有關(guān)情況即可知AB∶BE=1∶2.再由△EAB∽△EDC可得DC∶AB=EC∶EB，從而可求得EC=8m，EB=28m，則旗桿高度AB=14m.

方法二：如圖5，過(guò)C作AD的平行線交AB于E.此時(shí)四邊形ADCE為平行四邊形，AE=DC=4m.而B(niǎo)E的影長(zhǎng)即為BC，由已知可求得BE=10m.因此旗桿高為14m.

方法三：如圖6，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，易得BE=CD=4m，BC=DE=20m.AE的影長(zhǎng)可看作DE，由標(biāo)桿條件可得AE=10m，因此旗桿高度為14m.

除了測(cè)量高度，相似模型還應(yīng)用于測(cè)量各種距離，如河面的寬度等，這樣既簡(jiǎn)化了測(cè)量過(guò)程，也節(jié)約了操作成本.

其實(shí)，利用相似三角形模型解決實(shí)際問(wèn)題，僅僅是它在生活應(yīng)用中的一小部分.至于相似模型具體還能有哪些巧妙的應(yīng)用，就等待著同學(xué)們?cè)偃ヌ剿鳎?/p>

（作者單位：江蘇省常熟市外國(guó)語(yǔ)初級(jí)中學(xué)）