利用找、用、畫突破相似圖形學習的困難

王裕龍

“圖形的相似”是初中數學的主要內容之一，是全等圖形的繼續和延伸，圖形的相似也是我們解決函數、圓、三角形等綜合性問題的一個常用的知識點，在中考中占據著重要的地位.下面就相似三角形中幾個常見的難點問題進行剖析，希望能為同學們在解題的思維、方法等方面提供幫助.

方法一 “找”—— 找要用到的相似三角形

例1 （2013·江蘇蘇州）如圖1，點P是菱形ABCD對角線AC上的一點，連接DP并延長DP交邊AB于點E，連接BP并延長BP交邊AD于點F，交CD的延長線于點G.

（1）求證：△APB≌△APD.

（2）已知DF∶FA=1∶2，設線段DP的長為x，線段PF的長為y.

①求y與x的函數關系式；

②當x=6時，求線段FG的長.

【解析】（1）由菱形的性質，得到AB=AD和AC平分∠BAD，即∠DAC=∠BAC，由“SAS”判斷△APB≌△APD.

（2）①由已知條件DF∶FA=1∶2，及要得到DP、PF之間的關系，我們可以思考是否用相似來解決，DF、FA、DP、PF這四條線段能否直接構成兩個三角形，即用△AFP和△DPF來證明相似，我們發現這是不可能的.接下來考慮把其中某些線段轉換，由△APB≌△APD得DP=BP，由DF∶FA=1∶2，得AF∶BC=2∶3，這樣由“Z”字型相似，證得：△APF∽△CPB，[FPBP]=[AFBC]=[23]，得[yx]=[23]，即y=[23]x.

②當x=6時，y=4，則BF=10，

由△DGF∽△ABF得[FGBF]=[DFAF]=[12]，

求得FG=5.

【點評】解題關鍵是如何找到兩個要用到的相似三角形，這就需要同學們結合已知條件及所求結論來“偵查”有用信息.

方法二 “用”—— 用相似三角形性質測距

例2 在“測量物體高度”的活動中，三個小組分別選擇測量學校里不同的三棵樹的高度，在同一時刻的陽光下，他們分別采集到了如下數據：

A小組：測量一根長為1米的竹竿的影子長為0.8米，此時甲樹的影長為4米.

B小組：如圖2①，乙樹AB的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教學樓的墻壁上，測得墻壁上的影子如圖CD=1.2米，落在地面上的影子AC=2.4米.

C小組：如圖2②，丙樹OP的影子除落在地面上外，還有一部分落在一個斜坡上，測得落在地面上的影子長OQ=2米，斜坡上影子長QR=4米，且∠OQR=150°.

根據上述信息分別求甲、乙、丙三棵樹的高.

【解析】（1）如圖3，已知：XZ=4，求XY.根據平行投影結論：在平行光線的照射下，不同物體的物高與其影長成正比.得到[XYXZ]=[10.8]，由XZ=4，得XY=5.

所以甲樹的高度為5米.

（2）如圖4，因為點B通過太陽光線照射投影在點D處，所以太陽光線的方向是直線BD方向.

過點C作CE∥BD交AB于點E.根據平行投影結論得[AEAC]=[10.8]，而AC=2.4，求得AE=3.

由條件AB∥CD，CE∥BD，

證得四邊形CDBE是平行四邊形，求得BE=CD=1.2，即AB=AE+BE=4.2.

所以乙樹的高度為4.2米.

（3）作法一：

如圖5，首先確定太陽光線的方向是直線PR方向，得到[PMRM]=[10.8]，即PM=[54]RM.

由圖可知：PO=PM-OM.

要求出PO的長度，就要分別求出PM、OM的長度，由圖可知RM=MN+RN，此時我們就要分別求出OM、MN、RN的長度，而可證四邊形OMNQ是矩形，

即OM=NQ，MN=OQ=2，此時就要求出QN、RN的長度，由條件∠OQR=150°，而∠OQN=90°，可得∠NQR=60°，即△NQR是內含30°角的直角三角形，因為QR=4，所以QN=2，RN=[23]，則RM=2+[23]，此時求得PM=[52+523]，所以PO=[12+523].所以丙樹的高度為[12+523]米.

作法二：

如圖6，使MQ∥PR，

由[OMOQ]=[10.8]，OQ=2，

求得OM=[52].

在Rt△NQR中，∠NRQ=30°，QR=4，

求得QN=2，RN=[23].由[HNNR]=[10.8]，求得HN=[523]，所以PM=HQ=[523]-2，

所以PO=[1+532].

【點評】在用相似解決實際問題時，首先畫出需要的圖形，然后常利用相似的性質：相似三角形對應高的比、周長比等于相似比，面積比等于相似比的平方，以及投影等知識得到比例式，選擇恰當的未知數建立方程.

方法三 “畫”——畫相似圖形覓得解答途徑

例3 如圖7，在正方形網格中，四邊形TABC的頂點坐標分別為T（1，1），A（2，3），B（3，3），C（4，2）.

（1）以點T（1，1）為位似中心，在位似中心的同側，將四邊形TABC放大為原來的2倍，放大后點A，B，C的對應點分別為A′，B′，C′，畫出四邊形TA′B′C′；

（2）寫出點A′，B′，C′的坐標；

（3）在（1）中，若D（m，n）為線段BC上任一點，則點D的對應點D′的坐標為（ ， ）.

【解析】（1）已知位似比是2∶1，分別延長TA、TB、TC至A′、B′、C′，使AA′=TA、BB′=TB、CC′=TC，就可得到四邊形TA′B′C′.

（2）由圖可得A′，B′，C′的坐標.A′（ 3，5），B′（5，5），C′（7，3）.

（3）構造圖8，△TDH∽△TD′H′，相似比2∶1，可得[TH′TH]=[D′H′DH]=2，即[TH′m-1]=[D′H′n-1]=2，求得TH′=2m-2，D′H′=2n-2，

求得D′坐標（2m-1，2n-1）.

【點評】圖形的位似是特殊的相似，這里還要注意的是以T為位似中心，而不是原點，我們抓住相似比2∶1，通過構造一個輔助直角三角形準確求得點D′的坐標.

同學們可利用“找”“用”“畫”這三個方法，不斷提高對相似圖形的處理能力.

（作者單位：江蘇省常熟市王莊中學）