電大弱散射介質(zhì)的體積分算法

樊 君,雷振亞,謝擁軍,2,李曉峰

(1.西安電子科技大學(xué)電子工程學(xué)院,陜西西安 710071; 2.北京航空航天大學(xué)電子信息工程學(xué)院,北京 100083)

電大弱散射介質(zhì)的體積分算法

樊 君1,雷振亞1,謝擁軍1,2,李曉峰1

(1.西安電子科技大學(xué)電子工程學(xué)院,陜西西安 710071; 2.北京航空航天大學(xué)電子信息工程學(xué)院,北京 100083)

針對(duì)電大弱散射介質(zhì)體的高頻散射場(chǎng)計(jì)算問題,基于散射場(chǎng)的體積分方程,分別從矢量波動(dòng)方程和標(biāo)量波動(dòng)方程出發(fā),將通常用于求解逆散射問題的波恩近似和里托夫近似引入其中,推導(dǎo)出相應(yīng)求解電大弱散射介質(zhì)體的散射場(chǎng)的近似公式.通過利用近似條件簡(jiǎn)化了散射場(chǎng)、入射場(chǎng)和總場(chǎng)之間的相互作用,在保證一定的計(jì)算精度的前提下,避免了傳統(tǒng)方法中求解矩陣的復(fù)雜步驟,從而節(jié)約了計(jì)算機(jī)資源及時(shí)間消耗.算例的數(shù)值結(jié)果證明了該方法的有效性.

非均勻;介質(zhì)目標(biāo);雷達(dá)散射截面;波恩近似;里托夫近似

介質(zhì)目標(biāo)的散射特性分析一直是電磁領(lǐng)域研究的熱點(diǎn)問題,其中二維分層介質(zhì)散射作為研究地、海面目標(biāo)的復(fù)合散射及埋地目標(biāo)探測(cè)等的基礎(chǔ),起步較早,研究相對(duì)成熟,而三維介質(zhì)體的電磁分析由于其對(duì)天線罩的隱身性能分析、醫(yī)學(xué)成像等領(lǐng)域應(yīng)用的重要意義以及計(jì)算機(jī)技術(shù)的高速發(fā)展也日漸引起學(xué)者關(guān)注[1-3].特別是對(duì)于非均勻有界介質(zhì)體目標(biāo),表面積分方程不再適用,體積分方程則由于其對(duì)目標(biāo)形狀和材料的描述更加靈活而成為解決此類問題的最佳選擇.通常基于電場(chǎng)的體積分方程來構(gòu)建電磁場(chǎng)分布模型,依據(jù)等效原理,只要求解出介質(zhì)體內(nèi)任意點(diǎn)的總場(chǎng),就可將其作為等效的場(chǎng)源,空間任意位置的場(chǎng)則可依據(jù)電磁場(chǎng)的疊加定理看作介質(zhì)體內(nèi)各點(diǎn)等效源在該處的散射場(chǎng)的疊加,繼而得到空間的場(chǎng)分布.

傳統(tǒng)矩量法求解體積分方程通常需要O(N2)的計(jì)算機(jī)內(nèi)存和O(N3)的運(yùn)算量,其中,N為未知量個(gè)數(shù),與目標(biāo)體積成正比,因而,難以處理未知量巨大的電大尺寸目標(biāo)的散射問題.為克服這一困難,一些快速有效的方法先后被提出,如:基于分塊和高層基函數(shù)來控制生成矩陣的維數(shù)的特征基函數(shù)法(Characteristic Basis Function Method,CBFM)[4];通過將單元?jiǎng)澐譃榻鼌^(qū)和遠(yuǎn)區(qū)的方式減少基函數(shù)之間作用次數(shù),從而降低計(jì)算復(fù)雜度的快速多極子法(Fast Multipole Method,FMM)[5-6];通過用快速傅里葉變換來計(jì)算積分方程中的卷積來降低計(jì)算復(fù)雜度,而后再用共軛梯度法加速線性方程求解過程的共軛梯度快速傅里葉變換(Conjugate Gradient Fast Fourier Transform,CG-FFT)法[7-8];基于耦合區(qū)域劃分旨在稀疏化系數(shù)矩陣的自適應(yīng)積分法(Adaptive Integral Method,AIM)[9],以及進(jìn)一步結(jié)合漸進(jìn)波形估計(jì)技術(shù)(Asymptotic Waveform Evaluation,AWE)[10]加速計(jì)算散射體目標(biāo)的寬帶特性的算法等,這些算法在很大程度上提高了矩量法效率,使得算法對(duì)計(jì)算機(jī)內(nèi)存和計(jì)算資源的需求有所降低.

但是采用這些算法依然需要階數(shù)較大的系數(shù)矩陣,尤其對(duì)于非均勻介質(zhì)體的散射問題,為精確描述其中的場(chǎng)分布,單元剖分要求很細(xì),導(dǎo)致未知量個(gè)數(shù)的急劇增加,使生成的矩陣方程條件數(shù)惡化而迭代收斂緩慢,因此,無論是矩陣方程的生成,還是求解對(duì)計(jì)算機(jī)內(nèi)存及計(jì)算時(shí)間的需求都大幅增加,都有必要研究更加高效的算法.

筆者針對(duì)電大尺寸非均勻介質(zhì)的散射計(jì)算問題,基于體積分方程,引入廣泛應(yīng)用于逆散射綜合問題的傳統(tǒng)波恩近似[11-12]和里托夫近似[13-14],分別從矢量波動(dòng)方程和標(biāo)量波動(dòng)方程出發(fā),利用近似條件弱化場(chǎng)量間相互關(guān)系,使得體積分方程得以簡(jiǎn)化,避免了大型系數(shù)矩陣的復(fù)雜求解過程,進(jìn)而計(jì)算了電大尺寸弱散射介質(zhì)目標(biāo)的電磁散射特性.最后,分別給出了均勻和非均勻平板目標(biāo)的單站雷達(dá)散射截面(Radar Cross Section,RCS)計(jì)算結(jié)果對(duì)比曲線,驗(yàn)證了文中所提方法的有效性.

1　Born近似

如圖1所示,圖中深色部分為電磁波作用下的有界非均勻介質(zhì)散射體,由電磁場(chǎng)波動(dòng)方程可知,非均勻空間區(qū)域中各點(diǎn)的電場(chǎng)滿足以下方程:

圖1　波動(dòng)方程作用區(qū)域示意圖

其中,μ和ε分別是散射體V內(nèi)的磁導(dǎo)率和介電常數(shù).

而背景介質(zhì)區(qū)域的電場(chǎng)滿足如下方程:

其中,μb和εb分別是背景介質(zhì)區(qū)域內(nèi)的磁導(dǎo)率和介電常數(shù).將式(1)的兩邊同時(shí)減去?×μ-1b?×E(r)-ω2εbE(r),可得

以上方程的求解需要引入散射體不存在時(shí)的并矢格林函數(shù),滿足:

其中,δ(·)為狄拉克函數(shù).于是,方程的解可寫為如下積分形式:

其中,第1項(xiàng)為外部電流源對(duì)電場(chǎng)的貢獻(xiàn),也即入射場(chǎng);第2項(xiàng)為散射體中的感應(yīng)體電流源的散射貢獻(xiàn).通常考慮非磁性媒質(zhì),磁導(dǎo)率近似認(rèn)為常數(shù).因此,式(5)可化簡(jiǎn)成如下表達(dá)式:

法比為女人們拉開沉重的門。外面手電筒光亮照著一片刺刀的森林。少佐僵直地立正，臉孔在陰影中，但眼睛和白牙流露的喜出望外卻從昏暗中躍出來。法比從來沒想到他會(huì)拉開這扇門，把人直接送上末路。把一個(gè)叫趙玉墨的女子送上末路。

于是,方程式(6)可表示為以下形式:

上式為一階波恩近似,空間各點(diǎn)電場(chǎng)可由式(8)計(jì)算得到.

而對(duì)于式(8)中的并矢格林函數(shù)的計(jì)算,由于格林函數(shù)中的積分項(xiàng)作用區(qū)域是整個(gè)非均勻介質(zhì)體,因而其中既包括單元間的相互作用項(xiàng),也包括各單元的自作用項(xiàng).為避免奇點(diǎn)影響,各單元的自作用項(xiàng)需單獨(dú)處理,其表達(dá)式[15]為

2　Rytov近似

另一種常用近似為里托夫近似,考慮當(dāng)介質(zhì)目標(biāo)散射體的特征尺寸遠(yuǎn)大于波長(zhǎng)時(shí),也即高頻散射情況下,極化電荷效應(yīng)可忽略,此時(shí),矢量波動(dòng)方程退化成去耦合的標(biāo)量波動(dòng)方程.于是,非均勻介質(zhì)體中的標(biāo)量場(chǎng)波動(dòng)方程可表示為

而標(biāo)量場(chǎng)波動(dòng)方程中總場(chǎng)的解的形式為指數(shù)形式,可表示為

將式(13)和式(14)代入式(12),可得

于是,背景介質(zhì)中的入射場(chǎng)滿足方程:

將式(16)和式(17)代入式(15),并結(jié)合φ0(r)=exp( j?0(r)),?φ0(r)=jφ0(r)??0(r)以及?2φ0(r)=,可得如下方程:

Rytov近似可認(rèn)為是針對(duì)散射場(chǎng)復(fù)相位的一種梯度約束條件,通常假設(shè)散射場(chǎng)的相位變化??1非常小,即

應(yīng)用量綱分析,令散射體尺寸的量級(jí)為L(zhǎng),則當(dāng)頻率趨向無窮時(shí),kbL→∞,非均勻介質(zhì)體內(nèi)場(chǎng)的形式為ex p(i k·r),則有

于是在滿足式(22)近似條件下,散射場(chǎng)的復(fù)相位可表示為

繼而可得到總場(chǎng)的計(jì)算式為

3　數(shù)值結(jié)果

為驗(yàn)證引入波恩近似和里托夫近似計(jì)算目標(biāo)散射的準(zhǔn)確性,分別對(duì)電大尺寸均勻和非均勻弱介質(zhì)的高頻散射進(jìn)行計(jì)算.首先計(jì)算均勻介質(zhì)平板,如圖2所示,介質(zhì)平板尺寸為6λ×6λ×(1/10)λ,計(jì)算頻率為10 GHz,相對(duì)介電常數(shù)為1.1,垂直極化入射.表1中給出了兩種方法和高頻結(jié)構(gòu)仿真(High Frequency Structure Simulation,HFSS)軟件計(jì)算用時(shí)和內(nèi)存消耗.

圖2　均勻介質(zhì)平板模型

表1　兩種方法和HFSS軟件的內(nèi)存和時(shí)間消耗比較(均勻介質(zhì)平板)

如圖3所示,均勻介質(zhì)平板的計(jì)算結(jié)果與HFSS仿真結(jié)果相吻合,表明對(duì)于弱散射介質(zhì),當(dāng)滿足玻恩近似和里托夫近似條件時(shí),可在簡(jiǎn)化目標(biāo)散射場(chǎng)與總場(chǎng)以及入射場(chǎng)關(guān)系的同時(shí),滿足電磁計(jì)算的精度要求.同時(shí)注意到應(yīng)用玻恩近似和里托夫近似后的計(jì)算結(jié)果非常接近,理論分析也表明,當(dāng)散射場(chǎng)較弱時(shí),兩種近似趨近于同一近似.

圖3　均勻介質(zhì)平板單站RCS結(jié)果比較

下面對(duì)非均勻的弱散射介質(zhì)平板進(jìn)行計(jì)算,模型為6λ見方的非均勻介質(zhì)平板,各分塊尺寸如圖4所示,計(jì)算頻率為10 GHz,各介質(zhì)塊的相對(duì)介電常數(shù)分別為εr1=εr3=1.5,εr2=εr4=1.1,角度掃描面φ=0°,垂直極化入射.表2中給出了兩種方法和HFSS軟件的計(jì)算時(shí)間和內(nèi)存消耗對(duì)比.

圖4　非均勻介質(zhì)平板模型

如圖5所示,非均勻介質(zhì)的結(jié)果依然保持了比較好的計(jì)算精度,尤其是在垂直平板入射方向能夠和HFSS仿真結(jié)果較好地吻合,與圖3結(jié)果相對(duì)比可看到,隨著介電常數(shù)的增加,平板RCS整體增加將近10 d Bsm,表明散射隨介電常數(shù)的增加有所增強(qiáng).另外,由圖3和圖5的結(jié)果也可看出,對(duì)弱散射介質(zhì),Born近似和Rytov近似的計(jì)算結(jié)果也基本保持一致.

4　結(jié)束語(yǔ)

筆者研究了基于體積分方程的電大尺寸非均勻介質(zhì)的電磁散射計(jì)算方法,通過引入Born近似和Rytov近似,弱化散射場(chǎng)的關(guān)系,對(duì)弱散射介質(zhì)目標(biāo)進(jìn)行計(jì)算,從而避免傳統(tǒng)方法中求解矩陣的繁瑣步驟,數(shù)值結(jié)果也表明了該方法的有效性.文中統(tǒng)一通過將模型剖分為六面體網(wǎng)格單元進(jìn)行計(jì)算,理論上同樣適用于柱錐、球體等其他模型.例如,對(duì)球體模型,只需增加近似算法的階數(shù)以滿足計(jì)算精度要求,這也是采用體剖分計(jì)算的優(yōu)勢(shì)所在.然而,也應(yīng)指出,文中所用方法僅針對(duì)滿足近似條件的弱散射體,而對(duì)于強(qiáng)散射介質(zhì),則無法得到較為滿意的計(jì)算結(jié)果.因此,如何針對(duì)強(qiáng)散射介質(zhì)給予有效修正以滿足電磁計(jì)算的精度要求,擴(kuò)展算法的適用范圍,將是下一步需要研究的非常有意義的課題.

圖5　非均勻介質(zhì)平板單站RCS結(jié)果比較

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(編輯:齊淑娟)

Volume integral method for calculation of weak scattering from electronically large dielectric targets

FAN Jun1,LEI Zhenya1,XIE Yongjun1,2,LI Xiaofeng1
(1.School of Electronic Engineering,Xidian Univ.,Xi’an 710071,China; 2.School of Electronic and Information Engineering,Beihang Univ.,Beijing 100083,China)

To calculate the high-frequency scattering fields from the weak scattering dielectric objects,starting with the vector and scalar wave equation separately,Born approximation and Rytov approximation are introduced to directly compute the radar cross section and extended to the high-frequency analysis of the electrical large weak scattering dielectric objects based on the volume integral equation.By weakening the mutual actions between the scattering field,the incident field and the total scattering field through this approximation,the complicated procedures for solving the matrix by the traditional method can be avoided,thus saving the computational resources and the time consumption.Numerical results show that the approach is accurate and effective.

inhomogeneous;dielectric target;radar cross section(RCS);Born approximation; Rytov approximatio

TN823

A

1001-2400(2016)03-0038-05

10.3969/j.issn.1001-2400.2016.03.007

2015-03-09

時(shí)間:2015-07-27

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(60771040);教育部新世紀(jì)優(yōu)秀人才基金資助項(xiàng)目(NCE950T-40-0)

樊 君(1982-),男,西安電子科技大學(xué)博士研究生,E-mail:hawk?fj@126.com.

http://www.cnki.net/kcms/detail/61.1076.TN.20150727.1952.007.html