GEO SAR高階多普勒信號模型研究

趙秉吉 張慶君 劉立平 戴超

（北京空間飛行器總體設計部，北京 100094）

GEO SAR高階多普勒信號模型研究

趙秉吉 張慶君 劉立平 戴超

（北京空間飛行器總體設計部，北京 100094）

信號模型是星載合成孔徑雷達（SAR）數據處理的基礎數學模型，文章通過分析地球同步軌道合成孔徑雷達（GEO SAR）的軌道和成像機理的特殊性，針對長合成孔徑時間和彎曲軌跡，提出了一種適用于GEO SAR的精確高階多普勒信號模型。首先，建立合理的星－地運動幾何模型，分析3種典型軌道GEO SAR的姿態導引角度和合成孔徑時間特性；然后，闡述高階多普勒信號模型的解析形式以及相應各頻域的解析表達式。仿真結果表明：與等效斜視距離模型和改進的等效斜視距離模型相比，高階多普勒信號模型具有更高的精度；對10m分辨率的點目標進行成像處理，利用4階多普勒模型成像后，聚焦效果良好。

地球同步軌道合成孔徑雷達；信號模型；長合成孔徑時間；彎曲軌跡

1 引言

目前，在軌工作的對地觀測合成孔徑雷達（SAR）衛星，軌道高度都低于1000km，屬于低軌合成孔徑雷達（LEO SAR）衛星。衛星重訪周期長，測繪幅寬窄，對大面積區域進行連續觀測能力較弱。地球同步軌道合成孔徑雷達（GEO SAR）的成像體制，是在1978年由Tomiyasu首次提出的，即將SAR搭載在GEO衛星上，令衛星軌道平面略微偏離赤道平面，利用衛星運動和地球自轉角速度矢量差形成的星地相對運動來成像［1］。GEO SAR位于約36 000km的高空，回歸周期大大縮短（24h），測繪幅寬顯著增加（500～3500km），具備LEO SAR無法比擬的優勢，具有很好的應用前景。不過，GEO SAR具有長合成孔徑時間和彎曲軌跡的特點，傳統的LEO SAR信號模型無法滿足GEO SAR的成像指標要求，這也造成GEO SAR的研制難度較大。

GEOSAR數據處理中最重要的參數是雷達到目標的斜距，該距離隨方位時間而變化，并用“信號模型”（或“距離模型”）來定義。為了得到精確的信號模型，須要建立合理的星－地運動幾何模型，這對于GEO SAR會比較復雜。目前，國內外針對GEO SAR信號模型問題開展了一系列的研究。經典的LEO SAR信號模型是雙曲線形式的模型（Hyperbolic Range Equation，HRE），又稱為等效斜視距離模型［2］。在該模型中，認為平臺沿直線航跡飛行，地表是平面且無地球自轉，雷達波束中心與零多普勒面之間存在一個斜視角。其幾何含義明確，頻譜簡單且易推導，相應的成像算法也很成熟。為了提高HRE模型的精度，文獻［3］中提出了一種改進的雙曲線形式的模型（Advanced Hyperbolic Range Equation，AHRE），又稱為改進的等效斜視距離模型。該模型是在等效斜視模型的基礎上增加了一個額外的方位時間線性項，以提高擬合精度到3階項。以上2種模型都無法滿足GEO SAR數據處理的精度要求。為此，本文提出了一種基于泰勒級數形式的高階信號模型。該信號模型沒有從直觀的幾何關系出發，而是基于GEO SAR回波信號的多普勒歷程本質，利用高階精確多普勒參數得到泰勒展式，因此可稱為高階多普勒信號模型（High Order Doppler Signal Model，DSM）。本文利用級數反演、駐定相位原理和數學歸納法推導，得到了該信號模型的各頻域的解析表達式，可為頻域信號處理方法提供參考［4－8］。

本文首先選取了3種典型的GEO，對其衛星飛行軌跡和星下點軌跡特性進行分析，對姿態導引角度展開分析計算，并在此基礎上分析了10m分辨率所需的合成孔徑時間；通過對比3種模型的機理，闡明了高階多普勒信號模型的精確性和優越性；最后通過仿真分析，說明對于3種不同的GEO軌道，高階多普勒信號模型都滿足其精度要求，并給出10m分辨率的點目標成像結果。

2 GEO SAR軌道參數特性分析

在星載SAR系統設計中，軌道方案的選取將直接影響SAR的觀測能力，以及其他系統參數的確定。與LEO SAR不同，軌道六根數的變化導致GEO SAR飛行軌跡完全不同。GEO SAR的系統參數設計、合成孔徑時間和彎曲軌跡等，都與軌道形式密切相關，因此對信號精度的要求也不同。基于以上考慮，本文選取了3種典型的GEO進行分析，其軌道參數如表1所示。其中：軌道1具有大傾角、零偏心率的特性，是美國“全球地震監測系統”（GESS）方案中采用的軌道形式［7］；軌道2具有小傾角、大偏心率的特性，是英國和意大利方案中慣用的軌道形式［89］；軌道3是對前面兩者的參數進行折中。

表1 軌道參數Table 1 Orbital parameters

2.1 衛星軌跡和星下點軌跡仿真

二體軌道模型描述了衛星和地球之間相對運動最主要的特性，因此建立精確的二體軌道模型對星載SAR的信號建模和分析具有重要意義。為了提高二體軌道模型的精度，本文考慮了衛星橢圓軌道模型、地球旋轉橢球體模型及地球自轉3個因素。

對于LEO SAR而言，建立信號模型有時會忽略地球自轉，采用“局部”圓軌道和“局部”正球體來描述星地之間的運動軌跡，實際上就是利用正圓軌道和正球不轉動地球來建模。利用零多普勒2維姿態導引技術，在地心轉動坐標系中使雷達波束始終與衛星航跡垂直，可以等效為忽略地球自轉效應的影響，但是軌道偏心率和地球橢球率卻無法抵消。LEO SAR由于合成孔徑時間很短，可以忽略軌道偏心率和地球橢球率產生的誤差；GEO SAR的合成孔徑時間可達數百秒甚至上千秒，上述近似導致的誤差會很大。例如：對于軌道1，當衛星處于緯度幅角為0°的軌道位置時，合成孔徑時間約為600s，在這段時間內，由軌道偏心率導致的衛星地心距離的變化為2.028 8km，波束中心線與地表交點的地球本地半徑的變化為0.352 9km，綜上可見，對于GEO SAR而言，軌道偏心率和地球橢球率作為影響信號建模可信度的2個因素，需要精確分析。

利用經典天體力學方法，可得到衛星軌道方程為［10］

式中：Rs為衛星在軌道上的位置矢量幅值（即衛星質心到地心的距離）；P為軌道的半通徑；e為軌道偏心率；δ為真近心角；a為軌道長半軸。

可見，衛星軌道平面通過地心，法線方向恒定，運動軌跡為圓錐截線。

地球實質上是一個不規則的非光滑橢球體，其形狀十分復雜，使用高階模型逼近也很難描述其真實的幾何特點，特別是地表有約8800m的高程差，因此，在GEO SAR的信號建模與處理過程中，除選擇適當的地球模型外，還應對地表高程差作修正。本文選擇的旋轉橢球地球模型見式（2），地球始終繞著自轉軸自西向東以εe＝7.292 115×10－5rad/s的角速度自轉［11］。

式中：Re＝6 378.137km，Rp＝6 356.752km，在WSG－84模型中分別表示橢球地球赤道半軸和橢球地球極半軸；（Xt，Yt，Zt）為地表點目標的三維坐標。

基于以上分析，對表1所示3種軌道的衛星飛行軌跡和星下點軌跡進行仿真，結果如圖1和圖2所示。由仿真結果可見，同樣是GEO，軌道六根數變化導致衛星飛行軌跡和星下點軌跡差別很大，相應的系統參數設計、模型設計及精度需求都不同。

圖1 衛星飛行軌跡（在地固坐標系）Fig.1 Trajectory of satellites（in earth center rolling reference frame）

圖2 星下點軌跡Fig.2 Trajectory of subsatellite point

2.2 零多普勒中心姿態導引角度分析

當衛星沿著軌道飛行時，即使不受任何外部干擾力矩的影響，在地球自轉和軌道偏心率作用下，衛星本體坐標系和飛行坐標系的3個坐標軸之間會存在一定的夾角，這個角度會隨著衛星軌道位置的不同而周期性變化。簡言之，地球自轉導致產生偏航角；軌道的偏心率，導致產生俯仰角。偏航角和俯仰角的存在使星載SAR的波束斜視，進而使多普勒中心不為零。因此，如果要校正雷達波束中心，使其處于零多普勒面，就要對衛星實施二維姿態導引［10－12］。

對橢圓軌道和旋轉橢球地球幾何模型，從星－地空間幾何關系入手，利用矢量分析進行推導，得到GEO SAR偏航角θy和俯仰角θp的表達式如下。

基于以上理論分析，對表1中3種軌道的GEO SAR需要補償的姿態角進行仿真，結果見圖3。可見，軌道傾角變化主要導致偏航角變化，偏心率變化主要導致俯仰角變化。圖3的仿真結果表明：如果GEO SAR需要全軌正側視成像，則要按照圖3中所示的角度進行相應的偏航角和俯仰角控制，此時方位向和距離向不存在相位耦合；如果考慮到衛星重訪等因素，GEO SAR需要斜視成像，則不必基于圖3的結果進行姿態控制。

圖3 為達到零多普勒中心需要補償的角度Fig.3 Compensation angle for zero Doppler centroid

2.3 合成孔徑時間分析

傳統的SAR理論認為，方位分辨率ρa是天線方位向口徑D的1/2。對LEO SAR而言，考慮到衛星波束掃描速度Vg和飛行速度Vs的比例關系（Vg＝0.8Vs～0.9Vs），這一結果會修正為（Vg/Vs）· D/2，略有改善。由于GEO SAR的特性，傳統的方位分辨率計算方法誤差會很大，因此要推導新的計算公式。本文基于SAR理論根源，利用多普勒帶寬和波束掃描速度，得到GEO SAR的方位分辨率計算公式如下。

式中：f1為1階多普勒調頻率；TSAR為合成孔徑時間。

可見，合成孔徑時間越長，方位分辨率越好。由于GEO SAR的軌道特性，波束掃描速度和1階多普勒調頻率都是強時變參數，因此，其合成孔徑時間也具有強時變及空變性，即獲得同樣分辨率的圖像，不同軌道位置和入射角所需的相干時間變化劇烈，這與LEO SAR大不相同。圖4仿真了3種不同軌道參數的GEO SAR要達到10m分辨率所需的合成孔徑時間?？梢钥吹剑s90%的軌道位置，成像所需的合成孔徑時間不超過800s。

圖4 10m方位分辨率需要的合成孔徑時間Fig.4 Integration time for 10mazimuth resolution

3 信號模型分析

GEOSAR超長合成孔徑時間和彎曲軌跡要求精確的信號模型，其精確性在很大程度上決定了SAR的圖像聚焦質量。本節首先對等效斜視距離模型和改進的等效斜視距離模型進行簡要介紹，并重點闡述了高精度的適用于GEO SAR的高階多普勒信號模型。

3.1 等效斜視距離模型

通過把衛星軌道近似為直線，把地表近似為局部平面，并且忽略地球自轉，可以得到等效斜視距離模型的表達式為

式中：Rc為雷達波束中心掃過目標時的斜距；Vr為衛星的等效速度；η為方位向時間；θr為等效斜視角。

文獻［12］中詳細推導并論證了等效斜視距離模型對LEO SAR的適用性。其中，Vr和θr是決定該模型精度的關鍵。一般而言，它們的估算公式為

式中：θsq為波束的物理斜視角。

在上述近似結論的分析推導過程中，采用了大量的幾何近似，導致方位相位歷史誤差在合成孔徑兩端急劇增加。當方位分辨率較差時，合成孔徑時間較短，其誤差尚不明顯；若對應的合成孔徑時間變長，該誤差會急劇增加，使方位向散焦。

對于軌道高度低于1000km，且分辨率不超過0.5m的LEO SAR，其合成孔徑時間很短（秒級），等效斜視距離模型可以很好地模擬斜距，而且相應的成像算法也較成熟。目前，具有代表性的星載SAR系統，如德國的“陸地合成孔徑雷達”（Terra－SAR）衛星和加拿大的雷達衛星－1、2（Radarsat－1、2）等系統在數據處理時采用的都是該模型［13］。

3.2 改進的等效斜視距離模型

由于等效斜視距離模型只含有2個自由參數Vr和θr，無法精確擬合實際距離歷程的3階項，殘余3階擬合誤差是其主要誤差分量，因此增加方位時間的線性項，可以得到改進的等效斜視距離模型，其表達式為

式中：Δlη為增加的方位時間線性項，Δl為線性項的擬合系數。

可進一步得到Vr，θr，Δl的表達式。

式中：f2為2階多普勒調頻率；λ為波長；fdc為多普勒中心頻率。

由于增加了方位時間線性項，并重新反演計算了3個自由參數，該模型可以有效擬合實際距離信息到3階項，因此在一定情況下可以大幅度提高擬合精度。不過，由于表達式自身的限制，4階及以上誤差無法抵消。

改進的等效斜視距離模型的設計初衷是為了解決MEO SAR（軌道高度10 000km左右）的信號建模及數據處理問題，文獻［3］在對MEO SAR系統進行研究時采用了該模型。

3.3 高階多普勒信號模型

從純數學角度出發，任何形式的星載SAR斜距變化曲線都可以用泰勒級數展開式來描述。理論上，當展開式的階數趨于無窮時，擬合斜距曲線和真實斜距曲線將完全重合，各個分量隨階數的升高而逐漸減小，直至趨于零。利用這一思想，星載SAR的擬合斜距表達式RDSM（η）可以寫為

式中：fn－1為n－1階多普勒調頻率，n≥2；ηc為波束中心穿越時刻。

可見，上述模型的核心是如何精確計算各階多普勒參數，因此本文把這一模型定義為高階多普勒信號模型。經過一系列復雜推導分析［6］，可以得到基于該模型的回波信號在距離頻域方位時域、波數域和距離多普勒域的n階頻譜表達式。其中，距離頻域方位時域的回波信號頻譜表達式為

式中：fτ為距離向頻率；A1為包絡幅值；Wr為距離向信號包絡；Wa為方位向信號包絡；Kr為方位向調頻率；c為光速。

式（11）經過方位向傅里葉變換后，得到波數域的回波信號頻譜表達式，經過距離向逆傅里葉變換后，得到距離多普勒域的回波信號表達式。

高階多普勒信號模型基于高階多普勒參數，反演得到泰勒展開式的各階系數，因此具備很高的精確度，可以解決GEO SAR的信號建模及數據處理問題［14］。

4 仿真試驗

目前，GEO SAR可選擇的主要為上文所述3種信號模型，通過對比3種模型用于GEO SAR的精度，可選擇精度最優的模型。信號模型的階數越高，成像參數估計越復雜，因此要確定能夠滿足成像指標精度要求的最低階數。利用Matlab軟件進行數值仿真分析，3階多普勒信號模型相位誤差遠超過GEO SAR成像的限制，在合成孔徑兩端的最大相位誤差在10π以上，5階多普勒信號模型精度足夠高，但多普勒參數估計難度較大，因此本文選取4階多普勒信號模型。仿真對比了等效斜視距離模型、改進的等效斜視距離模型和4階多普勒信號模型的誤差表現形式；通過遍歷仿真，對這3種模型在全軌的誤差進行計算；分別利用3種模型進行10m分辨率點目標成像聚焦仿真，通過成像結果驗證高階多普勒信號模型的優越性和精確性。

4.1 3種模型精度仿真對比

以800s合成孔徑時間為仿真輸入，分析3種模型的精度。選取緯度幅角45°的軌道位置進行誤差仿真。為了進一步全面對比3種模型的精度，開展全軌遍歷仿真，對不同軌道位置進行誤差分析。仿真參數如表2所示，仿真結果如圖5和圖6所示。本文的仿真結果全部在Matlab2009環境下得出。

表2 GEO SAR仿真參數Table 2 Simulation parameters of GEO SAR

圖5 緯度幅角為45°時3種模型的誤差Fig.5 Errors of three models when satellite passes 45°latitude argument

圖6 全軌誤差計算結果Fig.6 Whole orbit error calculation results

由圖5的仿真結果可以看到：在45°緯度幅角處，對3種軌道而言，等效斜視距離模型和改進的等效斜視距離模型的相位誤差，在孔徑兩端的最大值都遠超SAR成像約束的閾值（π/4），完全不適用于GEO SAR；而4階多普勒信號模型的最大誤差只有約0.1π，誤差在容許的范圍之內。

由圖6的仿真結果可以看到：對3種軌道而言，等效斜視距離模型和改進的等效斜視距離模型的相位誤差，在全軌都遠超SAR成像約束的閾值（π/4），完全不適用于GEO SAR；而4階多普勒信號模型的最大誤差不超過0.16π，誤差在容許的范圍之內，精度滿足成像要求。

4.2 點目標成像仿真

基于之前的理論和分析結果，本節利用3種模型分別對10m分辨率的點目標進行成像處理，得到仿真結果如圖7所示。利用3種模型的波數域參考頻譜，可以對場景中心參考點目標聚焦結果進行分析。從仿真結果看，利用等效斜視距離模型和改進的等效斜視距離模型進行成像后，方位向都發生了嚴重的散焦。利用4階多普勒信號模型進行點目標聚焦后，成像效果良好。對距離向和方位向進行切片，成像指標參數展寬比（IRW）、峰值旁瓣比（PSLR）和積分旁瓣比（ISLR）仿真結果如表3所示。可見，三者的仿真結果與它們的理想值10.00m，－13.26dB，－10dB非常接近，說明本文仿真結果誤差很小。

由以上分析和仿真結果可見，4階多普勒信號模型誤差小于GEO SAR成像要求的約束閾值（π/4），點目標聚焦效果良好。

圖7 對10m分辨率點目標的成像聚焦結果Fig.7 10mresolution point target focusing results

表3 成像指標參數Table 3 Imaging parameters

5 結束語

本文建立了合理的星－地幾何模型，并分析了3種典型軌道GEO SAR的姿態導引角度和合成孔徑時間特性，通過分析GEO SAR軌道和成像機理的特殊性，提出了一種適用于GEO SAR的精確高階多普勒信號模型，給出了其時域解析形式及相應各頻域的解析表達式，為成像數據處理提供了基礎數學模型，并通過仿真試驗結果證明了4階多普勒信號模型精度滿足GEO SAR成像要求。通過對3種軌道GEO SAR進行仿真試驗發現：對10m分辨率的點目標進行成像處理，利用4階多普勒模型成像后，聚焦效果良好。本文提出的高階多普勒模型，可應用于GEO SAR衛星系統參數設計和地面數據處理中。

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（編輯：夏光）

Study on High Order Doppler Signal Model of GEO SAR

ZHAO Bingji ZHANG Qingjun LIU Liping DAI Chao
（Beijing Institute of Spacecraft System Engineering，Beijing 100094，China）

Signal model is very important for spaceborne SAR data processing.According to the properties of GEO SAR orbit and imaging approach，an accurate high order Doppler signal model is advanced for the long integration time and curve trajectory.A credible satellite－earth geometry model is analyzed，and the attitude steering angle and integration time properties of three different orbital GEO SAR are analyzed.An analytic expression and its expressions in each frequency domain are derived.The simulation results illuminate that the high order Doppler signal model is more accurate than the equivalent squint range model and the advanced equivalent squint range model.The focusing results of a 10mresolution point target are good by using fourth order Doppler signal model.

GEO SAR；signal model；long integration time；curve trajectory

TN959.74

A

10.3969/j.issn.1673－8748.2016.05.002

2016－04－25；

2016－07－04

國家重大航天工程，國家自然科學基金（61601022）

趙秉吉，男，博士，工程師，研究方向為GEO SAR系統參數設計與成像。Email：zachary＿zbj@163.com。