數學習題課上教師的無為和學生的有為*
——一節數學習題課的延伸及評析

●李 晶 李德安

(曲靖市第一中學 云南曲靖 655000)

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數學習題課上教師的無為和學生的有為*
——一節數學習題課的延伸及評析

●李 晶 李德安

(曲靖市第一中學 云南曲靖 655000)

數學離不開解題教學，習題課上充滿著師生共同的智慧.有時，在學生探究的基礎上，教師高屋建瓴地給出更高、更妙的獨特見解，讓學生豁然開朗，如沐春風；有時，教師也需提前“亮劍”，亮出自己“愚笨”的想法，以此，更能激發出學生探究的欲望，更能發揮出學生的主體作用.

在一節習題課上，執教教師對一道題目的講解如下：

題目 半徑為2的半圓有一內接梯形ABCD，它的下底AB是圓O的直徑，上底CD的端點在圓周上.若雙曲線以A,B為焦點，且過點C,D，則當梯形ABCD的周長最大時，雙曲線的實軸長為

( )

圖1

教師板書 如圖1，由四邊形ABCD為等腰梯形，及|AB|=4為定值，可知原題即求當|CB|+|CE|最大時雙曲線的實軸長2a.

設C(x,y)，其中x>0，y>0，則|CE|=x，由

得

點C滿足方程

得

b2x2-a2(4-x2)=a2b2,

從而

由x>0，得

從而

令cosθ-sinθ=t，其中0

1-2sinθcosθ=t2,

即

2sinθcosθ=1-t2,

因此

(1)

從而

因此

(2)

式(2)-式(1),得

此時

故

(板書完畢，很多學生表現得有點木訥.)

師：此解法在運算上稍顯繁瑣，在解題中涉及2次換元，挑戰很大.但整個解題過程都是自然的，是通性通法，大家要掌握到位.相信大家一定有更好的方法，下課后請同學們認真思考，上自習課時我們再一起探討與分享.

評析 對題目的講解，教師通常應循循善誘，以達師生共同解答的目的.但在此處，教師卻一講到底，突顯解題的規范、方向的明晰、運算的準確.當然，也暴露出了解題方法的繁雜與笨拙，正是教師在學生面前有意展現這一不理想的解法，板書著這實實在在的“有為”，從而激發學生要探究新法，超越教師，要更有作為.一節數學習題課結束了，新的思緒卻帶到了課后.

以下摘錄自習課的片段：

師：關于題目的解答，課堂上我們給出了較繁瑣的解答，同學們通過課后思考與探究，有更高明的解法嗎？誰來談談自己的想法？

圖2

從而

師:此解法通俗易懂，看似設點C的坐標略顯繁瑣，但運算起來很輕松，換元很巧妙，轉化到熟悉的二次函數的最值問題,是很好的通性通法，比上節課中的解法好多了！還有誰有不同的解法嗎？

評析 教師及時切中要害的點評，是學生思維提升的重要保證.一句“比上節課中的解法好多了！”對學生是一種莫大的鼓勵.

AE=xcosθ.

因此當x=2時，l最大，此時在Rt△ADB中，

因此

師：數形結合，引進角度和線段長度這2個量.AB是圓O的直徑,利用直徑所對的圓周角是直角,將cosθ表示出來,再在Rt△ADE中利用這一余弦值,將梯形周長表示成一個二次函數.生2與生1都將問題轉化到了二次函數的最值問題,但出發點卻截然不同，有異曲同工之妙！

此時還有幾位學生在舉手.

師：請生3也說說想法吧.

圖3 圖4

生3：如圖4，

|OE|=|2cos(π-2θ)|=|-2cos2θ|,

因為點C在第一象限，π-2θ=∠BOC為銳角，即2θ為鈍角，所以

|OE|=-2cos2θ.

在Rt△OBF中，

|BF|=2cosθ，

從而

|BC|=4cosθ,

于是M=4cosθ-2cos2θ=4cosθ-4cos2θ+2,

在Rt△ABC中，

師：生3也是利用了圓的特性，在△OBC中，因為|OB|,|OC|均為半徑，所以△OBC為等腰三角形.設出一個底角為θ，另2個角均可用θ表示.最后，將M也表示成了二次函數，但這里的變量是cosθ.我們再聽聽生4的想法.

生4：如圖5.因為點A,B,C,D共圓，所以∠BOD=2∠BAD(同弧所對圓心角是圓周角的2倍),從而

|OE|=|2cos(π-2α)|=|-2cos2α|.

因為點D在第二象限，2α顯然為鈍角，所以

|OE|=-2cos2α.

在Rt△AOF中，

|AF|=2cosα，

從而|AD|=2|AF|=4cosα(或在Rt△ABD中|AD|=4cosα),于是

M=4cosα-2cos2α，

以下同生3的解法.

師：生4與生3都是從角出發，利用圓的性質，看到角之間的聯系.所設角不同，最后將M表示成了同一形式.

(生5有些迫不及待的樣子.)

師：生5有些著急了，你快說說.

圖5 圖6

從而 |AD|+|DC|+|CB|=2|b-a|+|c-b|=

cosθ=1-t2,

從而

以下同生3的解法.

師：利用向量的模表示線段的長度，有想法.其本質就是在△AOD,△DOC中利用余弦定理表示(線段)邊長.

(教師環顧教室，發現還有學生在舉手.)

師：前面幾位同學，從問題出發，都能很好地找到自己解決問題的出發點.最后，利用二次函數輕松解決問題.下面給大家一點時間，對照整理，梳理清晰.

評析 教師很好地控制著課堂節奏，并不讓學生一講到底，稍作停頓，讓學生真正理解其他學生的解法，而不是停留在一聽就懂的層面上.現階段課堂，教師很容易被積極反應的課堂氛圍所迷惑，誤認為學生真的接受和掌握了.

(幾分鐘后……)

師：我們看看還有幾位同學在舉手？哦，還有3位！下面聽聽這幾位同學的想法.

生6：如圖7，由四邊形ABCD為圓內接四邊形及托勒密定理可得

|AC|·|BD|=|AD|·|BC|+|AB|·|CD|.

設|AD|=m，則

|BD|=2a+m，

從而 (2a+m)2=m2+4|CD|.

(3)

在Rt△ABD中，

m2+(2a+m)2=16，

從而

m2+m2+4|CD|=16,

得

從而周長

當m=2時，周長最大，此時|CD|=2，代入式(3)得

(2a+2)2=4+8=12,

得

師：在圓中，由托勒密定理可以找到梯形邊長之間的聯系，合理設出m，將梯形周長很好地表示出來，也得到了二次函數.但與前面幾位同學的解法截然不同，可謂另辟蹊徑.

評析 托勒密定理在高考中并不要求，是數學奧賽涉及的內容.學生解題中能自然想到，說明學生的解題能力較強.

圖7 圖8

生7：如圖8，將半圓補成圓，作點D關于AB的對稱點D′，點C關于AB的對稱點C′,則2(|AD|+|DC|+|CB|)即是圓內接六邊形ADCBC′D′的周長，當該內接六邊形為正六邊形時，內接六邊形的周長最大.此時∠COB=60°，因此

師：通過補形，將問題轉化到圓內接六邊形周長最大時實軸2a的值問題.利用圓內接正n邊形是圓內接n邊形中周長的最大值，快速求出2a的值.解題確實很快，但我有個疑問，為什么圓內接正n邊形是圓內接n邊形周長中最大的情形呢？

評析 教師及時的質疑，使學生對問題的思考從感性上升到理性.學生的閃光點在“感覺”，教師的閃光點在“理性”，學生的成長在“由感性到理性的思考”.

生7(有點不好意思地說)：我的感覺是這樣的，而且答案對了！至于為什么，我也說不清.

師：看來我們要靠集體的力量來解決它了，下面請大家思考交流，圓正內接n邊形是圓內接n邊形中周長最大的情形嗎？

評析 已由最初的問題，上升到了更有挑戰性的新問題.問題的提出是自然的，升華也是必然的.

(教室變得熱鬧了起來，討論聲不斷……，等待過程中教師也在思考著.過了一會，有個小組舉手.)

師：第4小組解決了，你們小組誰來說說？

生8：圓內接正n邊形是圓內接n邊形中周長最大的情形，證明如下：

圖9

設圓內接n邊形的周長為l，則

因此,當圓內接n邊形為內接正n邊形時，內接n邊形的周長最長.

師：他們能想到利用琴生不等式探究最值問題，實屬不易.解答起來言簡意賅，輕松易懂.問題的關鍵是其他小組想到琴生不等式了嗎？你們又有怎樣的想法呢？課堂上時間有限，其他小組課后可按原有想法繼續探究.

評析 當問題難度比較大時，可借助合作學習，共同探究，突顯學習共同體.

師：在不會做的情況下，對選項進行合理的分析取舍，雖然通過此途徑得到的答案不一定對，但此推測是合理的，也是高明的.

評析 自習課(展示課)上學生的想法獨特，方法靈活，可看出學生是真思考、真探究,也展示出了真實力.學生的“真”，源于執教者平時授課的靈活多樣，源于教師促使學生“真思考”，為學生提供“真平臺”.

這是一節延伸的習題課，重頭戲在課后的探究與自習課上學生探究成果的展示.學生樂于探究、勇于深入探究的源泉很多.就這節課而言，學生的探究成果是豐富的，究其根源，應該是教師課堂上所展示的“繁瑣”解法.正是這一繁瑣的解法，讓學生切身感受到一定還有更好的方法.探究的起點并非高不可攀，學生易于站在這一平臺上思考下去.從心理上分析，學生的方法優于教師，更使學生體驗到一種成就感.教師在習題講解中，有時要適可而止，不要滔滔不絕地講解多種靈活方法，把習題課變成了教師解題的表演課，讓學生對教師更加“敬仰”.某種程度上，教師在方法上的“無為”，恰恰是學生解題方法的“有為”.

從學生思維訓練和能力培養角度看，教學之所以獲得成功，執教教師注重著以下幾方面：

1)時效性與延續性.課堂教學的有效性，不僅僅關注學生在課堂上學到了多少、掌握了多少,還要看課堂上會給課后帶來多少思考.這里課后的思考，絕不是課后要完成的課業負擔，還要做多少的題目，而是課堂上思維的延續與升華.課后的思考，學生積極的程度有多高,是積極主動，還是敷衍了事？高效課堂，要達到課堂上的時效性，也要追求課后延續的有效性.

2)改革與改進.現階段，一提教育，便是改革.至于傳統，幾乎是改革的對象.常常聽到的是：“傳統的教學如何……，新課標如何……”，有種將傳統教學置于眾矢之的的感覺.誠然，教育需要改革，但更多的是在傳統教學基礎上的改進.教師“笨拙”的解法，加上合理的引導與激發，就可成為一節精彩的探究課，這是改進不是改革.

3)生生關系與師生關系.“三人行必有我師焉”，幾十人的教室里又怎能只有教師一人呢！學生也是老師，那教師是什么？是導師.學生中的老師，需要給他們提供舞臺與空間，讓每一位學生都有機會成為其他學生的老師.生生之間的師生關系，牢不牢固，靈不靈活，關鍵在導師.

4)主導性與主體性.遵循“教師主導，學生主體”的教學原則.一方面教師要對課程資源進行有效整合和教學設計，另一方面學生從問題入手、理解題目、相互討論或自我反省獲得知識.問題解決需要教師預先的教學設計引領和具體的學法指導.學習效果取決于自主學習和合作學習的成效，而不是教科書或教師的權威規定和解答.要充分發揮小組學習共同體的作用，共同承擔責任和任務，建立多邊多向交流和合作共建關系.只有學生的自主性真正發揮出來了，教師的主導促進作用才能落實到位.

5)無為與有為.2000多年前的老子已經給出了管理的精髓——“治大國若烹小鮮”(《道德經》第60章).教學的精髓又何嘗不是呢？“有為”是為了“無為”，“無為”又是為了“有為”.該“有為”時，就“有為”，不能失其時;該“無為”時，就“無為”，要能知其時.“無為”并非真的什么都不干，而是另一種形式的“有為”.教師在習題教學中，要爭取達到無為而無不為的境界！