高階SVD和全變差正則的乘性噪聲去除模型

霍雷剛,馮象初,王旭東,霍春雷

(1.西安電子科技大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,陜西西安 710071;2.廣西師范學(xué)院計算機與信息工程學(xué)院,廣西南寧 530023;3.中國科學(xué)院自動化研究所模式識別國家重點實驗室,北京 100080)

高階SVD和全變差正則的乘性噪聲去除模型

霍雷剛1,馮象初1,王旭東2,霍春雷3

(1.西安電子科技大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,陜西西安 710071;2.廣西師范學(xué)院計算機與信息工程學(xué)院,廣西南寧 530023;3.中國科學(xué)院自動化研究所模式識別國家重點實驗室,北京 100080)

光滑性、稀疏性和自相似性先驗作為自然圖像的重要特性被廣泛應(yīng)用于圖像去噪.根據(jù)高階奇異值分解和全變差正則的互補性,提出了一種能夠同時利用光滑性、稀疏性和自相似性先驗的乘性噪聲去除新方法.該方法首先采用高階奇異值分解方法對對數(shù)變換后圖像中的相似塊組進行去噪;然后結(jié)合考慮光滑性先驗的全變差約束對結(jié)果進行迭代優(yōu)化.實驗結(jié)果表明,該方法在有效去除乘性噪聲的同時,可以更好地保留圖像的邊緣和紋理區(qū)域的細節(jié)信息.

高階奇異值分解;乘性噪聲;全變差;非局部濾波;圖像去噪

乘性噪聲是一種廣泛存在于核磁共振、遙感、合成孔徑雷達等成像領(lǐng)域的噪聲[1-14].乘性噪聲的存在降低了圖像的畫面質(zhì)量,嚴重地影響圖像的分割、分類、目標檢測、感興趣區(qū)域提取等后續(xù)的應(yīng)用.因此,研究和發(fā)展含乘性噪聲圖像的恢復(fù)方法具有重要的理論意義和應(yīng)用價值.然而,相對于加性高斯白噪聲,乘性噪聲更復(fù)雜,傳統(tǒng)的基于高斯分布假設(shè)的去加性噪聲模型不能直接用于去除乘性噪聲.

含乘性噪聲圖像的恢復(fù)是一個不適定問題,需要通過添加關(guān)于圖像和噪聲的先驗約束將其轉(zhuǎn)變?yōu)檫m定問題.目前,圖像主要采用3種形式的先驗[15-17],即全局正則性先驗[18]、稀疏性先驗[19]和自相似性先驗[20-22].對于噪聲的先驗,近年來,采用伽馬分布模擬乘性噪聲的方法得到廣泛關(guān)注和發(fā)展[1-14,23].去除乘性伽馬噪聲的方法可以分為兩大類在乘性噪聲滿足伽馬分布假設(shè)和最大后驗概率估計框架下,利用先驗約束對待恢復(fù)圖像建立合適的能量泛函,通過變分法將優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為全變差(TotalVariation,TV)或高階全變差求解[1-2,4,6,13-14],或者利用對偶求解其分裂形式[3,5],或者轉(zhuǎn)化為濾波形式[7]進行求解利用對數(shù)變換將去乘性噪聲問題轉(zhuǎn)化為去加性噪聲問題,將對數(shù)域圖像在框架(例如,小波基)下的分解系數(shù)進行閾值處理,對閾值處理后的系數(shù)進行重構(gòu),然后進行指數(shù)變換得到恢復(fù)圖像[8-10].

上述現(xiàn)有去乘性噪聲的方法大都只利用了一種或兩種圖像先驗.例如,基于變分的方法[1-6,12-14]一般采用光滑性先驗;基于多尺度框架和閾值收縮算法的DFN模型[8]和HMNZ模型[10]結(jié)合了稀疏性和光滑性先驗;非局部濾波方法[7]只利用自相似性先驗.針對上述缺陷,筆者提出了基于高階奇異值分解(HigherOrder SingularValueDecomposition,HOSVD)和全變差正則的去乘性噪聲模型,綜合利用了3種先驗.

1　高階奇異值分解和全變差正則的去乘性噪聲模型

先介紹乘性噪聲的數(shù)學(xué)表示和已有的HMNZ模型[10],在此基礎(chǔ)上詳細敘述提出的新模型.

筆者考慮的乘性噪聲為

其中,x=(x1,x2),表示圖像所在二維區(qū)域Ω?R2上的點;f(x),u(x),v(x):ΩaR+,分別對應(yīng)觀測圖像、待恢復(fù)圖像和噪聲圖像在給定x點處的像素值.假定v(x)對于所有的x∈Ω是相互獨立的,并服從均值為1的伽馬分布,相應(yīng)的概率密度函數(shù)為

其中,Γ(·)為伽馬函數(shù),伽馬分布的方差為1/L;L表示噪聲強度.

對式(1)兩邊取對數(shù),并記z(x)=logf(x),y(x)=logu(x),ε(x)=logv(x),則有z(x)=y(x)+ε(x),從而,乘性噪聲問題轉(zhuǎn)化為加性噪聲問題.當(dāng)L足夠大時,噪聲ε的分布可近似為均值為零、標準差為σ(σ=的高斯分布[9,11],其中,Ψl(L)=(ddL)l+1logΓ(L),l={0,1}.利用噪聲的這種特性,可以很容易地將去加性噪聲的方法用于去除乘性噪聲[3,9].

假設(shè)圖像的大小為N×N,則圖像中存在(N-n+1)2個大小為n×n的重疊選取的圖像塊,將這些圖像塊的左上角的坐標集合用索引值表示為I={1,2,…,i,…,(N-n+1)2}.F∈RN×N,U∈RN×N,V∈RN×N,分別表示觀測圖像、待恢復(fù)圖像和噪聲,f∈RN2,u∈RN2,v∈RN2,分別為F,U,V的列向量表示. Ci(U)∈Rn×n,表示從U中抽取的第i個圖像塊,將其表示成列向量的形式為,這里是由大小為n2×N2的矩陣表示的線性算子,該矩陣的每一行只有一個元素為1且其余元素均為零.

文中,向量和矩陣的內(nèi)積統(tǒng)一用<·,·>表示,logu(logU)表示對向量u(矩陣U)的每個元素分別取對數(shù),·/·表示向量或矩陣的對應(yīng)元素分別相除.1N表示N維的全1向量,1N×N表示大小為N×N的全1矩陣.表示圖像U的全變差,特別地,表示列向量u對應(yīng)的二維圖像的全變差.

HMNZ模型[10]對應(yīng)的能量泛函的一般形式為

其中,第1項是似然項,第2項對應(yīng)對數(shù)域圖像的光滑約束,最后一項是對對數(shù)域圖像中圖像塊的約束;λ,γ是正則化參數(shù);,是與圖像塊Ci(logu)有關(guān)的函數(shù),其中的μi是正則化參數(shù);D表示冗余字典,采用K奇異值分解(K-SingularValueDecomposition,K-SVD)算法[19]求解;αi表示在字典下的表示系數(shù),是對表示系數(shù)的稀疏約束.HMNZ模型存在以下不足:①所有圖像塊共用一個字典,未充分考慮字典的局部自適應(yīng)性;②將圖像塊排列成列向量,不能很好地保持圖像塊的二維結(jié)構(gòu);③對每個圖像塊的稀疏表示單獨求解,對塊與塊之間的相關(guān)性考慮不足.換句話說,沒有利用圖像塊的自相似性.

考慮圖像塊相似性的算法可以取得更好的去噪效果[15-17,21-22].這類算法的基礎(chǔ)是對相似塊組整體結(jié)構(gòu)的先驗假定.例如,三維塊匹配濾波(Block-Matching and 3D filtering,BM3D)模型[21]利用三維逼近對每一個相似塊組進行去噪;高階奇異值分解模型[22]對每一個相似塊組在局部自適應(yīng)變換基下進行稀疏表示.受此啟發(fā),筆者提出利用相似塊組先驗的去乘性噪聲模型,其一般形式可以寫成

其中,θi為正則化參數(shù);Gi(log U)表示與第i個圖像塊相似的一組圖像塊,若該相似塊組中圖像塊的個數(shù)為Ki,則對應(yīng)的張量表示為Ti=Gi(log U)∈Rn×n×Ki;ψ表示對相似塊組的先驗約束.當(dāng)θi=1(i∈I)且每個相似塊組中的圖像塊個數(shù)均為1時,式(4)退化為式(3),因此,式(4)是式(3)的自然推廣.

以高階奇異值分解模型[22]作為相似塊組的先驗.定義

其中,×m(m=1,2,3)表示模m張量積;列正交的因子矩陣,分別由張量Ti=Gi(log U)的模m(m=1,2,3)展開矩陣的奇異值分解得到;核心張量Si∈Rn×n×Ki,表示對應(yīng)的展開系數(shù),是對系數(shù)的稀疏約束.

與K奇異值分解算法[19]相比,高階奇異值分解模型[22]具有以下優(yōu)勢:①將圖像塊的稀疏表示擴展至相似塊組的稀疏表示,并且采用的變換基是局部自適應(yīng)的;②不需要將圖像塊排成列向量,保持了圖像塊的二維結(jié)構(gòu);③采用三維變換基,考慮了相似塊組的行與行、列與列以及塊與塊之間的相關(guān)性;④對構(gòu)成相似塊組的每一個圖像塊進行去噪,保持了相似塊組的整體結(jié)構(gòu).換句話說,高階奇異值分解模型[22]綜合了局部自適應(yīng)性、稀疏性、自相似性,保持了圖像塊的二維結(jié)構(gòu).綜上,采用高階奇異值分解模型可以彌補基于K奇異值分解算法的HMNZ模型[10]的不足.將式(5)對相似塊組的約束帶入到式(4)的一般形式中,得出筆者建立的模型:

2　模型求解

與文獻[10,19]類似,采用兩步法求解式(6)對應(yīng)的最小化問題:

下面對上述兩步分別進行描述.

2.1自適應(yīng)變換基學(xué)習(xí)和相似塊組去噪

高階奇異值分解模型[22]對相似塊組進行去噪的步驟如下:①對含噪聲的對數(shù)域圖像Z=log F中的每一個圖像塊,由其在局部鄰域內(nèi)的相似塊構(gòu)造相似塊組;②對每一個相似塊組構(gòu)成的張量進行高階奇異值分解,得到數(shù)據(jù)自適應(yīng)的三維變換基和在該基下的展開系數(shù)Si; ③對展開系數(shù)的稀疏約束可以通過硬閾值處理求解,即將Si中幅值小于全局閾值τ=σ(2 log(n×n×Ki))1/2的元素置零,其他元素保持不變,得到閾值后的展開系數(shù)i;進行高階奇異值分解的反變換,得到去噪后的相似塊組i=

2.2松弛問題求解

得到每個相似塊組的去噪結(jié)果后,式(6)可以轉(zhuǎn)化為如下的松弛問題:

其中,Φi是與{Ci(log U)}無關(guān)的量.

其中,Φi與{Ci(log U)}無關(guān).

即Φc與{Ci(log U)}無關(guān).證畢.

其中,指數(shù)乘法表示對應(yīng)元素相乘.上式可以采用文獻[10]給出的Chambolle-Pock對偶算法進行求解.

此外,在對數(shù)變換過程中,會產(chǎn)生一個偏差,因此從對數(shù)域中的估計信號得到最終去噪圖像時須進行偏差矯正.筆者文選用文獻[23]的矯正方式,即=exp()ex( p log L-Ψ0(L)).

綜上所述,基于文中模型的乘性噪聲去除算法如下:

步驟1 對含乘性噪聲圖像進行對數(shù)變換,得到對數(shù)域圖像;

步驟2 估計對數(shù)域圖像的噪聲標準差σ,采用高階奇異值分解模型對每個相似塊組進行去噪;

步驟3 利用Chambolle-Pock對偶算法迭代求解松弛問題式(11),得到去噪后的對數(shù)域圖像;

根據(jù)文獻[22],利用維納濾波可以進一步提升去噪效果,由于篇幅限制,這里不再贅述。由此,筆者提出的算法可以有兩種具體實現(xiàn),為了加以區(qū)分,將對相似塊組去噪時不加維納濾波步驟的算法記為TVHOSVD1,將添加維納濾波步驟的算法記為TV-HOSVD2.

3　數(shù)值實驗

為了驗證提出模型和算法的有效性,本節(jié)給出了不同模型和算法在4幅圖像(Cameraman,Peppers,Barbara大小為256×256;N?mes大小為512×512)分別受到均值為1、不同強度(L={4,10})的伽馬噪聲污染圖像的去噪結(jié)果.采用平均絕對值誤差(Mean Absolute-deviation Error,MAE)EMAE、峰值信噪比(Peak Signal to Noise Ratio,PSNR)RPSNR這兩個指標對去噪結(jié)果進行客觀評價,分別定義如下:

對于對比模型,按照文獻[10]的方法調(diào)整模型中的參數(shù),使其對應(yīng)的客觀評價指標達到最優(yōu).對于筆者提出的模型,所有實驗采用相同的參數(shù):相似塊組去噪步驟選用文獻[22]給出的參數(shù),即圖像塊的大小為8×8,非局部相似塊的搜索半徑為20;相似性標準為,其中Pref為參考塊,Pi為相似塊,每個相似塊組中的圖像塊個數(shù)小于等于30;正則化參數(shù)λ=0.3/σ,β=10,γ=2,牛頓法迭代次數(shù)為5;對偶算法最大迭代次數(shù)為500;當(dāng)相鄰兩次迭代恢復(fù)的對數(shù)域圖像的相對誤差小于等于2.5×10-10時,停止迭代.經(jīng)過多次測試,采用以上參數(shù)可以取得很好的效果.

3.1客觀評價

選取4種已有去噪模型的客觀評價結(jié)果進行對比,分別為AA模型[1]、DFN模型[8]、TL模型[7]和HMNZ模型[10].表1列出了筆者提出的模型的兩種算法和對比模型在4幅圖像上的峰值信噪比和平均絕對值誤差指標,可以看出,新模型的兩種算法均達到了更高的峰值信噪比和更低(或相當(dāng))的平均絕對值誤差.以L=10時的Cameraman圖像為例,與含噪聲圖像相比,4種對比模型的峰值信噪比分別提高8.82 dB,10.42 d B,10.89 d B,11.66 dB,筆者提出的模型的兩種算法分別提高11.78 d B,11.9 d B;對應(yīng)的平均絕對值誤差分別降低19.49,21.99,22.57,22.76,筆者提出的模型的兩種算法分別降低22.69,22.62.對比筆者提出的模型兩個算法的結(jié)果還可以看出,對于紋理較豐富的圖像,增加維納濾波后去噪效果得到進一步提升.例如,Barbara在L=10和L=4時,增加維納濾波步驟前后峰值信噪比分別提高0.48 d B和0.09 dB,平均絕對值誤差分別降低0.38和0.06.

表1　4個測試圖像去噪結(jié)果的客觀評價指標

3.2主觀評價

圖1列出了Barbara和Cameraman圖像在噪聲強度較大(L=4)時的去噪結(jié)果.對結(jié)果進行分析如下.

圖1　圖像去噪結(jié)果(L=4,第1行對應(yīng)Barbara,第2行對應(yīng)Cameraman局部)

(1)紋理的保留和模糊的去除:對比圖1第1行Barbara圖像的紋理區(qū)域(如右上角的窗簾和左下的圍巾處),可以看出,筆者提出的模型較好地保留了紋理細節(jié);對比該行平滑區(qū)域(如臉部),可以看出,DFN模型出現(xiàn)塊效應(yīng)和虛假邊緣,HMNZ模型出現(xiàn)邊緣模糊,筆者提出的模型有效地降低了模糊現(xiàn)象,特別是人物的眼睛部位.

(2)邊緣的保留:圖1第2行是Cameraman圖像中相機支架和遠處建筑部位的局部放大圖像,可以看出,DFN模型存在塊效應(yīng)和邊緣丟失,HMNZ模型過平滑以致中間的支架丟失,筆者提出的模型邊緣保留得較好.

4　總 結(jié)

基于高階奇異值分解和全變差正則,筆者提出了利用相似塊組約束的去乘性噪聲模型,給出了數(shù)值求解方法.該模型綜合利用了光滑性、稀疏性和自相似性3種圖像先驗.與傳統(tǒng)的方法相比,新模型在有效去除噪聲和塊效應(yīng)的同時,較好地保留了圖像邊緣和紋理區(qū)域的細節(jié)信息.

[1]AUBERT G,AUJOL J.A Variational Approach to Removing Multiplicative Noise[J].SIAM Journal on Applied Mathematics,2008,68(4):925-946.

[2]JIN Z M,YANG X P.Analysis of a New Variation Model for Multiplicative Noise Removal[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications,2010,36(2):415-426.

[3]HUANG Y M,NG M K,WEN Y W.A New Total Variation Method for Multiplicative Noise Removal[J].SIAM Journal on Imaging Sciences,2009,2(1):20-40.

[4]王旭東,馮象初,霍雷剛.去除乘性噪聲的重加權(quán)各向異性全變差模型[J].自動化學(xué)報,2012,38(3):444-451. WANG Xudong,FENG Xiangchu,HUO Leigang.Iteratively Reweighted Anisotropic-TV Based Multiplicative Noise Removal Model[J].Acta Automatica Sinica,2012,38(3):444-451.

[5]王旭東,馮象初,張選德.去除乘性噪聲的迭代重加權(quán)二階正則模型[J].西安電子科技大學(xué)學(xué)報,2014,41(2):130-136. WANG Xudong,FENG Xiangchu,ZHANG Xuande.Iteratively Reweighted Second-order Regularization Based Multiplicative Noise Removal Model[J].Journal of Xidian University,2014,41(2):130-136.

[6]白鍵,馮象初.去除乘性噪聲的積分微分方程模型[J].西安電子科技大學(xué)學(xué)報,2013,40(3):132-138. BAI Jian,FENG Xiangchu.Model Based on the Integro-differential Equation for Multiplicative Noise Removal[J]. Journal of Xidian University,2013,40(3):132-138.

[7]TEUBER T,LANG A.Nonlocal Filters for Removing Multiplicative Noise[C]//Scale Space and Variational Methods: 6667.New York:Springer-Verlag,2012:56-61.

[8]DURAND S,FADILI J,NIKOLOVA M.Multiplicative Noise Removal Using L1Fidelity on Frame Coefficients[J]. Journal of Mathematical Imaging and Vision,2010,36(3):201-226.

[9]姚莉麗,馮象初,李亞峰.去除乘性噪音的主成分分析算法[J].光子學(xué)報,2011,40(7):1031-1035. YAO Lili,FENG Xiangchu,LI Yafeng.Principal Component Analysis Method for Multiplicative Noise Removal[J]. Acta Photonica Sinica,2011,40(7):1031-1035.

[10]HUANG Y M,MOISAN L,NG M K,et al.Multiplicative Noise Removal via a Learned Dictionary[J].IEEE Transactions on Image Processing,2012,21(11):4534-4543.

[11]XIE H,PIERCE L E,ULABY F T.Statistical Properties of Logarithmically Transformed Speckle[J].IEEE Transactions on Geoscience and Remote Sensing,2002,40(3):721-727.

[12]LIU C,ZHU S.A Convex Relaxation Method for Computing Exact Global Solutions for Multiplicative Noise Removal [J].Journal of Computational and Applied Mathematics,2013,238:144-155.

[13]BINI A A,BHAT M S.A Fourth-order Partial Differential Equation Model for Multiplicative Noise Removal in Images [C]//Proceedings of Emerging Trends in Communication,Control,Signal Processing&Computing Applications. Piscataway:IEEE,2013:1-5.

[14]HAN Y,XU C,BACIU G,et al.Multiplicative Noise Removal Combining a Total Variation Regularizer and a Nonconvex Regularizer[J].International Journal of Computer Mathematics,2014,91(10):2243-2259.

[15]ZHANG X D,FENG X C,WANG W W.Two-direction Nonlocal Model for Image Denoising[J].IEEE Transactions on Image Processing,2013,22(1):408-412.

[16]ZHANG X D,FENG X C,WANG W W.Two-direction Nonlocal Model for Image Interpolation[J].Science China Technological Sciences,2013,56(4):930-939.

[17]ZHANG X D,FENG X C,WANG W W.Image Denoising via 2D Dictionary Learning and Adaptive Hard Thresholding [J].Pattern Recognition Letters,2013,34(16):2110-2117.

[18]RUDIN L,OSHER S,FATEMI E.Nonlinear Total Variation Based Noise Removal Algorithms[J].Physica D,1992,60:259-268.

[19]ELAD M,AHARON M.Image Denoising via Sparse and Redundant Representation over Learned Dictionaries[J]. IEEE Transactions on Image Processing,2006,15(12):3736-3745.

[20]BUADES A,COLL B,MOREL J M.A Nonlocal Algorithm for Image Denoising[C]//Proceedings of IEEE Computer Society Conference on Computer Vision and Pattern Recognition:2.Los Alamitos:IEEE Computer Society,2005: 60-65.

[21]DABOV K,FOI A,KATKOVNIK V,et al.Image Denoising by Sparse 3D Transform-domain Collaborative Filtering [J].IEEE Transactions on Image Processing,2007,16(8):2080-2095.

[22]RAJWADE A,RANGARAJAN A,BANERJEE A.Image Denoising Using The Higher Order Singular Value Decomposition [J].IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence,2013,35(4):849-862.

[23]XIE H,PIERCE L E,ULABY F T.SAR Speckle Reduction Using Wavelet Denoising and Markov Random Field Modeling[J].IEEE Transactions on Geoscience and Remote Sensing,2002,40(10):2196-2212.

(編輯:郭 華)

Higherorder singular value decomposition-and total variation-regularized multiplicative noise removal model

HUO Leigang1,FENG Xiangchu1,WANG Xudong2,HUO Chunlei3
(1.School of Mathematics and Statistics,Xidian Univ.,Xi’an 710071,China;2.School of Computer and Information Engineering,Guangxi Teachers Education Univ.,Nanning 530023,China;3.NLPR,Institute of Automation,Chinese Academy of Sciences,Beijing 100080)

Smoothness,sparsity and self-similarity are the priors widely used in image denoising due to their importance in representing natural images.Motivated by the collaborative roles of higher order singular value decomposition and total variation regularization,a new approach that can simultaneously capture the above priors is proposed in this paper for removing the multiplicative noises.By taking advantages of local adaptiveness,sparsity and self-similarity realized by higher order singular value decomposition,the proposed approach starts with similar-patch-group-wise adaptive denoising on the logtransformed image,followed by the iterative optimization implemented by the total variation constraint which considers the prior of smoothness.Experiments demonstrate the advantages of the proposed approach in removing multiplicative noise and preserving the details near the edges and in the texture area.

higher order singular value decomposition;multiplicative noise;total variation;nonlocal filter;image denoising

O175.2;TN911.7

A

1001-2400(2016)03-0078-07

10.3969/j.issn.1001-2400.2016.03.014

2015-03-19

時間:2015-07-27

國家自然科學(xué)基金資助項目(61271294,61472303,61362029,61379030);中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費專項資金資助項目(NSIY21)

霍雷剛(1986-),男,西安電子科技大學(xué)博士研究生,E-mail:leiganghuo@163.com.

http://www.cnki.net/kcms/detail/61.1076.TN.20150727.1952.014.html