具有四參數區間偏好序的TOPSIS群決策方法

董堅，陳春芳，溫磊，顧亞瓊

（南昌大學理學院，南昌330031）

具有四參數區間偏好序的TOPSIS群決策方法

董堅，陳春芳，溫磊，顧亞瓊

（南昌大學理學院，南昌330031）

通過放寬對三參數區間數型偏好序重心的約束條件，文章提出了一種三參數區間數型偏好序的推廣形式：四參數區間偏好序，在此基礎上研究了具有未知權重的改進TOPSIS方法。該方法的具體步驟為：首先通過限制四參數區間偏好序兩兩之間的距離總和最小，建立數學模型來確定權重向量，然后通過計算各方案與正負理想之間的距離得到改進的貼近度，進而根據各方案的貼近度得出最優方案。

四參數區間偏好序；群決策；貼近度；TOPSIS

在決策過程中，由于被判斷事物的模糊性和復雜性，決策者出于謹慎的考慮，可能會給出偏好信息是序區間[1]的形式。文獻[2]提出了序區間偏好的加權平均集結算子，通過該算子可以求出總體的序區間偏好，之后通過比較個人與總體的接近程度，提出了一種基于一致性的確定權重的方法。文獻[4]將文獻[2]中的方法推廣到了三參數區間數型偏好序[5]。然而，文獻[3]證明了文獻[2]中所求出的權重是一個與數據無關的常量，進而提出了改進的求權重方法：通過比較任意兩個序區間集，若任意兩個序區間集上的距離都盡可能小，則總體的序區間集就會有更高的一致性。

本文通過放寬對三參數區間數型偏好序重心的約束條件，提出了四參數區間偏好序，定義了四參數區間偏好序的距離，并利用文獻[3]中的方法確定權重，然后通過計算各方案與正負理想方案之間的距離，得到改進的貼近度以選擇最優方案。

1　三參數區間數型偏好序

定義1.1[5]對某一個由n方案組成的決策問題，設=[rL，rM，rU]，rL，rU∈Z+，Z+表示正整數集，且rL≤rM≤rU，則稱為三參數區間數型偏好序，其中rL和rU分別為三參數型偏好序的下限和上限，rM為表示該方案可能性最大的偏好序數。特別地，若rL=rM=rU時，則=[rL，rM，rU]退化為確定型偏好序數。

2　四參數區間偏好序

2.1四參數區間偏好序的定義

2.2四參數區間偏好序集的距離

規范化歐幾里德距離為：

推廣的規范化距離為：

其中λ＞0。

2.3四參數區間偏好序的比較

3　群決策模型

3.1問題描述

在一個由m個決策者和n個方案構成的群決策問題中，設方案集為決策者集為E= {e1，e2，…，em}，且決策者的權重向量完全未知，假設為。令表示第k個決策者對方案集X給出的四參數區間偏好集，其中為第k個決策者ek對于第i個方案xi給出的四參數區間偏好序。m個決策者對方案集X給出的四參數區間偏好序信息可用矩陣表示：記為，

3.2權重向量的確定

針對三參數區間數型偏好序，文獻[4]通過要求群體與個人一致性最大化提出了基于權重的優化模型：

用拉格朗日乘數法求解此模型可得：

其中e=(1，1，…，1)T

從而對于權重我們有：

通過上面的分析我們可知，上述模型所求的權重值是一個與數據無關常量。針對這種情況[3]，我們在新距離定義下將該方法推廣到四參數區間偏好序的情況。

然而離正理想方案最近的方案不一定同時離負理想方案最遠。若記負理想方案為x-，則負理想方案可以由下式決定：

相對貼近度RC(xi)越小，則對應的方案越優。然而Hadi-Vencheh和Mirjaberi[6]指出在某些場合下，由相對貼近度得求得的最優方案可能不會在離正理想最近的同時，又離負理想最遠。因此他們提出應該用如下的改進的貼近度，而不是用相對貼近度

從改進的貼近度ζ(xi)的表達式易知：ζ(xi)越小則方案xi越優。

4　實例分析

e1:={[2，3，4，6]，[2，2，3，4]，[3，4，4，5]，[1，2，3，4]， [1，2，2，3]，[2，3，4，5]}

e2={[2，3，3，4]，[1，2，3，4]，[2，4，5，6]，[3，4，5，6]， [1，2，3，4]，[2，3，4，6]}

e3:={[2，3，4，5]，[1，1，1，2]，[3，4，5，6]，[2，3，4，5]， [2，2，4，5]，[1，2，3，4]}.列出決策者們對于方案集X給出的四參數區間偏好序矩陣，

因為e=(1，1，1)T所以由公式可求得權重向量：

λ=(0.3478，0.3132，0.3390)T。

(3)通過得分函數及公式求出正負理想方案如下：

x+={[1，2，2，3]，[1，2，3，4]，[1，1，1，2]}

x-={[3，4，4，5]，[3，4，5，6]，[3，4，5，6]}

(4)由公式求出每個方案相對于正負理想方案的距離：

表1　方案相對于正負理想方案的相關信息

(5)通過改進的貼近度公式，求出每個方案的改進貼近度ζ(xi)。根據改進貼近度ζ(xi)對方案進行排序，ζ(xi)越小的方案越優。由表2知方案的排序為：x2?x5?x6?x1?x4?x3，因而最佳投資方案為x2。

5　結束語

首先定義了四參數區間偏好序的概念，介紹了四參數區間偏好序上的距離定義，在此基礎上提出了四參數區間偏好序上的權重確定方法，之后利用改進的T0PSIS方法，提出了一種解決群決策問題的有效方法。提出的方法計算簡潔有效，決策過程簡單易行。

[1]Fan ZP,Liu T.An Approach to Solve Group-Decision-Making Prob?lemsWith Ordinal Interval Numbers[J].Systems,Man,and Cybernet?ics,PartB:Cybernetics,IEEE Transactionson,2010,40(5).

[2]Xu ZS.Group Decision Making Model and Approach Based on Inter?val Preference Orderings[J].Computers&Industrial Engineering, 2013,64(3).

[3]Xu Y J,Wang H M,Sun H,etal.A Distance-Based Aggregation Ap?proach for Group Decision MakingWith Interval PreferenceOrderings [J].Computers&Industrial Engineering,2014,（72）.

[4]董堅,陳春芳,溫磊.基于等級偏好占優關聯系數的群決策模型[J].統計與決策,2015,(5).

[5]林健,姜永.基于三參數區間數型偏好序的群決策方法[J].山東大學學報(理學版),2011,(7).

[6]Hadi-Vencheh A,MirjaberiM.Fuzzy Inferior Ratio Method forMulti?ple Attribute Decision Making Problems[J].Information Sciences, 2014.

（責任編輯/易永生）

C934

A

1002-6487（2016）19-0042-03

江西省自然科學基金資助項目（20114BAB201007；20142BAB201007）；江西省教育廳科學研究項目（GJJ13081）；“江西省“十二五”重點學科資助項目

董堅（1991—），男，江西大余人，碩士研究生，研究方向：決策分析和統計分析。陳春芳（1971—），女，江西撫州人，博士，教授，研究方向：決策分析和統計分析。