品味例題走進“二次元”世界

張曉東

在數學學習中，教材是我們的立足之本，每個例題不僅僅是知識內容的載體，其背后還蘊含著一些數學思想方法.我們在平時的學習過程中，要學會對書本上例題有進一步的思考、反思，從中提煉出解決一類問題的策略、方法.本文從教材中一道二次函數應用題出發，和大家一起品味例題，走進一元二次方程和二次函數的世界.

原題呈現：蘇科版《數學》九年級下冊第8頁第5題

如圖1，用50m長的護欄圍成一塊靠墻的矩形花園，試寫出花園的面積y（m2）與邊長x（m）之間的函數關系式.

【分析】本題首先要弄清楚兩點：第一，50m的護欄長，從圖中看就是三條線段AB+BC+CD=50，在知道BC=x后，可用含字母x的代數式表示得到AB=CD=[12]（50-x）；第二，要寫出矩形面積與邊長之間的函數關系式，只要知道AB的長，利用公式就可以列出.

解：當BC=x時，則AB=CD=[12]（50-x），

所以y=[12]（50-x）x=-[12]x2+25x.

此時x的取值范圍為：0

【點評】此題考查了二次函數的應用，解題的關鍵是分析清楚可知和需知，根據實際問題中的數量關系列出函數關系式，最后要注意自變量x的取值范圍.

【拓展一】問題條件不變，問矩形面積能否等于313m2？

【分析】本題有兩種方法：一種是利用一元二次方程根的判別式解決，另一種是利用二次函數的最大值解決.

解法一：由題意得：-[12]x2+25x=313，

即x2-50x+626=0，Δ=-4<0.

所以此方程無解.

這就是說矩形花園的面積不可能等于313m2.

解法二：對y=-[12]x2+25x進行配方，得：

y=-[12]（x-25）2+312.5.

故矩形花園面積的最大值是312.5，也就不可能取到大于312.5的值.

【分析】此題主要考查了二次函數的應用，關鍵是正確確定二次函數關系式，把面積最大值問題轉化為二次函數的頂點縱坐標來求.

【拓展二】如圖2，用50m長的護欄圍成一塊靠墻的矩形花園，墻的長度為20m，試寫出花園的面積y（m2）與邊長x（m）之間的函數關系式，并求出花園的最大面積.

【分析】矩形面積y與邊長x之間的函數關系式沒有變化.但要注意到因為受墻長為20m這個條件的限制，自變量x的取值范圍變化了，從而在求面積的最大值時，x的值取不到頂點的橫坐標25.所以面積的最大值也就不再是頂點的縱坐標了.

解：當 BC=x時，則AB=CD=[12]（50-x），

所以y=[12]（50-x）x=-[12]x2+25x.

此時x的取值范圍為：0

對y=-[12]x2+25x進行配方，得：

y=-[12]（x-25）2+312.5.

此時，這個二次函數的對稱軸為直線x=25，在自變量取0

所以，當x=20時，矩形面積有最大值，最大值為300m2.

【點評】在解決最大最小值問題中，函數方法是常用方法，一般情況下最值在頂點取到，但在實際應用的時候受自變量取值范圍的限制，其最值可能在左端點或右端點取到.必要時可以畫出函數的草圖解決.

【拓展三】如圖3，矩形花園一面靠墻（墻足夠長），另外三面所圍的柵欄的總長度是19m.（1） 若花園的面積是24m2，求AB邊的長度是多少？（2）若只利用這些柵欄將如圖所示的矩形花園分隔成兩個有一邊相鄰的矩形花園，且圍成的總面積最大，求兩個矩形花園公共邊的長.

【分析】第（1）小題列出一元二次方程，應該能比較快地解決.第（2）小題的題型應該是常規問題，也就是列出函數關系式，利用二次函數頂點坐標解決，但因為沒有明確如何分隔，可以是橫向也可以縱向，所以本題要分類討論.

解：（1） 設AB=x，則BC=19-2x.

由題意得：x（19-2x）=24.

∴x1=8，x2=[32].

答：AB邊的長是8m或[32]m.

（2） ①當隔欄垂直墻時，

設隔欄長為xm，則平行墻的圍欄長（19-3x）m.

花圃面積S=x（19-3x），即S=-3x2+19x.

當x=[196]時，Smax=[36112].

②當隔欄平行墻時，

設隔欄長為xm，則垂直墻的圍欄長[19-2x2]m.

花圃面積S=x·[19-2x2]，即S=-x2+[192]x.

當x=[194]時，Smax=[36116].

綜上所述，當隔欄垂直墻時，Smax=[36112].

【拓展】對于此題的解決還可以設BC=x來解決，但這樣會出現分數，運算起來相對麻煩些.問題還可以拓展到繼續分割成三個、四個甚至更多個矩形來考慮.

通過對一個問題的深入思考挖掘進行拓展、演變和延伸，才能讓我們“回頭是岸”，脫離“題海”，帶大家進入數學的美妙世界.

（作者單位：江蘇省太倉市沙溪實驗中學）