可驗(yàn)證模指數(shù)批計(jì)算外包方案

黃春水,任艷麗,蔡建興

(上海大學(xué)通信與信息工程學(xué)院,上海 200444)

可驗(yàn)證模指數(shù)批計(jì)算外包方案

黃春水,任艷麗,蔡建興

(上海大學(xué)通信與信息工程學(xué)院,上海 200444)

隨著云計(jì)算的發(fā)展,如何將一些耗時(shí)的計(jì)算任務(wù)安全地外包給不受信任的云服務(wù)器引起了人們的廣泛關(guān)注.目前的模指數(shù)運(yùn)算外包方案大多基于兩個(gè)不可信的服務(wù)器,或者外包結(jié)果的可驗(yàn)證概率不高.因此,使用隨機(jī)置換方法,提出了一個(gè)新的模指數(shù)批計(jì)算外包方案.模指數(shù)運(yùn)算的底數(shù)和指數(shù)對(duì)于服務(wù)器都是保密的,并且用戶的可驗(yàn)證概率接近于1.與已有方案相比,所提方案基于單個(gè)不可信服務(wù)器實(shí)現(xiàn)了輸入數(shù)據(jù)的隱私性,并提高了外包結(jié)果的可驗(yàn)證概率.對(duì)所提方案進(jìn)行了模擬實(shí)驗(yàn),測試結(jié)果表明外包方案極大地降低了用戶的計(jì)算代價(jià).

云計(jì)算;外包方案;可驗(yàn)證;模指數(shù)運(yùn)算

隨著云計(jì)算[1]的興起,外包計(jì)算引起了人們廣泛的關(guān)注.通過外包計(jì)算,計(jì)算能力有限的客戶可以將任務(wù)外包給云服務(wù)器,這將為那些資源受限的設(shè)備節(jié)省大量的計(jì)算時(shí)間.同時(shí),外包計(jì)算也面臨著許多挑戰(zhàn)[2-3],對(duì)安全性有很高的要求.云服務(wù)器并不是完全可信的,有可能存在泄露用戶的信息,或故意返回錯(cuò)誤結(jié)果的情況,而可驗(yàn)證計(jì)算(Verifiable Computation,VC)[4]方案很好地解決了這個(gè)問題.通過可驗(yàn)證計(jì)算方案,用戶的信息都是對(duì)服務(wù)器保密的,并且服務(wù)器返回的任何錯(cuò)誤結(jié)果都將不能通過驗(yàn)證.

模指數(shù)運(yùn)算是密碼系統(tǒng)中最常見的、最為耗時(shí)的運(yùn)算之一.許多公鑰加密、數(shù)字簽名方案[5]需要用到模指數(shù)運(yùn)算,研究如何實(shí)現(xiàn)模指數(shù)安全外包計(jì)算具有重要的現(xiàn)實(shí)意義.文獻(xiàn)[6]定義了第一個(gè)外包計(jì)算安全模型,并且基于兩個(gè)不可信的服務(wù)器,提出了單個(gè)模指數(shù)運(yùn)算外包算法.文獻(xiàn)[7]提出了新的模指數(shù)運(yùn)算外包方案,在計(jì)算效率與可驗(yàn)證率方面都要優(yōu)于文獻(xiàn)[6]的.盡管文獻(xiàn)[6-7]中的方案實(shí)現(xiàn)了指數(shù)與底數(shù)的隱私性,但它們都需要進(jìn)行大量復(fù)雜的預(yù)計(jì)算操作,效率不高,并且遇到惡意的服務(wù)器時(shí),用戶檢測出錯(cuò)誤的概率也都不是很高,文獻(xiàn)[6-7]的可驗(yàn)證率分別為1/2、2/3.文獻(xiàn)[8]提出了多個(gè)模指數(shù)相乘的外包計(jì)算方案,與文獻(xiàn)[6-7]比,文獻(xiàn)[8]只用了一個(gè)服務(wù)器,也同時(shí)實(shí)現(xiàn)了指數(shù)與底數(shù)的隱私.但是,由于文獻(xiàn)[8]的方案是針對(duì)多個(gè)模指數(shù)相乘的外包計(jì)算方案,在單個(gè)模指數(shù)外包方面效率遠(yuǎn)低于文獻(xiàn)[6-7]的,并且遇到惡意的服務(wù)器時(shí),文獻(xiàn)[8]的可驗(yàn)證率也僅有1/2.文獻(xiàn)[9]提出了基于單個(gè)服務(wù)器的批量模指數(shù)外包方案,與文獻(xiàn)[6-8]相比,文獻(xiàn)[9]的方案不需要復(fù)雜的預(yù)計(jì)算操作,因此在批量外包計(jì)算模指數(shù)方面效率更高,且可驗(yàn)證概率接近于1.但是,文獻(xiàn)[9]的方案在隱私性方面有明顯的缺陷,不能同時(shí)實(shí)現(xiàn)指數(shù)和底數(shù)的隱私性.

筆者使用隨機(jī)置換方法,提出了一個(gè)新的模指數(shù)批計(jì)算外包方案.方案基于單個(gè)服務(wù)器,同時(shí)實(shí)現(xiàn)了底數(shù)和指數(shù)的隱私性.當(dāng)服務(wù)器不誠實(shí)時(shí),外包用戶能以接近于1的概率檢測到錯(cuò)誤.與同類方案相比,筆者提出的方案僅需少量的預(yù)計(jì)算操作,效率優(yōu)于文獻(xiàn)[6-8]中的方案,稍遜于文獻(xiàn)[9]中的方案.但是與文獻(xiàn)[9]相比,筆者提出的方案同時(shí)實(shí)現(xiàn)了指數(shù)和底數(shù)的隱私性,安全性高于文獻(xiàn)[9]中的方案.

1　筆者提出的方案

在筆者提出的方案中,用到了一個(gè)被稱為Rand[6]的子程序,用于產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)對(duì).Rand子程序的輸入是素?cái)?shù)p、q,底數(shù),且滿足q|p-1,輸出(a,gamod p),其中.目前,實(shí)現(xiàn)這一Rand子程序有兩種方式:一種方式是預(yù)先使用一個(gè)可信任的服務(wù)器,產(chǎn)生形如(a,gamod p)的隨機(jī)數(shù)對(duì)組成表,然后將這張表加載到客戶端T的內(nèi)存中去,每次調(diào)用Rand子程序,T就從表中隨機(jī)取出一個(gè)隨機(jī)數(shù)對(duì),這種方式因此被稱為查表法.另一種就是用EBPV發(fā)生器[10]產(chǎn)生獨(dú)立的隨機(jī)數(shù)對(duì),這種方式可以抵擋敵手自適應(yīng)的攻擊,一個(gè)n比特的指數(shù)運(yùn)行的時(shí)間復(fù)雜度為O(log2n).

1.1可驗(yàn)證模指數(shù)計(jì)算方案

可驗(yàn)證模指數(shù)計(jì)算方案是一個(gè)基于可信的客戶端T與不可信的服務(wù)器端U的雙方協(xié)議.T提供底數(shù)u和指數(shù)x作為輸入,經(jīng)盲化操作后,再發(fā)送給U.最后,U返回計(jì)算結(jié)果和一個(gè)驗(yàn)證值.用戶利用服務(wù)器返回的驗(yàn)證值驗(yàn)證服務(wù)器返回的計(jì)算結(jié)果的正確性.一般的可驗(yàn)證模指數(shù)計(jì)算方案都包含3個(gè)算法:

(1)(σu,σx)←Prob Gen(x,τ,u).輸入指數(shù)x、秘密輸入τ和底數(shù)u,輸出盲化后的指數(shù)σx和盲化后的底數(shù)σu.

(2)σy←Com pute(σu,σx).輸入σx和σu,輸出盲化后的模指數(shù)計(jì)算結(jié)果σy.

(3){y,⊥}←Verify(σy,τ).輸入盲化后的模指數(shù)計(jì)算結(jié)果σy,完成正確性證明.若驗(yàn)證結(jié)果正確,輸出計(jì)算結(jié)果y=ux;否則,輸出⊥.

1.2可驗(yàn)證模指數(shù)批計(jì)算外包方案

可驗(yàn)證模指數(shù)批計(jì)算外包算法是在一個(gè)不可信的服務(wù)器上實(shí)現(xiàn)的.輸入輸出,其中p、q是兩個(gè)大素?cái)?shù),且滿足q|p-1.筆者提出的外包方案包含3個(gè)子算法,如下所示.

算法1 Prob Gen((x1,x2,…,xt),τ,u).

T調(diào)用Rand子程序,產(chǎn)生3個(gè)隨機(jī)數(shù)對(duì)(α,gα),(β,gβ),(a,ga),然后從中選取兩個(gè)隨機(jī)數(shù)b,b′.定義τ={(α,gα),(β,gβ),(a,ga),b,b′},v=gαmod p,μ=gβmod p,γ=gamod p.

然后,客戶端T利用秘密輸入τ對(duì)底數(shù)u與指數(shù)xi進(jìn)行盲化處理.

最后輸出盲化后的指數(shù)σx={A,D}和盲化后的底數(shù)σu={g,w}.將(σu,σx)={(D,g,p),(A,w,p)}發(fā)給服務(wù)器.

算法2 Compute(σu,σx).

U利用T發(fā)過來的σu、σx計(jì)算出結(jié)果σy,并將它發(fā)回給客戶端.

利用T傳過來的(D,g,p),(A,w,p),U完成計(jì)算并返回對(duì)應(yīng)的查詢結(jié)果:

算法3 Verify(σy,τ).

T接收到從服務(wù)器U傳過來的σy集合后,進(jìn)行如下操作來驗(yàn)證U返回的計(jì)算結(jié)果的有效性:

(1)T從σy中取出,其中,1≤k≤t.

(2)T從σy中取出,其中,1≤k≤t.

如果對(duì)于所有的i∈[1,t],上面的驗(yàn)證等式(1)都成立,那么輸出;否則,輸出⊥.

2　方案分析

使用與文獻(xiàn)[6-7]相同的安全定義,從理論上證明筆者所提方案的正確性和安全性.受篇幅限制,相關(guān)安全定義不再給出,具體安全定義和模型見文獻(xiàn)[6-7].

2.1正確性

通過以下引理證明方案的正確性,即只要服務(wù)器是誠實(shí)的,通過以上筆者提出的方案總能夠得到正確的計(jì)算結(jié)果y=uxi且式(1)成立.

引理1 如果服務(wù)器是誠實(shí)的,則y=uxi且式(1)成立.

由式(2)可知,只要服務(wù)器是誠實(shí)的,則式(1)成立.

2.2安全性

通過以下兩個(gè)引理證明方案的安全性.

引理2 基于單個(gè)不可信服務(wù)器模型,算法(T,U)是外包算法BExp的λ安全外包的實(shí)現(xiàn).其中,輸入(x1,x2,…,xt;u)可能是可信任的秘密輸入,或是可信任的受保護(hù)的輸入,或是敵手的受保護(hù)的輸入.

證明 首先,證明EVIEWreal～EVIEWideal.如果輸入{(xi;u):1≤i≤t}不是可信的秘密輸入,E總能知道輸入信息.顯然,這種情況下模擬器S1執(zhí)行過程將與實(shí)際的環(huán)境相同.因此,只需考慮輸入{(xi;u): 1≤i≤t}是可信任的秘密輸入的情況.

在理想的實(shí)驗(yàn)環(huán)境中,模擬器S1執(zhí)行過程如下:當(dāng)接收到第i個(gè)輸入時(shí),S1忽略它們,并向U′提交4t個(gè)形如的查詢操作.然后,S1隨機(jī)檢測2t個(gè)輸出:如果有一個(gè)錯(cuò)誤被檢測出來,輸出“error”,indi=1(ind表示是否發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤,如果發(fā)現(xiàn)則為1;否則為零);如果沒有錯(cuò)誤被檢測出來,S1繼續(xù)檢查其他2t個(gè)輸出;如果所有的輸出都通過檢測,S1輸出,indi=0;否則,S1挑選t個(gè)隨機(jī)數(shù)z1,z2,…,zt,并輸出.在上面的所有情況中,模擬器S1都要保存它自己的所有狀態(tài).U′的輸入分布在實(shí)際和理想的實(shí)驗(yàn)環(huán)境中,在計(jì)算上都是不可區(qū)分的.在理想實(shí)驗(yàn)環(huán)境中,所有的輸入都是隨機(jī)選取的.在實(shí)際實(shí)驗(yàn)環(huán)境中,由于T在向U提交查詢請(qǐng)求操作之前,所有指數(shù)已經(jīng)過一個(gè)映射函數(shù)加密擾亂,因此兩次查詢操作的過程是獨(dú)立隨機(jī)的,在計(jì)算上不可區(qū)分.

接下來證明UVIEWreal～UVIEWideal.如果輸入{(xi;u):1≤i≤t}不是可信的秘密輸入、可信的受保護(hù)的輸入和敵手的受保護(hù)的輸入時(shí),U′總能知道輸入信息.顯然,這種情況下模擬器S2執(zhí)行過程將與實(shí)際的環(huán)境相同.因此,只需考慮輸入是可信的秘密輸入、可信的受保護(hù)的輸入和敵手的受保護(hù)的輸入時(shí)的情況.

在理想的實(shí)驗(yàn)環(huán)境中,模擬器S2執(zhí)行過程如下:當(dāng)接收到第i個(gè)輸入時(shí),S2忽略它們,并向U′提交4t個(gè)形如的查詢操作,然后保存自己和的所有狀態(tài).同上面證明的過程一樣,U′的輸入分布在實(shí)際和理想的實(shí)驗(yàn)環(huán)境中在計(jì)算上都是不可區(qū)分的.因此,盡管通過indi的值E能夠很容易地區(qū)別真實(shí)環(huán)境和理想環(huán)境,但是E不能把這一信息傳遞給U′.所以,有UVIEWreal～UVIEWideal成立.

引理3 在單個(gè)服務(wù)器惡意模型中,算法(T,U)是外包算法BExp的(O((6t+log2n)(nt)),(4t2-1)(4t2),λ)安全外包的實(shí)現(xiàn).

證明 用平方乘算法計(jì)算一個(gè)模指數(shù)形如uamod p,大概需要1.5n次的模乘運(yùn)算,其中n表示指數(shù)a的比特長度.因此,用平方乘算法直接計(jì)算t個(gè)指數(shù)大概需要進(jìn)行1.5nt次模乘運(yùn)算.而用BExp算法計(jì)算t個(gè)指數(shù),需要1次模逆運(yùn)算,6t+1次模乘運(yùn)算.另外,還調(diào)用了3次Rand子程序.在1.1節(jié)中提到過如果使用EBPV發(fā)生器來實(shí)現(xiàn)Rand子程序,那么一個(gè)n比特的指數(shù)運(yùn)行的時(shí)間復(fù)雜度為O(log2n).所以,算法BExp的時(shí)間復(fù)雜度為O((6t+log2n)(nt)).

在算法2中,用戶T向服務(wù)器提交了兩次查詢操作,每次計(jì)算的模指數(shù)長度為2t.這兩次查詢的結(jié)果影響著算法3的最終驗(yàn)證結(jié)果.假設(shè)某次外包計(jì)算過程中U向T返回了一個(gè)錯(cuò)誤的結(jié)果,要想通過算法3的驗(yàn)證使用戶T接受這個(gè)錯(cuò)誤的結(jié)果,U必須選取2個(gè)合適的數(shù)字,代替算法2產(chǎn)生的兩個(gè)結(jié)果集合中的某兩個(gè)數(shù).但由于算法2中兩次查詢操作在計(jì)算上是不可區(qū)分的,并且查詢操作前輸入已經(jīng)通過映射函數(shù)擾亂,所以替換成功的概率為1/(4t2).即U給T返回了一個(gè)錯(cuò)誤的計(jì)算結(jié)果,最終被T檢測出來的概率為(4t2-1)(4t2)(在下面的3.2節(jié)實(shí)驗(yàn)中,t取的都是10 00以上,可驗(yàn)證率接近于1).所以,算法BExp的可驗(yàn)證率為(4t2-1)(4t2).

綜上所述,可以說算法(T,U)是外包算法BExp的(O((6t+log2n)(nt)),(4t2-1)(4t2),λ)安全外包的實(shí)現(xiàn).

3　性能分析

3.1理論分析

假設(shè)將t個(gè)底數(shù)相同、指數(shù)不同的模指數(shù)外包給云服務(wù)器,統(tǒng)計(jì)出在不同方案中,客戶T需要做的模乘運(yùn)算次數(shù)、模逆運(yùn)算次數(shù)、查詢服務(wù)器的次數(shù)、隱私性狀況、可驗(yàn)證率以及使用的服務(wù)器數(shù)量,如表1所示,其中m表示文獻(xiàn)[4]中選取的隨機(jī)數(shù)個(gè)數(shù),m＞100.

表1　模指數(shù)運(yùn)算外包方案比較

根據(jù)表1,同文獻(xiàn)[6-7]相比,筆者在實(shí)現(xiàn)用戶的指數(shù)、底數(shù)都對(duì)服務(wù)器保密的同時(shí),效率上有明顯的提高.所做的模乘運(yùn)算、模逆運(yùn)算和查詢服務(wù)器的次數(shù)都要少于文獻(xiàn)[6-7]中的.隨著外包模指數(shù)數(shù)量增多(t越大),這種效率的提升越明顯.并且,筆者只用了一個(gè)服務(wù)器,可驗(yàn)證率也要高于文獻(xiàn)[6-7]的.文獻(xiàn)[8]雖然也只用了一個(gè)服務(wù)器并能夠?qū)崿F(xiàn)完全隱私,但在效率和可驗(yàn)證率上都不及筆者提出的方案.與文獻(xiàn)[9]相比,盡管文獻(xiàn)[9]的可驗(yàn)證率和服務(wù)器個(gè)數(shù)都與筆者提出的方案相同,甚至模乘運(yùn)算、模逆運(yùn)算和查詢服務(wù)器的次數(shù)比筆者提出的方案少,效率方面比筆者提出的方案略高,但是,文獻(xiàn)[9]不能實(shí)現(xiàn)用戶的指數(shù)、底數(shù)同時(shí)對(duì)服務(wù)器保密,安全性方面不如筆者提出的方案.

3.2實(shí)驗(yàn)分析

首先,對(duì)筆者提出的方案進(jìn)行實(shí)驗(yàn),統(tǒng)計(jì)出外包不同數(shù)量的模指數(shù)時(shí),用戶端所需要的時(shí)間曲線圖(如圖1所示).由圖1可知,采用筆者提出的外包方案,用戶通過外包方案計(jì)算出結(jié)果的時(shí)間遠(yuǎn)小于用戶直接計(jì)算的時(shí)間.并且,隨著待外包模指數(shù)個(gè)數(shù)的增多,兩者之間的時(shí)間差值增大,筆者提出的方案在大批量模指數(shù)外包方面的高效率特性更突出.

圖1　外包模指數(shù)方案實(shí)驗(yàn)結(jié)果圖

接著,分別對(duì)文獻(xiàn)[7-9]的外包方案進(jìn)行實(shí)驗(yàn).一共測試了9組不同個(gè)數(shù)的模指數(shù),統(tǒng)計(jì)用戶端所需要的時(shí)間如表2所示.

表2　4種外包方案的計(jì)算時(shí)間　ms

根據(jù)表2,可以得出與3.1節(jié)相同的結(jié)論.在外包的模指數(shù)個(gè)數(shù)相同的情況下,文獻(xiàn)[8]中方案所用的時(shí)間明顯高于其他3種方案的,這是由于文獻(xiàn)[8]中的方案主要是用于外包多個(gè)模指數(shù)乘法運(yùn)算,所以在單個(gè)模指數(shù)外包上效率很低.筆者提出方案的時(shí)間介于文獻(xiàn)[7,9]中方案之間,這也和3.1節(jié)方案分析的結(jié)論吻合.在外包的模指數(shù)個(gè)數(shù)相同情況下,與文獻(xiàn)[7]中的方案相比,筆者提出的方案時(shí)間較少,這說明筆者提出的方案效率高于文獻(xiàn)[7]的.隨著外包的模指數(shù)個(gè)數(shù)增多,文獻(xiàn)[7]中的方案和筆者提出方案的時(shí)間差值增大,這意味著在實(shí)現(xiàn)大批量的模指數(shù)外包上,筆者提出的方案效率的優(yōu)勢更明顯.為了實(shí)現(xiàn)用戶提供的指數(shù)、底數(shù)都對(duì)服務(wù)器保密,提高算法的安全性,筆者提出的方案進(jìn)行了少量的預(yù)計(jì)算操作.犧牲用戶少量時(shí)間換取了用戶安全性的提高,這就導(dǎo)致了筆者提出方案的效率比文獻(xiàn)[9]的低.

4　結(jié)束語

基于單個(gè)不可信服務(wù)器,提出了一種新的模指數(shù)批外包計(jì)算方案.與目前已知的模指數(shù)外包方案相比,筆者提出的方案僅需付出少量的預(yù)計(jì)算操作代價(jià),便能夠同時(shí)實(shí)現(xiàn)指數(shù)和底數(shù)的隱私性.在數(shù)據(jù)隱私的前提下,用戶實(shí)現(xiàn)外包的效率高于其他算法.另外,外包結(jié)果的可驗(yàn)證概率較其他方案也有明顯優(yōu)勢,如果服務(wù)器不誠實(shí),用戶檢測出錯(cuò)誤的概率接近于1.后續(xù)需改進(jìn)的工作是:在保證用戶外包效率不降低的情況下,盡可能地降低服務(wù)器的工作量.

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(編輯:郭 華)

Verifiable outsourcing scheme for batch modular exponentiations

HUANG Chunshui,REN Yanli,CAI Jianxing
(School of Communication and Information Engineering,Shanghai Univ.,Shanghai 200444,China)

With the development of cloud computing,more and more people focus on how to outsource the expensive computations to the untrusted cloud servers.Currently,the outsourcing schemes for modular exponentiations are mostly based on two untrusted servers,or the checkability is very small.We propose a new outsourcing algorithm for batch modular exponentiations by using the random permutation.The exponent and the base are both private for the server,and the outsourcer can detect the error with probability close to 1.Compared with the previous algorithms,the proposed one is based on a single server, which realizes the privacy of inputs and increases the checkability of the outsourcing result.Finally,we simulate the proposed algorithm,and the experimental result shows that it can greatly reduce the computational cost for the outsourcer.

cloud computing;outsourcing algorithm;verifiable;modular exponentiation

TP309

A

1001-2400(2016)04-0135-06

10.3969/j.issn.1001-2400.2016.04.024

2015-04-14 網(wǎng)絡(luò)出版時(shí)間：2015-10-21

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61202367);上海市自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(12ZR1443700);上海市教委創(chuàng)新基金資助項(xiàng)目(14YZ020)

黃春水(1991-),男,上海大學(xué)碩士研究生,E-mail:chunshui_h@163.com.

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