具有垂直傳染和接觸傳染的傳染病模型的穩定性研究

傅金波,陳蘭蓀

(1.福建師范大學閩南科技學院,福建泉州362332)

(2.中國科學院數學與系統科學研究院數學研究所,北京100080)

具有垂直傳染和接觸傳染的傳染病模型的穩定性研究

傅金波1,陳蘭蓀2

(1.福建師范大學閩南科技學院,福建泉州362332)

(2.中國科學院數學與系統科學研究院數學研究所,北京100080)

本文研究了一類具有垂直傳染和接觸傳染的傳染病模型.利用常微分方程定性與穩定性方法,分析了該模型非負平衡點的存在性及其局部穩定性.同時,利用LaSalle不變性原理和通過構造適當的Lyapunov函數,獲得了平凡平衡點、無病平衡點和地方病平衡點全局漸近穩定的充分條件.結果表明當基本再生數小于等于1時,所有種群趨于滅絕;當基本再生數大于1和病毒主導再生數小于1時,病毒很快被清除;當基本再生數大于1和病毒主導再生數大于1以及滿足一定條件時,病毒持續流行并將成為一種地方病.

傳染病模型;非負平衡點;全局漸近穩定性

1　引言

生物動力系統的動力學性質歷來受到學術界的重視[1-5].然而,考慮疾病對生物種群影響的相對較少.近年來,在生物動力系統中含有疾病影響因素的傳染病模型已有了可喜的研究成果[6-12].在帶有常數輸入率的傳染病模型中,基本再生數是一個重要的閥值,當基本再生數小于1時,疾病將趨于滅絕;當基本再生數大于1時,疾病將持續存在[13-14].但在輸入率不是常數情形下的傳染病模型中,系統卻存在著后向分支現象[15].基于上述文獻的建模機理,本文用N(t)=S(t)+I(t)表示t時刻的生物種群總數,S(t)表示該種群中的易感類,I(t)表示該種群中的染病類,建立具有垂直傳染和接觸傳染的傳染病模型如下

其中r為增長率,k為環境容納量,d為自然死亡率,β為接觸的比例系數,q為染病類中新生個體未染病的比例系數0＜q＜1,1-q為染病類中新生個體的染病速率,μ為因病死亡率,并且所有參數均為正數.

由N(t)=S(t)+I(t),模型(1.1)可化為如下等價系統

易見,系統(1.2)的可行域為D={(N(t),I(t))∈R2|0≤N(t)≤k,0≤I(t)≤k}.本文主要在可行域D內研究系統(1.2)的動力學性質.

2　平衡點的存在性

系統(1.2)的非負平衡點應滿足下面的代數方程組

為著以下證明,定義基本再生數和病毒主導再生數分別為

以及如下記號

由方程組(2.1)易得如下結論.

定理2.1系統(1.2)存在平凡平衡點O(0,0);當R0＞1時,還存在無病平衡E0(N0,0).

下面討論系統(1.2)在域D內地方病平衡點的存在性.一方面,當N0,I0時,由方程組(2.1)的第一個方程得等傾線

可見,當R0＞1時,f(N)是過O(0,0)和E0(N0,0)的開口向下拋物線.

情形1若σ2＞1＞σ1或σ1＞1＞σ2,則＜0.

(I)當R0＞σ2＞1＞σ1時,直線g(N)的斜率為正數.

(II)當R0＞σ1＞1＞σ2時,直線g(N)不在第一象限,此時f(N)與g(N)沒有正交點.

情形2若σi＜1或σi＞1,i=1,2,則＞0.

(III)當R0＞1＞σi,i=1,2,時,直線g(N)的斜率為正數.

(IV)當R0＞σi＞1,i=1,2時,直線g(N)的斜率為負數.

另一方面,由f(N)=g(N)得代數方程a2N2-a1N+a0=0,其中

令

記正交點為E(N?,I?),記兩個正交點為Ωi(Ni,Ii),i=1,2.綜上分析,有如下結論.

定理2.2如果滿足下列條件

(1)R0＞σ2＞1＞σ1,βk(r-d)=2+μ[βk-(1-q)r];

(2)R0＞1＞σi,R＜1,i=1,2;

(3)R0＞σi＞1,R＜1,i=1,2;

(4)R0＞σi＞1,R＞1,{βk(r-d)}2=L,i=1,2

之一,系統(1.2)在域D內部存在一個地方病平衡點E(N?,I?).

如果滿足下列條件

(1)R0＞σ2＞1＞σ1,βk(r-d)＞2+μ[βk-(1-q)r];

(2)R0＞σi＞1,R＞1,{βk(r-d)}2＞L,i=1,2

之一,系統(1.2)在域D內部存在兩個地方病平衡點Ωi(Ni,Ii),i=1,2.

推論2.1如果R0＞σi＞1,R＞1,{βk(r-d)}2＞L,i=1,2或

成立,系統(1.2)在域D內存在一個后向分支.

3　平衡點的局部穩定性

下面討論系統(1.2)的平凡平衡點、無病平衡點和地方病平衡點局部穩定性.

定理3.1如果R0＜1(R0＞1),則系統(1.2)在域D上的平凡平衡點O(0,0)是局部穩定(不穩定).

證在點O(0,0)處,系統(1.2)的Jacobian矩陣為

特征方程為(λ-r+d)[λ-(1-q)r-(d+μ)]=0,特征值為

當R0＜1時λ1＜0,λ2＜0,平凡平衡點O(0,0)是局部穩定的;當R0＞1時,因λ1＞0,平凡平衡點O(0,0)是不穩定的.證畢.

定理3.2當R0＞1＞σi,i=1,2時,若R＞1(R＜1),則系統(1.2)在域D上的無病平衡點E0(N0,0)是局部穩定(不穩定);當R0＞σi＞1,i=1,2時,若R＜1(R＞1),則系統(1.2)在域D上的無病平衡點E0(N0,0)是局部穩定(不穩定).

證在點E0(N0,0)處,系統(1.2)的Jacobian矩陣為

特征方程為

得特征值

當R0＞1＞σi,i=1,2且R＞1時,總有

或者當R0＞σi＞1,i=1,2且R＜1時,也總有

故無病平衡點E0(N0,0)是局部穩定的;當R0＞1＞σi,i=1,2且R＜1或R0＞σi＞1,i= 1,2且R＞1時,λ2＞0無病平衡點E0(N0,0)是不穩定的.證畢.

定理3.3如果R0＞σi＞1,R＜1,i=1,2且rβ(2N?-N0)＞μ[(1-q)r-βk]或R0＞1＞σi,R＜1,i=1,2且2N?＞N0,則系統(1.2)在域D內的地方病平衡點E(N?,I?)是局部穩定的;否則,地方病平衡點E(N?,I?)是不穩定的.

證在E(N?,I?)點處,系統(1.2)的Jacobian矩陣為

特征方程為λ2+b1λ-b0=0,其中

特征值為

同時,注意y1=λ2是開口向上拋物線,y2=-b1λ+b0是直線,如果R0＞1＞σi,R＜1,i= 1,2且2N?＞N0或R0＞σi＞1,R＜1,i=1,2且rβ(2N?-N0)＞μ[(1-q)r-βk]成立,則b1＞0,b0＜0,進而特征方程具有兩個負實根或一對帶負實部的復根,系統(1.2)在域D內的地方病平衡點E(N?,I?)是局部穩定的.否則,即不滿足上述條件中任意一條,系統(1.2)在域D內的地方病平衡點E(N?,I?)是不穩定的.證畢.

4　平衡點的全局漸近穩定性

定理4.1如果R0≤1且σi＞1,i=1,2或R0≤1且σi＜1,i=1,2,則系統(1.2)在域D內的平凡平衡點O(0,0)是全局漸近穩定的.

證當R0≤1且σi＞1,i=1,2時,定義Lyapunov函數V(t)=沿著系統(1.2)的解直接計算V(t)的右上導數有

使得V＇(t)=0只有平凡平衡點O(0,0),即系統(1.2)的最大不變集是平凡平衡點O(0,0)且它是全局吸引的.根據定理3.1和LaSalle不變性原理[16],系統(1.2)在域D內的平凡平衡點O(0,0)是全局漸近穩定的.

當R0≤1且σi＜1,i=1,2,時,定義Lyapunov函數V0(t)=N(t)+I(t),沿著系統(1.2)的解直接計算V0(t)的右上導數有

類似于上述方法,可知系統(1.2)在域D內的平凡平衡點O(0,0)是全局漸近穩定的.證畢.

定理4.2如果R0＞σi＞1,R＜1,i=1,2或R0＞1＞σi,R＞1,i=1,2,則系統(1.2)在域D內的無病平衡點E0(N0,0)是全局漸近穩定的.

證將系統(1.2)改寫為等價系統

(1)當R0＞σi＞1,R＜1,i=1,2時,構造Lyapunov函數

沿著系統(4.1)的解直接計算V1(t)的右上導數有

易見{(N,I)T∈D:(t)=0}={(N0,0)},即無病平衡點E0(N0,0)為最大不變集,而且它是全局吸引的.根據定理3.2和LaSalle不變性原理[16],系統(1.2)在域D內的無病平衡點E0(N0,0)是全局漸近穩定的.

(2)當R0＞1＞σi,R＞1,i=1,2時,構造Lyapunov函數

沿著系統(4.1)的解直接計算V2(t)的右上導數有

同樣地,系統(1.2)在域D內的無病平衡點E0(N0,0)是全局漸近穩定的.證畢.

定理4.3如果(1)R0＞σi＞1,R＜1,i=1,2,rβ(2N?-N0)＞μ[(1-q)r-βk]且σi,R＜1,i=1,2,2N?＞N0且[(d+μ)-(1-q)r]+2βI?≥[βk-(1-q)r]則系統(1.2)在域D內的地方病平衡點E(N?,I?)是全局漸近穩定的.

證將系統(1.2)改寫為如下等價系統

在條件(1)下,定義Lyapunov函數

沿著系統(4.2)的解計算V3(t)的右上導數有

在條件(2)下,定義Lyapunov函數

沿著系統(4.2)的解計算V4(t)的右上導數有

其中在條件(2)下

同樣地,在條件(2)下系統(1.2)在域D內的地方病平衡點E(N?,I?)是全局漸近穩定的.

5　結論

研究結果表明:基本再生數是該系統中生物種群持續生存的閥值,病毒主導再生數是疾病在該系統中是否流行的閥值.如果滿足定理4.1的條件,則該系統中的生物種群將趨于滅絕;如果滿足定理4.2的條件,則該系統中的病毒很快將被清除;如果滿足定理4.3的條件,則該系統的易感類和染病類均將持續存在,并將趨于一組穩定的定值上,此時流行性疾病成為一種地方病.關于有兩個地方病平衡點情況不予討論,顯然它們是不穩定的.據此,在生物動力系統的流行病學分析中,要持續關注基本再生數和疾病流行的閥值,尤其是垂直傳染和接觸傳染等影響因素.

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2010 MR Subject Classification:34D20;34D23

ON THE STABILITY PROPERTY OF A EPIDEMIC MODEL WITH VERTICAL TRANSMISSION AND CONTACT TRANSMISSION

FU Jin-bo1,CHEN Lan-sun2
(1.Minnan Science and Technology Institute Fujian Normal University,Quanzhou 362332,China)
(2.Academy of Mathematics and Systems Science,Chinese Academy of Sciences, Beijing 100080,China)

In this paper,a class of epidemic model with vertical transmission and contact transmission is established.By means of qualitative method and stability method of ordinary differential equations,the model and the existence of nonnegative equilibrium point are analyzed. And by constructing proper Lyapunov function and LaSalle invariance principle,sufficient conditions of the global asymptotic stability of the trivial equilibrium point,disease-free equilibrium point and endemic equilibrium point are obtained.The results show that when the basic reproduction number is less than or equal to 1,all populations tend to be extinct;when the basic reproduction number is greater than 1 and virus dominant reproduction number is less than 1, the viruses was quickly cleared;when the basic reproduction number is greater than 1 and virus dominant reproduction number is greater than 1 and satisfy certain conditis,the viruses continue to prevail and will become a local disease.

epidemic model;nonnegative equilibrium point;global asymptotic stability

MR(2010)主題分類號:34D20;34D23O175.13

A

0255-7797(2016)06-1283-08

?2015-11-30接收日期:2016-06-28

國家自然科學基金(11371306);福建省教育廳自然科學基金(JA13370;JAT160676);福建師范大學閩南科技學院青年骨干教師重點培養對象(mkq201006).

傅金波(1978-),男,福建南安,副教授,主要研究方向:生物數學.