時(shí)差定位最優(yōu)布站方法研究

周 成,黃高明,高 俊

(海軍工程大學(xué)電子工程學(xué)院,湖北武漢 430033)

時(shí)差定位最優(yōu)布站方法研究

周 成,黃高明,高 俊

(海軍工程大學(xué)電子工程學(xué)院,湖北武漢 430033)

針對時(shí)差定位,提出了以優(yōu)化布站來提升定位精度的方法.該方法以克拉美羅下界的跡最小為定位精度衡量指標(biāo),通過對時(shí)差定位條件下克拉美羅下界的影響因素進(jìn)行分析,發(fā)現(xiàn)接收站到目標(biāo)的距離對克拉美羅下界沒有影響,而接收站到目標(biāo)的角度對克拉美羅下界有影響.隨后,對克拉美羅下界跡的表達(dá)式進(jìn)行了推導(dǎo),并求得其最小值及取最小值的條件,得到結(jié)論:當(dāng)接收站包圍目標(biāo)并呈等角布站時(shí),對目標(biāo)定位的克拉美羅下界取得最小值,此時(shí)布站最優(yōu).

無源定位;時(shí)差定位;布站;克拉美羅下界

如何提高無源時(shí)差定位系統(tǒng)的定位精度,一直以來是研究的重點(diǎn)問題.時(shí)差定位(Time Differences Of Arrival,TDOA)[1-4]的精度不僅受到定位算法的影響,無源定位接收站的布置更是決定了一切定位算法所能達(dá)到的最優(yōu)性能[5].對于一個(gè)無偏的估計(jì)器,其性能可以由其是否達(dá)到或逼近克拉美羅下界(Cramer-Rao Lower Bound,CRLB)來表征.克拉美羅下界由費(fèi)舍爾信息矩陣(Fisher Information Matrix,FIM)求逆得到,其代表了目標(biāo)位置估計(jì)最小的方差值[6].

近年來,無源定位接收站的布置得到了廣泛的研究.文獻(xiàn)[5]中對到達(dá)角度(Angle Of Arrival,AOA)定位[7-8]、到達(dá)時(shí)間(Time Of Arrival,TOA)定位[9-10]、接收信號強(qiáng)度(Received Signal Strength,RSS)定位[11]情況下的最優(yōu)布站進(jìn)行了研究,提出了上述定位體制下,不同接收站數(shù)目時(shí)的最優(yōu)布站方法.針對時(shí)差定位,文獻(xiàn)[6]中提出了理想情況下(任意接收站可布置在任意位置)的時(shí)差定位布站理論,在隨后的研究中,對于不同的定位環(huán)境,提出了不同的布站策略[12],以使得克拉美羅下界的跡最小.文獻(xiàn)[6]在時(shí)差定位布站的理論推導(dǎo)過程中,為了使推導(dǎo)的方程得到簡化,將協(xié)方差矩陣簡化為單位矩陣進(jìn)行處理,但在實(shí)際的時(shí)差定位系統(tǒng)中,由于以同一個(gè)接收站為參考站的測量值都會(huì)包含該參考站的測量誤差,因此,這些測量值是彼此相關(guān)的,在文獻(xiàn)[6]中的簡化處理是不合理的.

針對時(shí)差定位最優(yōu)布站問題,以克拉美羅下界的跡最小為優(yōu)化準(zhǔn)則,筆者首先對時(shí)差定位體制下克拉美羅下界的影響因素進(jìn)行了分析,并指出接收站到目標(biāo)的距離對于克拉美羅下界沒有影響,而接收站到目標(biāo)的角度對克拉美羅下界有影響.接著,考慮到時(shí)差定位測量值是由參考站和非參考站之間的到達(dá)時(shí)間測量值相減得來的,因此時(shí)差定位測量值之間具有相關(guān)性,故在最優(yōu)布站的理論推導(dǎo)過程中采用了一個(gè)更具一般性的協(xié)方差矩陣[13].在此基礎(chǔ)上,計(jì)算出了克拉美羅下界跡的表達(dá)式,并推導(dǎo)出其取得最小值的條件,得到了時(shí)差定位最優(yōu)布站的形式.

1　無源時(shí)差定位模型

考慮在二維平面內(nèi)的定位問題.設(shè)有M個(gè)接收站,每個(gè)接收站的位置是已知的,表示為i=1,2,…,M.其中,(*)o表示含噪量(*)的真實(shí)值.設(shè)定第1個(gè)接收站為參考站.假設(shè)目標(biāo)的位置為uo, uo=[x,y]T.目標(biāo)到達(dá)接收站i與到達(dá)接收站1的距離差,i=2,3,…,M.其中表示第i個(gè)接收站到目標(biāo)的距離,表示求二范數(shù)運(yùn)算.假設(shè)第i個(gè)接收站到目標(biāo)的方位角為φi,那么存在如下的表達(dá)式:

在實(shí)際應(yīng)用中,觀測得到的時(shí)差定位ti1中存在測量噪聲誤差.當(dāng)信號傳播速度恒定時(shí),距離差與時(shí)差定位之間呈比例關(guān)系,則觀測到的距離差ri1可以表示為

其中,c是信號傳播的速度,ri1是含噪的距離差值,Δri1是測量誤差.為了方便表示,將式(1)改寫成向量的形式:r=ro+Δr,其中,,Δr=[Δr21,Δr31,…,ΔrM1]T.同樣地,將接收站表示成一個(gè)M×2的矩陣:

時(shí)差定位問題即是在已知接收站的位置so和含噪的距離差r的情況下,對目標(biāo)的位置uo進(jìn)行估計(jì).

2　克拉美羅下界分析

克拉美羅下界是任何無偏估計(jì)量所能達(dá)到的下界,它能夠檢驗(yàn)無偏估計(jì)量的性能.克拉美羅下界可以通過費(fèi)舍爾信息矩陣的逆來表示[14]

其中,J表示費(fèi)舍爾信息矩陣,

其中,gi是一個(gè)二維單位向量,其值分別是接收站指向目標(biāo)方位角的余弦值和正弦值.從式(2)和(3)可以看出,克拉美羅下界主要受到兩個(gè)因素的影響:測量誤差通過協(xié)方差矩陣Q對其進(jìn)行影響,且測量誤差越小,克拉美羅下界也越小;各接收站與目標(biāo)之間的位置關(guān)系,通過分析gi可以得到,接收站與目標(biāo)之間的距離對于克拉美羅下界沒有影響,只有角度對其有影響.

3　時(shí)差定位布站研究

在時(shí)差定位問題中,目標(biāo)與接收站之間的位置關(guān)系由so和uo決定.克拉美羅下界的跡表示了無偏的目標(biāo)位置估計(jì)量在各個(gè)維度上方差的和,工程中,一般以它來衡量目標(biāo)定位性能[14].下面考慮在理想條件下,如何使得克拉美羅下界的跡最小,達(dá)到最優(yōu)布站.

假設(shè)各個(gè)接收站對目標(biāo)的測量噪聲是獨(dú)立同分布的,都服從于均值為零、方差為σ2的正態(tài)分布.非參考站與參考站之間的時(shí)差定位測量值由相應(yīng)的一對到達(dá)時(shí)間值相減產(chǎn)生,因此時(shí)差定位測量噪聲是相關(guān)的,其協(xié)方差為[13]

式(3)中,IM-1表示(M-1)×(M-1)維的單位矩陣,1M-1表示M-1維的列向量.根據(jù)Woodbury公式,Q的逆可以表示為

在全受控站條件下,時(shí)差定位最優(yōu)布站問題就是要找到M個(gè)單位向量gi,使得tr(J-1)最小.要使得tr(J-1)達(dá)到最小值,等價(jià)于tr(J)達(dá)到最大值,而后者在形式上不需要求逆運(yùn)算,較簡便.下面,先對tr(J-1)與tr(J)的關(guān)系進(jìn)行推導(dǎo),再求取tr(J)的最大值及達(dá)到最大值的條件.

由式(3)并結(jié)合克拉美羅下界的定義可知,J是一個(gè)2×2的正定矩陣,假定其兩個(gè)特征值分別為μ和η,有μ＞0、η＞0.J-1的特征值為1/μ、1/η.一個(gè)矩陣的跡就等于其所有特征值之和,因此有tr(J)=μ+η, tr(J-1)=1/μ+1/η.根據(jù)柯西施瓦茨不等式,有

且當(dāng)μ=η時(shí),式(5)可取得等號.

下面,求取tr(J)的最大值及達(dá)到最大值的條件.將Q-1的表達(dá)式(4)代入J,得

式(3)可以進(jìn)一步簡化為

將式(7)和式(8)以及gi=[cosφi,sinφi]T代入式(6),并經(jīng)過直接的計(jì)算,得

對式(9)求跡,得

4　仿真實(shí)驗(yàn)分析

為了驗(yàn)證全部接收站受控情況下的時(shí)差定位最優(yōu)布站,設(shè)計(jì)仿真實(shí)驗(yàn)如下.采用8個(gè)站,對未知的目標(biāo)進(jìn)行定位,假定目標(biāo)的位置位于原點(diǎn),選取了4種布站形式對目標(biāo)進(jìn)行定位,分別是:①包圍目標(biāo)的等角布站形式;②所有接收站位于目標(biāo)一側(cè);③所有接收站均勻分布在目標(biāo)兩側(cè);④所有接收站分布在目標(biāo)的三面.由于接收站到目標(biāo)的距離對克拉美羅下界沒有影響,因此假定所有接收站位于同一單位圓上.在不同的布站形式下,每個(gè)接收站到目標(biāo)的角度如表1所示.在這4種不同的布站形式下,將σ2從-30 d B增大到30 d B,分別計(jì)算4種布站形式下目標(biāo)定位的克拉美羅下界值,其結(jié)果如圖1所示.

表1　不同布站形式下接收站到目標(biāo)的角度值

從圖1可以看出,隨著接收站的布置從目標(biāo)的一側(cè)擴(kuò)展到兩側(cè)、三面,克拉美羅下界逐漸減小.當(dāng)?shù)冉遣颊緯r(shí),克拉美羅下界比另外3種布站形式小1 dB到7 B不等.

圖1　不同布站形式下克拉美羅下界的比較

圖2　接收站到目標(biāo)角度值的變化對克拉美羅下界的影響

為了對理想環(huán)境下所有接收站包圍目標(biāo)并呈等角布站是時(shí)差定位最優(yōu)布站這一結(jié)論進(jìn)行充分驗(yàn)證,進(jìn)行如下仿真實(shí)驗(yàn).設(shè)置σ2為0 dB,有3個(gè)接收站,其中第1個(gè)接收站指向目標(biāo)的方位角φ1(φ1=0),第2個(gè)接收站和第3個(gè)接收站指向目標(biāo)的方位角φ2和φ3,將φ2和φ3在[-π,π)上進(jìn)行遍歷,可以得到克拉美羅下界隨接收站布置的變化圖,如圖2所示.從圖2中可以看出,當(dāng)φ2=-2π/3和φ3=2π/3或φ2=2π/3和φ3=-2π/3時(shí),3站即成等角布站,克拉美羅下界取得最小值.

5　結(jié) 論

以克拉美羅下界的跡最小為最優(yōu)準(zhǔn)則,對時(shí)差定位最優(yōu)布站方法進(jìn)行了研究.通過對克拉美羅下界的表達(dá)式進(jìn)行分析推導(dǎo),并求得其跡的最小值,得出如下結(jié)論:在理想條件下,接收站包圍目標(biāo)并呈等角布站是時(shí)差定位最優(yōu)布站形式.但是在實(shí)際中,大部分站是固定不動(dòng)的,往往只有少數(shù)的站能夠移動(dòng).下一步,將針對該類問題開展研究工作.

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(編輯:郭 華)

Optimum sensor array for passive localization from time differences of arrival

ZHOU Cheng,HUANG Gaoming,GAO Jun
(College of Electronic Engineering,Naval Univ.of Engineering,Wuhan 430033,China)

In the TDOA system,the method for improving the source location accuracy by sensor arrangement is proposed.The trace of the CRLB of a source estimate is the criterion.By analyzing the factors of the CRLB,it is found that the CRLB does not depend on the range between sensor and source, but on the direction from sensor to source.The expression for the trace of the CRLB is derived.Then its minimum value and the condition for achieving the minimum value are obtained.It is shown that the uniform angular array is the optimum sensor array when the source is surrounded by sensors.

passive localization;time differences of arrival;sensor placement;Cramer-Rao lower bound

TN97

A

1001-2400(2016)04-0123-05

10.3969/j.issn.1001-2400.2016.04.022

2015-04-17 網(wǎng)絡(luò)出版時(shí)間：2015-10-21

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(60901069);國家“863”計(jì)劃資助項(xiàng)目(2013AAXXXX061)

周 成(1986-),男,海軍工程大學(xué)博士研究生,E-mail:zhouchengscholar@163.com.

網(wǎng)絡(luò)出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/61.1076.TN.20151021.1046.044.html