一種自適應的CT圖像聯合代數重建算法

喬全邦,黃力宇,賀志杰

(西安電子科技大學生命科學技術學院,陜西西安 710071)

一種自適應的CT圖像聯合代數重建算法

喬全邦,黃力宇,賀志杰

(西安電子科技大學生命科學技術學院,陜西西安 710071)

聯合代數重建技術作為一種經典的斷層圖像重建算法,存在著收斂速度慢、邊緣模糊、振鈴效應等問題.迭代過程中與步長相關的松弛算子是影響算法性能的重要因素,而重建圖像的邊緣區域與其他區域無需使用相同的松弛算子,由此提出一種基于模糊熵的自適應聯合代數重建算法.在進行初步的聯合代數重建之后,把重建圖像作為先驗信息采用模糊熵的方法對其進行邊緣檢測,根據邊緣一致性原則構造單調遞增函數,以此作為定義迭代步長的松弛算子,進而可根據重建圖像各部分的區域特征自適應地選取迭代步長進行接下來的聯合代數迭代.仿真與實際測試實驗表明,使用本改進算法進行計算機斷層圖像重建不僅可以較好地解決邊緣模糊問題,還可以很好地抑制振鈴效應.

計算機斷層成像技術;聯合代數重建技術;模糊熵;松弛算子

隨著計算機技術的發展,特別是計算機運算速度的提高,計算機斷層圖像重建中迭代法所需時間較長的缺點已逐漸降為次要矛盾,且該方法所需投影數較少,在迭代過程中可加入一些校正環節等優點則顯得更加突出,由此許多研究對迭代重建算法進行了完善.1937年Kaczmarz首次提出代數重建算法(AlgebraicReconstruction Technique,ART)的概念,隨后乘型代數重建算法(Multiplicative Algebraic Reconstruction Technique,MART)、聯合迭代重建算法(Simultaneous Iterative Reconstruction Technique,SIRT)、聯合代數重建算法(Simultaneous Algebraic Reconstruction Technique,SART)等相繼提出,其中SART被認為是結合了ART和SIRT兩種算法的優點,已成為計算機斷層成像(Computed Tomography,CT)迭代重建算法的經典[1].

作為一種迭代算法,SART一直存在著收斂速度慢、邊緣模糊、振鈴效應等問題.近年來,對該算法的改進研究有了不少進展,其中自相關的SART算法具有穩定的收斂速度[2];結合壓縮感知的SART-TV算法減少了掃描時間,實現了不完全投影數據下的CT圖像重建[3];還有采用列和替代方法(Column-sum Substitution Approach)的自適應算法實現了極端噪聲和不完整數據情況下的電子斷層成像(Electron Tomography)重建[4].然而,這些改進算法仍沒有很好地解決邊緣模糊和振鈴效應等問題.

筆者提出一種基于模糊熵的自適應聯合代數重建算法(Adaptive Simultaneous Algebraic Reconstruction Technique,ASART).在進行初步的SART重建之后,對重建圖像采用模糊熵的方法進行邊緣檢測,根據鄰域一致性測度(Neighborhood Homogeneous Measurement,NHM)構造一個單調遞增函數,以此作為定義迭代步長的松弛算子,從而可以根據重建圖像各部分的區域特征,自適應地選取迭代步長,實現自適應迭代.測試結果表明,所提出的改進算法有效解決了傳統SART中的松弛算子過小導致的邊緣模糊和松弛算子過大導致的振鈴效應問題.

1　問題描述

經典的SART的迭代公式[5]如下:

λ是松弛算子,定義了迭代步長,一般取0<λ≤1.λ取值直接影響圖像的重建效果,如圖1所示,在λ取值較小時,雖然噪聲和振鈴效應都有抑制,但是邊緣經過多次迭代依然不夠清晰;反之,在λ取值較大時,由于迭代較快,重建圖像雖然邊緣清晰,但是噪聲被放大,振鈴效應明顯.所以在傳統的SART算法中為了獲得較平滑的區域而不得不選取較小的λ值,這樣既增加運算量又很難獲得高質量的圖像.

圖1　原始圖像與選取不同λ值的SART算法重建圖像示意圖

如果在邊緣區域和平滑區域重建時定義不同的迭代步長,在邊緣區域處為獲得較好的邊緣像而采用較大的迭代步長,而在平滑區域為抑制噪聲使用較小步長,則這樣既可以得到較好的邊緣重建圖像,又不會過多地引入噪聲.

2　自適應聯合代數重建算法

有學者在凸集投影(Projection Onto Convex Sets,POCS)算法中引入模糊熵進行圖像邊緣特征提取,進而自適應地選取迭代步長[6].由于在CT圖像重建中POCS算法要求進行逐線修正,而自適應的迭代步長主要與像素相關,所以該算法不方便直接應用到CT圖像重建中.SART剛好是一種逐像素修正的迭代算法,將其與模糊熵相結合來進行自適應迭代步長選取,就能很好地發揮各自優勢提高CT圖像重建的質量.

2.1迭代步長自適應選取

要在邊緣區域和平滑區域定義不同的迭代步長,首先必須提取圖像的邊緣信息.由于圖像邊緣點鄰域內的灰度分布和非邊緣點鄰域內的灰度分布不同,即非邊緣點的鄰域內通常只有一種灰度分布,而邊緣點的鄰域內灰度分布的差異較大,所以根據灰度分布的鄰域一致性對圖像進行邊緣檢測,并采用一種模糊熵測度來表征這種灰度分布的有序性.

其中,μ表示某種特征值,C為常數,以保證0.5≤(φf(i,j))≤1,也就是希望圖像中任一像素的隸屬度不小于0.5,從而保證了模糊熵的對稱性.

在式(2)所述的模糊集合上定義一個模糊熵[6]:

在一個大小為n×n、中心為f(i,j)的n鄰域內定義一個基于模糊熵的鄰域一致性信息測度為[7]

這里,μ為n鄰域中心像素的灰度值f(i,j),由式(4)的數學特性可以看出,當n鄰域內的其他像素值和f(i,j)相等或接近時,θ(i,j)為零或較小;反之則較大.對于平滑區域,n鄰域內像素值之間的差距較小,反映為較小的θ(i,j),而在邊緣區域,由于像素值有較大差異,就會得到較大的θ(i,j),所以θ(i,j)的值可以反映區域的灰度一致性.

對于CT圖像重建,λ一般在(0,1]之間取值,需要找到一個合適的映射L,將θ映射到(0,1]之間,考慮到上文描述的θ,λ取值與圖像邊緣的關系,所以采用簡單的線性映射作為映射L,直接將θ值映射到(0,1]之間,此時得到自適應的松弛算子為

此時新的迭代公式為

其中,λω(i,j)=λ(i,j),表示在像素ω(i,j)處的自適應松弛算子,(i,j)表示該像素所在的位置.

2.2算法流程

上述算法的流程如圖2所示,其中輸入參數有重建圖像大小N、投影角度beta、每個投影角度下的射線條數P?num、投影數據P、投影矩陣W、迭代總次數ASART?num、SART算法迭代次數SART?num、迭代計數器C?num、初始λ值(用lambda表示)、選取鄰域n(用n表示)等,輸出參數是重建圖像F?Out.具體步驟解釋如下.

(1)將相關參數代入式(1),進行SART迭代(采用初始的固定的較小的lambda值,實驗表明選取0.1作為初始lambda值可以得到較好的結果);

(2)對迭代次數C?num進行判斷,如果大于預設的SART算法迭代次數SART?num,則進行第(3)步,否則,返回第(1)步,繼續SART迭代;

(3)對重建圖像進行n鄰域擴充(為了進行邊緣處lambda值的計算,文中為了便于計算,選取5作為n的默認值),并逐像素依次代入式(2)～(5)求得自適應的lambda矩陣;

(4)將自適應的lambda矩陣代入式(6)進行ASART迭代;

(5)改變投影角度,返回第(4)步進行迭代,直到遍歷完所有投影角度下的投影數據;

(6)對迭代次數進行判斷,如果大于預設的ASART算法迭代次數ASART?num,則進行第(7)步,否則,返回到第(3)步;

(7)迭代結束、輸出圖像.

3　實驗結果及分析

通常用3個參數來定量評價重建圖像與頭模型原始圖像的差異,這3個參數分別是歸一化均方距離判據d、歸一化平均絕對距離判據r[8]和信噪比(Signal-to-Noise Ratio,SNR)[9].

3.1Shepp-Logan頭模型仿真實驗

對大小為148×148的Shepp-Logan頭模型進行扇束掃描,獲取在[0°,360°]范圍內均勻分布的120個角度的投影數據,即每隔6°取樣,每個角度下211條投影射線,因為松弛算子一般在(0,1]之間取值,為了使λ的取值更有代表性,均勻地選取λ=0.1、λ=0.5、λ=0.9進行7次SART算法迭代重建,將重建結果與同樣進行了7次ASART算法迭代重建的結果進行對比,以顯示ASART算法的優越性能.具體結果如圖3所示.其中,圖3(b)～(d)分別是選取不同λ值的SART算法的重建圖像,圖3(e)是ASART算法的重建圖像.

圖2　ASART算法流程示意圖

圖3　原始圖像及兩種算法重建圖像對比

從圖3中可以很明顯地發現,λ=0.1時,重建圖像區域比較平滑但是會出現邊緣模糊的情況.而λ=0.5、λ=0.9時,雖然圖像邊緣效果比較好,但是引入了較大的噪聲,使圖像區域不夠平滑.而文中提出的ASART算法則不會出現上述問題.

表1　兩種算法的重建圖像質量評價參數及重建時間比較

表1中,SART1、SART5、SART9分別是λ=0.1、λ=0.5、λ=0.9時的SART重建算法.可以看到,雖然ASART算法的重建時間略大于SART算法,但是使用該算法重建的圖像質量評價參數d、r、SNR參數遠優于SART算法.所以,SART算法想要達到ASART算法的重建效果必將進行更多次迭代,其重建時間肯定遠大于ASART算法的重建時間,這一點充分的說明了ASART算法比SART算法的收斂速度更快.

由于原始圖像和重建圖像大小都是148×148,并且λ較大時,SART算法重建的圖像中出現了列狀條紋,為了顯示兩種算法的性能差異,選取包含最多圖像信息的最中間一行,即第74行的像素繪制其灰度曲線.圖4就是圖像第74行的像素灰度曲線示意圖,圖中ORG代表原始圖像,SART1、SART5分別代表λ=0.1、λ=0.5時,使用SART算法重建的圖像,ASART代表使用ASART算法重建的圖像.圖4(a)中,使用ASART算法的重建圖像,圖像邊緣處的像素灰度更加接近原始圖像灰度,圖4(b)中,在λ=0.5時,重建圖像邊緣處的像素灰度雖然也很接近原始圖像灰度,但是在圖像的平滑區域有很大的上下波動噪聲,使得重建圖像區域平滑性較差,可以看出ASART算法既克服了λ較小時邊緣模糊的缺點,又克服了λ較大時區域平滑性較差的缺點.

圖4　圖像第74行像素灰度曲線對比示意圖

3.2小鼠斷層圖像重建實驗

為了更好地驗證算法的優越性及其在實際應用中的有效性,用CT設備采集了一組小鼠的投影數據,并選取圖5(a)中紅線所代表斷層的投影數據,分別采用SART(λ=0.1、λ=0.5、λ=0.9)算法和ASART算法進行了圖像重建,結果如圖5所示.其中,圖5(b)～(d)分別是選取不同λ值的SART算法的重建圖像,圖5(e)是ASART算法的重建圖像.從圖5中可以看到,ASART算法的重建效果要遠優于傳統的SART算法.

圖5　小鼠斷層圖像的重建結果對比

4　結束語

SART算法收斂速度快且對測量噪聲不敏感的特性,使其在工程中得到了廣泛的應用,但是該算法需要手動選取松弛算子,如果松弛算子過大則會造成振鈴效應,而松弛算子過小則會造成邊緣模糊.為此,筆者提出了一種改進的自適應SART算法,在SART重建過程中引入模糊熵,把SART算法重建的圖像作為先驗信息,對其進行邊緣檢測,根據邊緣一致性原則構造一單調遞增函數,以此作為定義迭代步長的松弛算子,從而可以根據重建圖像各部分的區域特征自適應的選取迭代步長,既保證了很好的重建圖像邊緣,又有效地抑制了振鈴效應,其魯棒性等性能值得進一步深入研究.

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(編輯:王 瑞)

Image reconstruction using an adaptive simultaneous algebraic reconstruction technique in computed tomography

QIAO Quanbang,HUANG Liyu,HE Zhijie
(School of Life Sciences and Technology,Xidian Univ.,Xi’an 710071,China)

The simultaneous algebraic reconstruction technique(SART)is a vintage algorithm for computed tomography(CT)image reconstruction,but it has many problems such as slow convergence speed,edge blur,and ringing effect.The relaxation parameter is an important factor affecting the performance of the algorithm,and we find that the edge region does not need the same relaxation factor as the uniform region,so an adaptive simultaneous algebraic reconstruction technique based on fuzzy entropy is proposed.After preliminary SART reconstruction,by quoting fuzzy entropy for edge detection of the reconstructed image which is used as prior information,a monotonous increasing function that defines the relaxation factor is constructed based on the neighborhoodhomogeneous measurement(NH M).Therefore,the proposed approach can select the relaxation factor adaptively by the local character of the image. Experimental results show that the new algorithm can solve the problem of edge blurring and suppress the ringing effect effectively in CT image reconstruction.

computed tomography;simultaneous algebraic reconstruction technique;fuzzy entropy; relaxation factor

TN911.73;TP391

A

1001-2400(2016)03-0067-06

10.3969/j.issn.1001-2400.2016.03.012

2015-01-12

時間:2015-07-27

國家自然科學基金資助項目(U1401255);陜西省科學技術研究發展計劃資助項目(2014K06-12);中央高校基本科研業務費專項資金資助項目(NSIY131409,JB161206)

喬全邦(1991-),男,西安電子科技大學碩士研究生,E-mail:qqb?369927@163.com.

黃力宇(1964-),男,教授,E-mail:huangly@mail.xidian.end.cn.

http://www.cnki.net/kcms/detail/61.1076.TN.20150727.1952.012.html