改進的差分進化算法在電力經濟調度中的應用

李榮雨 陳菲爾

(南京工業(yè)大學計算機科學與技術學院，江蘇 南京 211816)

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改進的差分進化算法在電力經濟調度中的應用

李榮雨 陳菲爾

(南京工業(yè)大學計算機科學與技術學院，江蘇 南京 211816)

以優(yōu)化發(fā)電系統(tǒng)中的發(fā)電總費用為目標，結合實際運行中機組的約束條件和閥點效應，建立了電力經濟調度(ED)模型，并提出了求解該模型的改進的差分進化算法(ADE)。針對標準差分進化算法存在的種群多樣性和收斂性能之間的矛盾，在度量種群多樣性的基礎上，引入了基于排序的可行解選取遞減策略改進變異策略current-to-best。此外，提出一種新穎的等式約束修復機制，確保求解的可行性。最后，利用13個機組的測試系統(tǒng)進行仿真試驗，結果證明了ADE算法求解ED模型的有效性。

發(fā)電機組 差分進化 電力經濟調度 閥點效應 種群多樣性 粒子群算法 變異策略 修復機制

0 引言

電力經濟調度(economic dispatch，ED)問題是現(xiàn)代電力系統(tǒng)控制和操作中至關重要的部分[1]。當考慮系統(tǒng)實際運行中由于調節(jié)閥出現(xiàn)拔絲現(xiàn)象引起的閥點效應時，ED問題將變得更加復雜，因此尋找最優(yōu)調度結果是一個巨大的挑戰(zhàn)[2-3]。近年來，出現(xiàn)了很多求解ED問題的算法，其中遺傳算法[4]、模擬退火算法[5]、粒子群算法[6]、差分進化算法[7]等啟發(fā)式算法憑借其沒有非凸等特征限制的優(yōu)勢，已經成功應用到求解ED問題中，并取得了一定成效。由Storn 和Price提出的差分進化算法(differential evolution，DE)[8]更是被許多專家證明為簡單、有效的進化算法，在實際優(yōu)化中得到了許多成功的應用[9-11]。

本文首先對實際問題建立數(shù)學模型，然后設計基于排序的可行解選取遞減策略，改進現(xiàn)有變異算子，提出基于度量種群多樣性的改進差分進化算法(adaptive differential evolution，ADE )，并處理各約束條件。最終將ADE算法用于求解ED模型，結果表明本文提出的算法獲得了更好的優(yōu)化效果。

1 電力經濟調度的數(shù)學模型

1.1 目標函數(shù)

電力經濟調度是指在整個調度周期內，在滿足系統(tǒng)負載需求和機組運行約束條件下，優(yōu)化各機組的負荷分配，使系統(tǒng)發(fā)電總成本達到最小。該非線性優(yōu)化的目標函數(shù)如下：

(1)

式中：Fi(Pi)為第i個機組的成本特性函數(shù)；Pi為第i個發(fā)電機組的輸出功率。

在系統(tǒng)實際運行中，為了保證調度結果的可靠性，考慮機組的閥點效應，因此在原先二次方程式的基礎上，疊加正弦函數(shù)用于模擬能耗虧損。實際的機組能耗特性可表示為：

式中：ai、bi、ci為機組i的成本系數(shù)；ei、hi為機組i的閥點效應系數(shù)；Pi,min為第i臺發(fā)電機的最小輸出功率。

1.2 約束條件

當考慮實際工況中的閥點效應時，目標函數(shù)受到如下三個等式及不等式的約束。

①電力平衡約束：

(2)

式中：PD為系統(tǒng)總負荷；PL為系統(tǒng)總損耗。

②機組出力約束：

Pi,min≤Pi≤Pi,maxi=1,2,…,N

(3)

式中：Pi,min，Pi,max分別為第i個發(fā)電機組的有功功率的上下限。

③機組爬坡約束：

2 改進的差分進化算法

2.1 標準差分進化算法

差分進化算法是一種基于種群的啟發(fā)式隨機搜索技術，對于解決連續(xù)性優(yōu)化問題具有較強的魯棒性。DE算法具有收斂性能好、結構簡單、控制參數(shù)少等優(yōu)點。和其他啟發(fā)式的智能優(yōu)化算法類似， 差分進化算法主要通過變異、交叉、選擇這三個步驟，模擬自然進化過程。通過種群內個體間的相互合作和相互競爭，實現(xiàn)從初始種群到最優(yōu)種群的演化，引導搜索過程向最優(yōu)解逼近。 變異操作和交叉操作為豐富種群多樣性創(chuàng)造了條件，而選擇操作有助于在搜索區(qū)域內開發(fā)更好的可行解。

標準差分進化算法的具體操作流程如下。

①變異。

(4)

②交叉。

在第二階段，通過將變異個體與父代個體進行交叉操作，從而產生新個體。交叉操作如下：

③選擇。

DE算法采用達爾文的“適者生存”思想進行擇優(yōu)保留，采用“貪婪”的選擇方式來確定適應度好的個體作為進化子代。

(5)

式中：f(x)為待優(yōu)化的最小化問題。

2.2 改進的差分進化算法

在傳統(tǒng)DE算法中，從種群中隨機選取個體進行變異操作不僅會減慢收斂速度，而且在處理復雜的多峰問題時全局搜索能力不佳。此外，隨著迭代次數(shù)的增加，種群個體間的差異會慢慢減小。不斷縮小的個體差異就會導致種群多樣性降低，從而過早地導致算法收斂到局部極值點周圍，形成早熟收斂現(xiàn)象。針對以上問題，本文提出一種基于度量種群多樣性的改進變異策略的差分進化算法。

2.2.1 基于排序的可行解選取遞減策略

變異操作是DE算法的核心。算法迭代過程中，種群的進化方向由選取的變異策略決定，然而現(xiàn)有的變異算子或全局搜索能力強，或局部挖掘能力強，不具有普遍的適用性。以下三個是目前使用廣泛、典型的變異算子。

①DE/rand/1:

(6)

②DE/best/1:

(7)

③DE/current-to-best/1:

(8)

(9)

(10)

2.2.2 基于度量種群多樣性的自適應縮放因子

為了進一步提高算法的可靠性和全局收斂能力，同時面對實際問題參數(shù)設置困難等問題，本文設計了基于度量種群多樣性的自適應縮放因子。根據(jù)式(4)可知，縮放因子的取值控制了差分向量對基向量造成的擾動作用，因此縮放因子是維持種群多樣性的一個關鍵因素。

(11)

(12)

式中：div(1)為g=1時的種群多樣度，即初始種群多樣度；div(g)為第g代種群的多樣度；c為[0.05,2]區(qū)間內隨機產生的自適應因子；fi為第i個個體的適應度；favg為當前種群的平均適應度。從理論上說，div(g)的值越大，表明當前種群有豐富的多樣性。當算法的種群多樣性開始減小時，應增大F以期擴大種群多樣性，所以構造了基于種群多樣性遞減的縮放因子自適應函數(shù)。該改進能從一定程度上豐富種群多樣性，避免種群中個體過早集中。

2.2.3ADE算法步驟

綜合以上分析，基于度量種群多樣性改進的差分進化算法的實現(xiàn)步驟如下。

①將以下參數(shù)初始化：種群規(guī)模NP、維數(shù)D、自適應因子c、變異最大進化代數(shù)Gm，令G=1并初始化種群。

②計算當前種群適應度和當前種群多樣度div(g)，將個體按照適應度從優(yōu)至劣排序并分配排序號。根據(jù)式(10)確定式(9)中基向量的選取范圍。

③按式(11)產生當前種群進行變異操作時的縮放因子值F(g)，對種群中的個體根據(jù)式(9)進行變異，然后交叉，選擇。

④G=G+1，返回步驟②,直到滿足最大迭代次數(shù)Gm。

3 基于改進差分進化算法的經濟調度求解

將ADE算法應用于求解ED問題時，關鍵在于如何處理其需滿足的等式及不等式約束條件。由于受DE算法中隨機初始化操作及變異、交叉作用的影響，使得算法尋優(yōu)過程中產生的解很難滿足等式約束條件。為了有效獲取算法的可行解，在此將闡述ADE算法對各約束條件的處理。

3.1 種群初始化

首先，在各機組可行的出力范圍內，根據(jù)式(13)隨機產生初始個體。

Pi=Pi,min+(Pi,max-Pi,min)×rand(0,1)

(13)

因此，初始后的個體必然滿足機組出力約束條件。

3.2 機組輸出功率的限制處理

將ADE算法用于解決ED問題時，算法進行變異操作后產生的新個體可能會違反約束條件。當這種情況發(fā)生時，采用式(14)的處理方法對越界的個體進行修正：

(14)

3.3 基于修復機制的等式約束處理

對于如何處理約束條件，近年來，學者們提出了多種處理方案，具體可分為四類：

①基于保護可行解的方法；

②基于罰函數(shù)的處理；

③明確區(qū)分可行解和不可行解的策略；

④雜交技術。

②若差值PowDiff大于既定閥值，轉到步驟③，否則跳轉到步驟⑧；

③計算違反系統(tǒng)平衡約束的均值PavgDiff=PowDiff/N;

④根據(jù)式(15)，調整所有發(fā)電機的輸出功率為：

Pi=Pi+PavgDiff

(15)

判斷重新生成的輸出功率是否違反機組出力約束，若不違反該約束則進行下一步，否則按照式(14)進行修正后再進行下一步；

⑤根據(jù)新的Pi值，重新計算差值PowDiff，若小于既定閥值，進行步驟⑧，否則進行下一步；

⑥設置count=count+1,判斷是否滿足count

⑦隨機選取一個發(fā)電機組r，調整其輸出功率Pr=Pr+PowDiff后，判斷重新生成的輸出功率是否違反機組出力約束，若不違反該約束則進行下一步，否則按照式(17)進行修正后進行步驟⑧；

⑧迭代終止。

3.4 構造適應度函數(shù)

為了評價ADE算法的有效性，構造如下適應度函數(shù)：

(16)

式中：w為機組爬坡約束的懲罰因子；Ri為違反機組爬坡約束的指標。根據(jù)違反約束的數(shù)量,懲罰因子w相應地對機組成本函數(shù)進行懲罰。如果系統(tǒng)中不涉及機組爬坡約束，則w取值為0。

4 算例分析

本文以13個機組的測試系統(tǒng)為例，將本文提出的ADE算法與DE、JADE算法進行對比試驗，以驗證ADE算法的有效性。在把ADE算法應用到求解ED問題前，通過兩個標準測試函數(shù)上對ADE進行算法仿真測試。測試函數(shù)列表如表1所示。

表1 測試函數(shù)列表

表1中：f1(x)為高維的單峰函數(shù)；f2(x)為存在多個局部最小值的復雜多峰函數(shù)，且局部最小值的數(shù)量隨著問題的維數(shù)呈指數(shù)增加，因此在搜索過程中很容易進入到造成局部收斂的區(qū)域中。

各參數(shù)設置如下：函數(shù)維數(shù)D=30，種群規(guī)模NP=100，算法迭代最大終止次數(shù)Gm=9 000。原始DE算法中，變異因子取值0.5，交叉概率取值0.9。JADE中，各參數(shù)設置參考文獻[12]。對3個算法分別連續(xù)獨立運行20次得到的函數(shù)收斂曲線如圖1所示。

圖1 平均適應度變化曲線

圖1(a)所示為截取 1 500代前Sphere函數(shù)的仿真結果。雖然在搜索前期，ADE收斂速度與JADE幾乎接近，然而在搜索后期，DE算法和JADE算法因為種群多樣度減少，在尋找最優(yōu)解的過程中陷入了局部最優(yōu)，而ADE算法通過不斷調整種群多樣度很快地收斂至全局最優(yōu)解。從圖1(a)可以看出，兩個對比算法最后可能收斂到全局最優(yōu)處，但是收斂時間明顯比ADE耗時更多，且精度不如ADE算法。

由圖1(b)可知，在處理多峰函數(shù)時，ADE算法無論是從收斂速度，還是從全局尋優(yōu)能力上都明顯優(yōu)于另外兩個算法，在很短時間之內搜索到了全局最優(yōu)解，有效避免了算法進入局部收斂和算法早熟等問題，同時也提高了種群的收斂速度，搜索性能更為穩(wěn)定。

為了進一步驗證ADE算法的有效性，將以上三個算法同時應用到解決ED問題的實際情況中。測試系統(tǒng)總負荷1.8 GW，等式約束修復機制中懲罰因子w=107，閥值=50，最大迭代次數(shù)t=5，各機組的參數(shù)設置參照文獻[13]。經過30次的反復試驗后，本算例的各機組負荷分配優(yōu)化結果如表2所示，系統(tǒng)發(fā)電費用比較如表3所示。

表2 13個機組負荷分配優(yōu)化結果

表3 系統(tǒng)發(fā)電總費用及總出力比較

由表2及表3可知，ADE算法在求解帶閥點效應的ED問題時具有明顯的優(yōu)勢，所求得的系統(tǒng)總出力、系統(tǒng)最優(yōu)發(fā)電費用及系統(tǒng)平均發(fā)電費用均優(yōu)于DE算法和JADE算法所求結果，表明本文提出的ADE算法全局搜索能力更強、適應性更好。

5 結束語

實際優(yōu)化問題往往具有未知性、復雜性、高維度等特性，標準差分進化算法不能有效實現(xiàn)其建模過程。本文在DE算法的基礎上，引入BFS-best機制改進變異算子；考慮到算法進化過程中逐漸喪失的種群多樣性，提出基于度量種群多樣性的縮放因子自適應方法，從而提高了算法的全局收斂性能和搜索效率，避免了算法陷入局部最優(yōu)。

此外，對于重點討論的ED問題，本文提出了一種解決系統(tǒng)等式約束的修復機制,在滿足約束條件和優(yōu)化目標的前提下，將ADE算法成功運用到帶約束的最優(yōu)化問題中。試驗結果表明，基于ADE算法實現(xiàn)的電力經濟調度問題優(yōu)化方法能在較短的時間內實現(xiàn)負荷的最優(yōu)經濟分配，在提高解的可行性和精度方面起了較好的作用。

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Application of the Improved Differential Evolution Algorithm in Power Economic Dispatch

For the purpose of optimizing the total cost of power generation for power generating system,the power economic dispatch (ED) model is built by combining the constraints of the unit in practical operation and the valve-point effect,and an improved differential evolution (ADE) algorithm is proposed to solve the model.Aiming at the contradiction between population diversity and convergence performance which is existing in standard traditional differential evolution algorithm,on the basis of measuring population diversity,a diminishing feasible solution selection mechanism based on sequencing is introduced to improve the mutation strategy current-to-best.In addition,the novel equality constraints repair mechanism is put forward to guarantee the feasibility of the solutions.Finally,test system with 13 units is used for simulation experiment; the results prove the effectiveness of ADE for solving ED model.

Generator unit Differential evolution Power economic dispatch Valve-point effect Population diversity Particle swarm optimization(PSD) Mutation strategy Repair mechanism

李榮雨(1977—)，男，2007年畢業(yè)于浙江大學控制科學與工程專業(yè)，獲博士學位，副教授；主要從事工業(yè)過程優(yōu)化與監(jiān)控方向的研究。

TH86;TP18

A

10.16086/j.cnki.issn 1000-0380.201611012

修改稿收到日期：2016-05-05。