GPS高程擬合方法的精度研究

■謝曉海

（青海省第二測(cè)繪院　青海　西寧　810000）

GPS高程擬合方法的精度研究

■謝曉海

（青海省第二測(cè)繪院青海西寧810000）

本文結(jié)合應(yīng)用實(shí)例來研究GPS高程擬合的方法，并利用MATLAB編程實(shí)現(xiàn)高程異常的曲面擬合。通過對(duì)各種擬合方法的精度分析，得出如下結(jié)論：二次多項(xiàng)式法比較適合本應(yīng)用實(shí)例，若選取合適的已知點(diǎn)點(diǎn)位分布、密度，該方法能夠達(dá)到毫米級(jí)精度。

高程異常GPS高程擬合多面函數(shù)法加權(quán)平均法

GPS定位技術(shù)以其效率高、精度高、實(shí)時(shí)性強(qiáng)等諸多優(yōu)勢(shì)對(duì)常規(guī)測(cè)量技術(shù)產(chǎn)生了極大沖擊，對(duì)水準(zhǔn)測(cè)量也不例外。GPS水準(zhǔn)測(cè)量是指利用GPS測(cè)量的大地高，借助似大地水準(zhǔn)面轉(zhuǎn)換為正常高，這種方法在工程中得到廣泛應(yīng)用。作為水準(zhǔn)測(cè)量的代替和補(bǔ)充，顧及到水準(zhǔn)測(cè)量自身外業(yè)施測(cè)時(shí)間長(zhǎng)、需要的人力物力大和作業(yè)強(qiáng)度大等缺陷，GPS大地高測(cè)量正在成為高程測(cè)量的一種重要形式和手段。如何把GPS大地高轉(zhuǎn)換為正常高，已是大地測(cè)量研究的熱點(diǎn)問題。

1　GPS高程擬合的方法

1.1二次多項(xiàng)式擬合法

公共點(diǎn)上的高程異常與平面坐標(biāo)之間的關(guān)系

式中a0，a1，a2，a3，a4，a5為待定參數(shù)。因此，區(qū)域內(nèi)至少需要6個(gè)公共點(diǎn)。當(dāng)公共點(diǎn)多余6個(gè)時(shí)，則可列出相應(yīng)的誤差方程。

寫成矩陣的形式為：V=XA-ζ

1.2多面函數(shù)法

設(shè)在測(cè)區(qū)內(nèi)有m個(gè)已測(cè)點(diǎn)S（x，y），或記為數(shù)據(jù)點(diǎn)（x，y，s），Si為在點(diǎn)（xi，yi）上的觀測(cè)量，用n個(gè)核函數(shù)的總和去逼近函數(shù)S（x， y），即

式中：n為所取的已測(cè)點(diǎn)數(shù)，α為待定點(diǎn)系數(shù)。核函數(shù)有多種擬合模型。

在測(cè)量數(shù)據(jù)處理中，一種常用的模型為具有對(duì)稱性的距離型正雙曲面模型，即

式δ2中為光滑因子。（xjn，yjn）為n個(gè)結(jié)點(diǎn)坐標(biāo)，在公式中未列入平滑因子δ2，是假設(shè)δ2=0。在測(cè)區(qū)范圍不大的條件下，測(cè)量數(shù)據(jù)擬合中常可取δ2=0。

當(dāng)m=n時(shí)，即將已測(cè)點(diǎn)全部選為結(jié)點(diǎn)，則由公式（7）可知：

α=θ-1S

當(dāng)m＞n時(shí)，即選取m個(gè)已測(cè)點(diǎn)全部為結(jié)點(diǎn)，該測(cè)區(qū)的擬合方程為：

此時(shí)的核函數(shù)就是內(nèi)插點(diǎn)至結(jié)點(diǎn)的距離，δ2=0。令

1.3加權(quán)平均擬合法

所謂加權(quán)平均法就是由內(nèi)插點(diǎn)周圍部分已知點(diǎn)的高程異常加權(quán)平均求得該點(diǎn)的高程異常。設(shè)在內(nèi)插點(diǎn)周圍選n個(gè)已知點(diǎn)，高程異常為ζi（i=1，2，3，），對(duì)應(yīng)的權(quán)Pi，則內(nèi)插點(diǎn)j的高程異常為：

權(quán)Pi可根據(jù)已知點(diǎn)至內(nèi)插點(diǎn)的距離來計(jì)算，常用的權(quán)函數(shù)有：

式中：di為已知點(diǎn)i至內(nèi)插點(diǎn)j的水平距離；ξ為一小正數(shù)，以防止權(quán)函數(shù)的分母為零，通常ξ取0．01，單位相同。當(dāng)已知點(diǎn)離內(nèi)插點(diǎn)較近時(shí)，Pi就大，對(duì)內(nèi)插點(diǎn)的貢獻(xiàn)就越大；當(dāng)已知點(diǎn)離內(nèi)插點(diǎn)較遠(yuǎn)時(shí)，Pi就越小，從而對(duì)內(nèi)插點(diǎn)的貢獻(xiàn)就越小。此法要求各Pi不要相差過大，即控制點(diǎn)在待定點(diǎn)周圍分布的距離相差不要太遠(yuǎn)。

2　實(shí)例分析

本文所使用的數(shù)據(jù)是某地126個(gè)點(diǎn)E級(jí)GPS靜態(tài)觀測(cè)數(shù)據(jù)，并聯(lián)測(cè)了四等水準(zhǔn)測(cè)量。GPS高程擬合的精度主要受參加擬合點(diǎn)的密度、點(diǎn)位的分布以及擬合方法的影響。下面就這三個(gè)影響精度因素進(jìn)行分析，以便找到一種擬合精度最高的方法。

2.1二次多項(xiàng)式擬合法

參加擬合點(diǎn)的個(gè)數(shù)都選取26個(gè)時(shí)，點(diǎn)位分布分別選取內(nèi)包圍、外包圍、十字型三種點(diǎn)位的分布來進(jìn)行擬合。在MATLAB里進(jìn)行最小二乘擬合，若已知點(diǎn)的平面坐標(biāo)，即可內(nèi)插求出該點(diǎn)的高程異常值，進(jìn)而求出該地面點(diǎn)的正常高擬合結(jié)果。為了研究點(diǎn)位密度對(duì)擬合精度的影響，現(xiàn)用外包圍的分布，分別用26，40，45，50，60，126（全部）個(gè)點(diǎn)來研究。對(duì)于本測(cè)區(qū)，當(dāng)點(diǎn)位的分布相同時(shí)，對(duì)于參加擬合的已知點(diǎn)的個(gè)數(shù)的增加內(nèi)符合精度先是不變而后減小最后不變；外符合精度呈現(xiàn)出與內(nèi)符合精度相同的趨勢(shì)。當(dāng)點(diǎn)的個(gè)數(shù)大約是全部點(diǎn)個(gè)數(shù)的1/3時(shí)，擬合的精度最高。

2.2加權(quán)平均擬合法

加權(quán)平均擬合法的精度主要取決于權(quán)函數(shù)，而由公式（15）知權(quán)函數(shù)受內(nèi)插點(diǎn)和已知點(diǎn)水平距離d與分母的指數(shù)n的影響。下面討論距離d和指數(shù)n對(duì)擬合精度的影響。

n對(duì)擬合精度影響：當(dāng)聯(lián)測(cè)點(diǎn)距未知點(diǎn)的距離選取300～1100m時(shí)，符合要求的聯(lián)測(cè)點(diǎn)選取102，123，127，134這4個(gè)GPS聯(lián)測(cè)點(diǎn)，用（14）和（15）式對(duì)124點(diǎn)的高程異常進(jìn)行擬合。其中：ξ=0；n為權(quán)函數(shù)分母的指數(shù)。根據(jù)擬合結(jié)果當(dāng)距離d不變時(shí)，擬合精度隨著n的增大先升高后降低，但是當(dāng)n在6～8的范圍時(shí)擬合精度最高。擬合的精度還和聯(lián)測(cè)點(diǎn)距未知點(diǎn)的距離有關(guān)。即聯(lián)測(cè)點(diǎn)距未知點(diǎn)的距離越近對(duì)未知點(diǎn)的高程異常影響越大，即精度越高。

3　結(jié)束語

以研究而論，在GPS高程擬合的方法中，二次多項(xiàng)式擬合法比較適合平坦地區(qū)的GPS高程擬合，如果選取合適的點(diǎn)位分布、密度該方法能夠達(dá)到毫米級(jí)精度。對(duì)于本地區(qū)，多面函數(shù)模型雖然內(nèi)符合精度很高，但是外符合精度卻不是十分的理想，因此不適合本地區(qū)的GPS高程擬合。所以綜合考慮，二次多項(xiàng)式擬合法比較適合本地區(qū)。

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P2[文獻(xiàn)碼]B

1000-405X（2016）-9-180-1