畫好圖 探出路 定相似

胡華春

相似三角形在中考中占有十分重要的地位，現就中考中常見的與相似三角形有關的存在性問題和同學們一起來研究解題策略與方法.

問題1 （改編自蘇州市2007年中考第29題）平面直角坐標系中，點A（-1，0）、B（4，0）、D（1，-3）和E（6，7），如圖1.連接AE、BE、BD.在x軸上是否存在點P，使得以點P、B、D為頂點的三角形與△AEB相似？若存在，求出點P的坐標.

這是典型的不定三角形與定三角形的相似問題，因此，我們要嘗試尋找△AEB與△PBD之間是否有確定的對應關系.

△AEB中，由三頂點坐標可求出三條邊長，過點E做EF⊥x軸于點F，如圖2，AB=5，AE=[72]，BE=[53]，同時可得∠EAB=45°.

△PBD中，不妨先假定一個點P，如圖2.當點P在x軸上點B的左側時，可以發現邊BD 和∠PBD是不變的，其他的邊和角都隨點P的位置的改變而改變.此時，動中取靜，先計算BD和∠PBD，以靜制動.過點D作DG⊥x軸于點G，可得BD=[32]，∠PBD=45°.

從而∠EAB=∠PBD=45°，△PBD中的定角∠PBD為45°，與△AEB中的∠EAB成為對應角.

根據相似三角形的判定方法，已知一對對應角相等時，再尋找另一對對應角相等或者尋找夾這組對應角的兩邊對應成比例即可.要解決點P的坐標，即要解決與點P有關的線段的長.因此，選擇夾∠EAB和∠PBD的兩組邊對應成比例來使這兩個三角形相似.但是線段BP的長度是可以改變的，也就是夾這兩個角的兩組邊對應關系不確定，需要分兩種情況：

[PBBD]=[ABAE]或[PBBD]=[AEAB].

代入相關數據，可得PB=[157]或[425]，從而點P[137，0]或[-225，0].

當點P位于點B的左側時，∠PBD=135°，顯然△PBD中不可能有45°角，從而與△AEB不可能相似.

問題2 （改編自蘇州市2012年中考第29題）如圖3，平面直角坐標系中，A（1，0），B（b，0），C[0，b4]，b>2 ，請你探索在第一象限內是否存在點Q，使得△QCO，△QOA和△QAB中的任意兩個三角形均相似（全等可作相似的特殊情況）？如果存在，求出點Q的坐標；如果不存在，請說明理由.

本題是三個不定三角形之間的兩兩相似問題，可以按照問題1的步驟去思考，看是否能確定某兩個三角形之間的對應關系，盡可能找出隱含條件出來.先在第一象限任意取一點Q，連接CQ、OQ、AQ、BQ，如圖4，容易發現△QCO和△QOA有公共邊，△QOA和△QAB不僅有公共邊，而且有一條邊在同一直線上.∠QAB是△QOA的外角，由三角形的外角大于與之不相鄰的任意一個內角可得，∠QAB>∠OQA，∠QAB>∠QOA.而要△QOA和△QAB相似，必須這兩個三角形中有對應相等的角，則有∠QAB=∠QAO=90°，從而只需夾這兩個角的兩邊對應成比例即可.此時點Q的橫坐標為1，縱坐標就是線段AQ的長.

由于點Q的位置不確定，△QOA和△QAB中另外的兩對角的對應關系不確定，所以[AQAO]=[ABAQ]或[AQAO]=[AQAB]，代入數據，可得AQ2=b-1或b-2，顯然b-2應舍去.即當△QOA∽△BQA時符合題意，可得∠OQB=90°，如圖4.

△QCO和△QOA要相似，則△QCO必為直角三角形，又∠COQ不可能為90°，故∠OCQ=∠QAO=90°或∠CQO=∠QAO=90°.

當∠OCQ=∠QAO=90°時，如圖4，△QCO≌△OAQ，從而AQ=OC=[b4]，得[b4][2]=b-1，b=8±[43]，顯然，AQ=[2+3].

當 ∠CQO=∠QAO=90°時，又∠OQB=90°，得點C、Q、B在一直線上，如圖5.

此時，圖5中的所有直角三角形均兩兩相似，從而由△COB∽△OAQ得，[OCOA]=[OBAQ]，得[b4]=[bAQ]，AQ=4.

所以，點Q的坐標為（1，[2+3]）或（1，4）時滿足題意.

上述兩個問題的解決關鍵點是尋找兩個三角形中的一個對應角相等這一隱含條件.而尋找這個隱含條件的方法就是結合草圖，計算相關圖形中的邊角或運用邊角關系排除不相等的角，從而確定一個對應頂點.然后，進行分類討論，列出與所求相關的比例式，即可求解.

（作者單位：江蘇省常熟市海虞中學）