基于對稱交互熵的多屬性決策排序法

盧國祥,李冰清

(1.中南財經政法大學統(tǒng)計與數(shù)學學院,湖北武漢430073)

(2.南開大學金融學院,天津300071)

(3.南開大學經濟學院,天津300071)

基于對稱交互熵的多屬性決策排序法

盧國祥1,2,3,李冰清2

(1.中南財經政法大學統(tǒng)計與數(shù)學學院,湖北武漢430073)

(2.南開大學金融學院,天津300071)

(3.南開大學經濟學院,天津300071)

本文研究了多屬性決策的排序問題.利用信息熵理論提出了對稱交互熵概念,定義了一種新的與理想方案的貼近度,由此給出了基于對稱交互熵的排序方法.最后通過算例將新方法與傳統(tǒng)的TOPSIS法、夾角度量法和正交投影法作對比,獲得了新方法能夠更加精確地判斷方案優(yōu)劣的結果.

多屬性決策;對稱交互熵;TOPSIS法;相對貼近度

1　引言

TOPSIS法是多屬性決策分析中常用的有效方法,通過檢測被評方案與理想方案和負理想方案的距離來進行排序,具有計算簡便、評估清晰的特點.然而該方法也有不足之處:比如不同方案與理想方案和負理想方案距離相等時便無法區(qū)分優(yōu)劣,與理想方案更接近的方案可能與負理想方案也更接近[1].因此學者們對此方法的改進做了很多研究,論文[2]推廣了TOPSIS法的適用范圍并提出了夾角度量法,文獻[3]提出了基于“垂面”距離的正交投影法等,但是這些方法還是或多或少存在一些不足[4].近年來學者們注意到信息論中的熵概念,將熵和熵優(yōu)化理論應用到決策分析上:比如論文[5]提出了基于信息熵的多屬性參數(shù)系統(tǒng)決策方法,文獻[6]提出了基于相對熵的多屬性決策組合賦權法,文獻[7]運用相對熵理論提出多粒度語言信息群決策方法,文獻[8]提出了基于相對熵的多屬性決策排序法等.不過相對熵不具有對稱性,在應用中排序可能會出現(xiàn)前后不一致的情況,為克服這一問題,本文從信息論角度提出對稱交互熵的概念,結合TOPSIS法的思想定義新的方案貼近度,得到新的多屬性決策排序法.并將新方法與傳統(tǒng)的TOPSIS法、夾角度量法和正交投影法進行對比,得到新方法優(yōu)于前面的方法的結果.

2　對稱交互熵的基本概念

在信息論中,衡量系統(tǒng)差異的一個最重要概念是相對熵[9].

定義2.1離散概率分布P=(p1,p2,···,pn)和Q=(q1,q2,···,qn)之間的相對熵定義為

定義2.2對兩個系統(tǒng)

其中0≤Ai≤1,0≤Bi≤1,i=1,2,···,n,其系統(tǒng)狀態(tài)之間的差異程度可表示為

稱C(A,B)為系統(tǒng)A對B的相對熵[8].

盡管相對熵可以衡量系統(tǒng)差異,然而它并不滿足對稱性和三角不等式,因此不是兩個系統(tǒng)之間的真正距離.不過將它視為兩個系統(tǒng)的差異測度還是有其實際意義,比如相對熵C越小,A與B之間的差異程度越小,當A=B時,C=0.下面我們在保持以上性質的基礎上對其進行改進,以滿足對稱性和有界性,避免出現(xiàn)Ai或Bi→0(或1)時相對熵的值趨向于無窮大的情況.

定義2.3對兩個系統(tǒng)A={A1,A2,···,An},B={B1,B2,···,Bn},稱

為系統(tǒng)A對B的對稱交互熵.為了保證以上定義的函數(shù)在Ai或Bi=0(或1)時有意義并滿足連續(xù)性,規(guī)定

對稱交互熵BC(A,B)滿足以下性質:

定理2.4對兩個系統(tǒng)

它們的對稱交互熵BC(A,B)滿足

(1)BC(A,B)≥0,并且等號成立的充分必要條件是A=B;

(2)BC(A,B)=BC(B,A);

(3)BC(A,B)≤2n.

證由(2.3)式中相對熵的性質可知(1)成立.(2)成立可由(2.3)式的形式看出.下面證明(3).因為

3　TOPSIS法的回顧[10]

記M={1,2,···,m},N={1,2,···,n},設多屬性決策問題中有m個方案A1,A2,···, Am,n個指標B1,B2,···,Bn,令Y={yij}m×n為決策矩陣(即yij表示方案Ai在指標Bj下的初始屬性值),Z={zij}m×n為標準化決策矩陣,wj為指標Bj的權重(j∈N), X={xij}m×n為加權標準化決策矩陣.TOPSIS法的建立步驟如下:

(1)由決策矩陣Y={yij}m×n建立標準化決策矩陣Z={zij}m×n(即無量綱化):

(2)計算加權標準化決策矩陣X={xij}m×n:

(3)確定理想解X+和負理想解X-:

設T1,T2分別表示效益型指標(正向指標)和成本型指標(負向指標)的下標集合,則

(4)計算各方案與理想解和負理想解的歐氏距離:

(5)計算各方案與理想解的相對貼近度:

按照Ci從大到小的順序給所有方案Ai排序,前者優(yōu)于后者.

4　對稱交互熵排序法和主要性質

由TOPSIS法的定義可知衡量不同方案的差異所采用的是歐氏距離,但不足之處主要有:與理想解的歐氏距離更近的被評方案可能與負理想解的歐氏距離也更近,方案對應的點可能恰好落在理想解和負理想解對應的中垂線上等,這就會導致排序結果并不能反映出各被評方案的優(yōu)劣程度.因此考慮將歐氏距離替換為對稱交叉熵,使多屬性決策中的被評方案與理想方案的接近程度用對稱交叉熵來測度,這樣便可以有效克服上述的問題.下面利用各方案對應的加權標準化決策矩陣X={xij}m×n的第i行,分別與理想方案X+和負理想方案X-算對稱交互熵,然后定義一種新的貼近度,根據(jù)此貼近度將所有方案進行排序,稱這種方法為對稱交互熵排序法.

引理4.2[9](對數(shù)和不等式)對于非負數(shù)a1,a2,···,an和b1,b2,···,bn,

該引理的證明可參見文獻[9]中定理2.7.1.

證由引理4.2,有

等號成立的條件當且僅當

即xij=,故Ai=X+.同理可證≥0并有=0當且僅當Ai=X-.(1),(2)得證.

(3)由定理2.3(3)得到.

在計算過程中,由對稱性可知不需要關注X+,X-與Ai的相互順序.

定義4.4假設X+X-,則可以用Pi描述方案Ai(i∈M)關于理想方案X+的接近程度,并且Pi越大越接近理想方案X+.排序原理為

I.Pi越大,則相應的方案越好;

II.若Pi=Pj,則可用和區(qū)別Xi和Xj的優(yōu)劣,越小越好.

于是交互熵排序法的具體步驟為

(1)、(2)、(3)步與TOPSIS法的(1)、(2)、(3)步保持一致.

(4)分別由(4.1)和(4.2)式計算各方案與理想方案及負理想方案的對稱交互熵.

(5)由(4.3)式計算各方案與理想方案的相對貼近度Pi.按照Pi從大到小的順序給所有方案Ai排序,前者優(yōu)于后者.若Pi=Pj,則比較和小的對應方案優(yōu)于大的對應方案.

5　決策實例

下面把本文提出的基于對稱交互熵的排序法同傳統(tǒng)的TOPSIS法、夾角度量法和正交投影算法進行對比.

例1[2]設有決策矩陣

這里屬性B1和B2都是收益型的,即T1={1,2},屬性權向量w=(2/3,1/3).由(3.1)-(3.4)式求得加權標準化矩陣X,理想解X+和負理想解X-如下

由文獻[2]和本文第4節(jié)提出的方法可得表1.

表1:基于歐氏距離的TOPSIS法、夾角度量法和對稱交互熵排序法的計算結果

由上表可知傳統(tǒng)的TOPSIS法基于歐氏距離無法區(qū)分方案A1和A2的優(yōu)劣.而根據(jù)[2]中的夾角度量法,可得方案A2優(yōu)于A1.根據(jù)對稱交互熵排序法同樣得到方案A2優(yōu)于A1.這說明對稱交互熵排序法確實可以解決方案對應的點恰好落在理想解和負理想解對應的中垂線上的問題.

例2[4]某多屬性決策問題加權標準化后的決策矩陣如下:

其中B1為效益型指標,B2為成本型指標.可得理想解

和負理想解

分別采用基于歐氏距離的TOPSIS法、夾角度量法和正交投影法對其進行排序,評價結果如表2所示.

表2:基于歐氏距離的TOPSIS法、夾角度量法和正交投影法的計算結果

由表2的結果可以看出,采用夾角度量法時,由于A1=3A4,于是方案A1和A4與理想解和負理想解的夾角完全相同,故夾角的貼近度也完全相同.但這兩方案與理想解和負理想解的歐氏距離卻不相同,A1比A4要靠近理想解,遠離負理想解,因此采用夾角度量法大大提高了方案A4的貼近度,顯然這個結果不好.而基于歐氏距離的TOPSIS法和正交投影法也不能對這4種方案進行排序[4].最后我們采用對稱交互熵排序法來求解,評價結果如表3所示.

表3:對稱交互熵排序法的計算結果

這樣4種方案的優(yōu)劣被完全區(qū)分了,因此該方法優(yōu)于前面提到的三種方法.

6　結論

本文將信息論中的相對熵概念推廣,提出對稱交互熵概念,并由此得到了基于對稱交互熵的多屬性決策排序法,這種方法是對傳統(tǒng)的TOPSIS法的改進.通過實例計算得知該方法有效可行,針對傳統(tǒng)的TOPSIS法、夾角度量法和正交投影法不能解決的排序問題可以有效給出方案的排序.該方法以及對它的進一步研究會有很好的應用前景.

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2010 MR Subject Classification:90B50;94A15

EVALUATION METHOD BASED ON SYMMETRIC CROSS ENTROPY FOR MULTIPLE ATTRIBUTE DECISION MAKING

LU Guo-xiang1,2,3,LI Bing-qing2
(1.School of Statistics and Mathematics,Zhongnan University of Economics and Law, Wuhan 430073,China)
(2.School of Finance,Nankai University,Tianjin 300071,China)
(3.School of Economics,Nankai University,Tianjin 300071,China)

The evaluation problem for multiple attribute decision making is studied in this paper.By using the symmetric cross entropy which comes from the information entropy theory, a new relative closeness to the ideal solutions is defined.Therefore,a new evaluation method based on symmetric cross entropy for multiple attribute decision making is developed.Finally,the new method is compared with traditional TOPSIS method,angle measure evaluation method and vertical projection method using merical examples and it can obtain more precise results.

multiple attribute decision making;symmetric cross entropy;TOPSIS method; relative closeness

MR(2010)主題分類號:90B50;94A15O223;O236

A

0255-7797(2016)06-1253-08

?2015-04-15接收日期:2015-12-23

國家自然科學基金項目(71001107;71171119);博士后基金資助項目(2015M571255);中央高?；究蒲袠I(yè)務費專項資金項目(2722013JC082).

盧國祥(1982-),男,壯族,湖北武漢,講師,主要研究方向:信息論及其應用,數(shù)量經濟學.