數學極限專題的科技創新實驗

梁齊天

【摘要】現在世界上大學非文科的一年級新生，都要學習高等數學這門課程的。而高等數學里第一個概念就是數學極限的定義，這對于學生是非常難學的，老師也感到難教，目前高中階段在教學變化率導數時，也是有意地繞過極限定義而困難的進行著，可見數學極限定義難教難學的程度。

【中圖分類號】G633.5 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2016）10-0144-03

第一課時：

教學目的：使學生初步認識極限的概念

一、事物的極限：極限就是極大限制值、極小限制值（至于為什么是這樣？可詳見本刊2016年9月期的“從事物的極限到函數的極限”一文。）

1、例如，我們行在一座橋的前面，看見一個交通警示牌，牌上寫著20t，這是什么意思呢？這是告訴機動車司機們經過橋時，機動車的車重和載物不要超過20噸重，超過了就可能引起橋的破壞性事故。20t是該橋的負荷極大限制值。

2、例如，某中學高中一年級去年招收新生的入學的分數線是500分，這是該校高中一年級新生入學的考試成績的極小限制分。

總之，含有變量的事物在某種條件下變化著，它的極大限制值或者極小限制值，就叫做該事物的極限（橫線以上的字是在教師指導下由學生填寫，以下同。）。

三、數列的極限：

（一）數列極限的定義（什么叫做數列的極限？）

仿照事物的極限得到如下：

數列極限第一種定義：數列f（n）在項數n無限制的增大時，它的極大限制值或者極小限制值就叫做數列的極限。

首先考查例題乙里數列f（n）與數1的關系：

我們從例題乙的圖形可以看到：數列f（n）隨著項數n的無限增大，也是越來越靠近數1的（你總不能說f（n）是越來越遠離數1的吧？），但是卻隔著一個大空白處。f（n）的極小限制不是1，這樣一來

然后研究數列f（n）與數3的關系：

從例題甲的情況看，數列f（n）是越來越緊靠近數3，而且是無空白的緊靠近。數3對f（n）來說，是f（n）的極小限制值，所以數3是f（n）的極限。

于是得出例題甲結論：f（n）無空白處的緊靠近于數

現在把兩個結論并排放在一起如下：

例題甲結論：f（n）無空白（無空隙）的緊靠于數

例題乙結論：f（n）有空白（有空隙）的靠近于數1

綜合上面例題甲和例題乙的無空白和有空白靠近的兩種情況對比與襯托，我們可以得到：數列極限的第二種定義是：數列f（n）在n無限制的增大的情況下，f（n）無空白（無空隙）（無縫隙）的緊靠數A，那么A就叫做f（n）的極限（記號為：f（n）=A），否則，A就不是f（n）的極限。

上述數列極限的第二種定義仍然有缺點，它不含數學式子，也不能參與數學的計算，所以還得繼續研究產生出一個新的定義。

我們再進一步研究如下：

四、f（n）無空白（無空隙）緊靠于數3，在數學上是什么意思呢？

我們在前面對照例題甲及其圖形，說過數列f（n）是無空白的緊靠數3的，那里只是直觀觀察呀，還要進一步用數學式子來驗證一下“無空白緊靠”在數學上這個純樸的概念。于是我們繼續考查上述數列f（n）與數3之間無空白緊靠近數3的現象。

以直線y=3為一條邊，任意小的長為寬度（比如：0.07為寬度）向上作一個足夠長的長方形的一個長條形，看看這個長方形區域內存在f（n）的情況。

回答：（1）龍頭項是 f（[ ]）

（2）龍身是f（[ ]） 以后各項

（3）指導學生填寫：從f[ ]項起及其以后各項等等，到數3的距離皆小于L。

（4）不管上述長方形寬度多么小，多么窄，也就是L任意小，龍頭那個項和其后各項形成的龍身結合在一起組成的無限長的長龍解，都被套在這個長條形里。它們到數3的距離皆小于L，這是多么美麗而神秘的現象。

至此，我們得到例題甲的論點是：f（n）無空白緊靠于數3f（n）的極限是3 |f（n）-3|

二、下面是考查例題乙f（n）有空白的靠近數1的情況。以數1為一條邊，寬度為L，L為任意小的正數。向上作一個長方形無限長的長條形，看看此長條形能套住f（n）的哪些項呢？

第三課時：

教學目的：兩個數列和、差、積、商的極限

一、數列極限定義的簡寫形式：

數列極限定義（常用定義）

已知數列f（n），又已知數A，L是一個任意小的正數，若數列f（n）到數A的距離不等式|f（n）-A|

六、作業（略）

請各位老師多指導和認可我的這個創意。把極限下放到初二或者高一年級是完全可行的。至于較復雜的函數的極限定義仍放在大學一年級進行。

本文第一輪實驗在皖淮北市第十中學初二（1）班于6月上旬進行。由于第一課時對于事物極限讓學生舉例，耽誤了時間，第一課時時間比較緊張。

本文第二輪實驗在皖淮北市濉溪縣小湖孜初級中學初二班于6月下旬進行，克服了第一輪的缺點，效果和可接收性皆很好。