倒立擺系統基于能量控制的起擺控制策略研究

高 皜，曹 琳，曹茂永

(1.山東省科學院 海洋儀器儀表研究所，山東 青島 266001；2.山東科技大學 電氣與自動化學院，山東 青島 266590)

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倒立擺系統基于能量控制的起擺控制策略研究

高 皜1，曹 琳1，曹茂永2

(1.山東省科學院 海洋儀器儀表研究所，山東 青島 266001；2.山東科技大學 電氣與自動化學院，山東 青島 266590)

針對直線一級小車倒立擺系統起擺階段的特點，設計基于能量控制的起擺控制器。通過引入“小車位移極限”、“小車速度極限”和“系統能量保持”的概念，對純能量控制策略進行了優化。在起擺過程中，既能保證擺桿的快速起穩擺，又能確保小車位移在有限長的范圍內。利用MATLAB對系統進行仿真分析，并運用英國Feedback公司生產的倒立擺機械實物系統進行實驗驗證。結果證明，該控制器能夠實現小車倒立擺系統的快速平穩起擺。

倒立擺；能量起擺控制優化； MATLAB仿真；實物驗證

倒立擺起擺控制策略研究是非線性系統控制領域的一個經典課題[1]。其中應用最為廣泛的啟發式繼電控制(即Bang-Bang控制)[2-3]策略非常容易實現，但具有敏感度太高的缺點[4]。?str?m等提出了一種全新的基于能量控制的起擺策略，可以被應用于無限長直軌道的情況，但只能局限在理論研究層面，并不適用于倒立擺系統的實時控制[5-10]。本文在純能量控制策略的基礎上，對小車倒立擺系統的起擺控制策略進行改進和優化，通過引入“小車位移極限”、“小車速度極限”和“系統能量保持”等概念，使其不僅能滿足系統對擺桿角度的要求，還能滿足對小車位移的限制，為后續的實物系統試驗和應用提供了新的途徑。

1 直線一級小車倒立擺系統建模

直線一級小車倒立擺作為一個欠驅動機械系統，擁有兩個自由度和一個系統輸入[5，8]，如圖1所示。在

圖1 小車倒立擺系統結構圖Fig.1 Inverted pendulum mechanical system

圖2 直線一級小車倒立擺系統數學模型示意圖Fig.2 Mathematical model of cart-pendulum system

圖3 一級直線小車倒立擺系統輸入/輸出及受力分析圖Fig.3 Input/outputs and force analysis of cart-pendulum system

圖4 小車倒立擺系統起擺/穩擺過程示意圖Fig. 4 Swing-up/stabilization controller zone of the inverted pendulum

無外力施加的狀態下，該倒立擺系統有向最低點擺動的趨勢，最低點位置是穩定的，被稱作倒吊位置，與之相反的最高點為不穩定的直立位置[6-9]。

對該系統建模之前，作如下假設：小車可視為質點；引入參數d，表征空氣阻力及摩擦帶來的阻尼衰減系數；擺桿為剛性輕質桿；驅動系統的傳動帶不可伸縮。如圖2所示，小車質量M，倒立擺質量為m，擺桿長度為l(即倒立擺質心距轉軸的距離)，小車水平位移為x，θ為擺桿偏離豎直向上方向沿順時針轉動的夾角(逆時針方向為負值)，重力加速度為g，b是小車粘滯摩擦系數。另外，將施加在小車上的力F作為系統輸入，將小車位移x和擺桿角度θ作為系統輸出。

依據上述分析，對該系統進行受力分析，如圖3所示。

在水平和豎直方向對倒立擺應用牛頓運動定律，有

(1)

其中：H為水平分量，V為豎直分量。

在水平方向對小車應用牛頓運動定律，有

(2)

考慮到擺桿質心的轉動慣量I，有

(3)

綜上所述，得到該直線一級小車倒立擺系統的的非線性動力學描述：

(4)

2 起擺控制策略研究

直線一級小車倒立擺系統的起擺控制問題可以描述為：通過外力驅動小車，在有限長的水平直軌道上往復運動，將與之相連可以自由轉動的擺桿從豎直向下的穩定位置，擺至豎直向上的不穩定平衡位置。整個起擺過程，要求快速平穩，既要盡可能縮短起擺時間，又要盡可能減小進入穩定區域的擺桿角速度，保證下一階段穩擺控制規律的平滑切換，如圖4所示。

2.1 經典起擺控制策略缺陷

基于運動邏輯的Bang-Bang起擺控制器是在小車上施加一個恒定大小的作用力，根據擺桿的起擺運動情況，改變施力的方向，驅動小車在軌道上來回運動，直到將擺桿擺到豎直向上位置，完成起擺動作[4]。這種控制策略十分直接有效，但在實際應用中，由于軌道長度的限制，該作用力參數的整定十分困難。如果該值太大，小車將會沖出軌道或者擺桿在擺到豎直向上位置的角速度太大，無法完成穩擺；如果該值太小，系統將不能得到足夠的能量，無法將擺桿擺到最高位置[6]。只有在仿真控制和實物實時控制時，對驅動力的幅值進行正確的整定，才能確保該邏輯控制器能夠逐步向倒立擺系統注入能量直到擺桿擺至豎直向上的位置。另外，該控制策略必須與另一個控制小車位移的PI控制器聯合作用，才有可能在完成起擺動作的同時，保證小車的位移在有限長的范圍內。

由Astrom 和 Furuta 提出的純能量控制策略[7]，核心思想是以對擺桿的能量控制取代對小車位移的控制，來完成起擺過程。具體來說，就是在小車上施加特定的力，為整個系統注入能量，使整個系統的機械能逐步增加，一旦達到了豎直向上位置所應具有的能量值，就意味著擺桿已經擺到了最高點，起擺過程實現。顯然，這種純能量控制策略，能夠實現起擺任務，但是只有在小車軌道長度無限或者閉合圓軌道(模擬無限長直軌道)的情況下才有效果。然而，在實際生產生活中，施加的外力大小和小車的軌道長度都必然是有限的。這就給該能量控制策略的實際應用帶來了極大的障礙。

2.2 基于能量控制的起擺控制器優化

本文基于純能量控制策略，引入“小車位移極限”、“小車速度極限”和“系統能量保持”等概念，對小車倒立擺系統的起擺控制策略進行改進和優化，使其不僅能滿足系統對擺桿角度的要求，還能滿足對小車位移的限制。

改進型的起擺能量控制策略由四部分組成：一是以純能量控制策略為基礎的Bang-Bang控制；二是小車位移極限(勢阱)；三是小車速度極限(勢阱)；四是系統能量保持，如圖5所示。

圖5 改進型整合起擺能量控制策略示意圖Fig.5 Modified energy swing-up controller

改進的能量控制策略能夠實現系統的綜合控制，不僅能限制小車位移在有限范圍內，而且整個起擺的動態過程可以調節?？赏ㄟ^整定系統的四個參數Ksu、Kcw、Kvw和Kem，調節擺桿從起擺開始直到擺到豎直向上位置所需要的擺動次數，提高控制系統的系統適應性和容錯率。

1) 改進的純能量控制策略

純能量控制策略的一大缺點是在系統機械能逐步增大到豎直向上位置應具有的能量值過程中，能量的增速會逐漸放緩，導致起擺時間較長。為克服這個缺陷，將純能量控制策略做如下改進：

(5)

2) 小車位移極限(ucart-well)

為了克服純能量控制策略只有在軌道長度無限的情況下才能有效的缺點，引入一個小車位移極限(勢阱)的概念。為此，定義一個小車位移極限方程，將小車的位移限制在有限長的軌道上。

根據倒立擺的擺動特性，小車位移控制規律可以描述為：

(6)

3) 小車速度極限(uvelocity-well)

引入小車速度極限的概念，通過始終保證控制系統回路為負反饋來滿足小車在擺桿擺動到豎直向上不穩定平衡位置時的速度要求。小車速度極限的控制規律可描述為：

(7)

4) 系統能量保持(uenergy-maintain)

為了保證起擺和穩擺兩種控制規律的順利切換，引入“系統能量保持”控制規律[10]。該控制規律能夠克服摩擦損失，保持系統機械能直到穩擺控制器產生作用效果。具體描述為：

(8)

其中：E表示系統機械能；Eup表征豎直向上不穩定平衡位置所應具有的能量值，通過整定參數能夠保證起擺和穩擺兩種控制規律的平穩過渡。

四種控制策略的聯合作用，能夠實現更加快速平穩的起擺過程，控制效果比純能量控制要更好，而且由于限制了小車位移，使得在實驗平臺上驗證控制效果成為可能。

與以往的倒立擺起擺控制策略相比，改進型的能量起擺控制器具有如下顯著優點：①在起擺模式下，系統能量注入能被精確控制，該小車速率在整個起擺過程中基本保持線性，加快了系統的瞬態響應速度；②該控制策略有明確直觀的解釋，其穩定的充分條件也合乎邏輯。驗證表明，當設定的限制條件被“突破”時，將會導致系統的不穩定；③該控制系統可以被視作一個由多個運行模式組成的混合控制器，有利于進一步實現模塊化設計，將該控制器設計思路推廣到多級倒立擺系統中；④該控制策略能夠精確控制小車的運動狀態以及擺桿的轉動狀態。

3 小車倒立擺控制系統仿真實驗和實物驗證

依據直線一級小車倒立擺系統的非線性模型，運用MATLAB中Real-TimeSimulation對起擺及穩擺控制器進行仿真，探討改進型基于能量控制的起擺控制器的控制效果。該控制系統由四大部分組成：小車倒立擺系統的非線性模型；基于能量控制的改進型起擺控制器；基于LQR設計的穩擺控制器；邏輯開關，用于在起擺和穩擺兩種控制規律間的切換。小車倒立擺實物實時控制系統，是由英國FEEDBACK公司生產的Ⅱ型設備，集成了傳感器、數模/模數轉換器和控制單元。

通過整定起擺控制器的四組參數，使擺桿分別經歷3次、4次和6次擺動，完成起擺動作。仿真實驗和實物機械系統驗證結果如圖6～8所示。

1) 經歷3次擺動完成起擺的情況

起擺控制器參數選取為：Ksu=0.65、Kcw=0.22、Kvw=0.8、Kem=0.01。

圖6 經歷3次擺動起擺的情況，仿真實驗和實物驗證結果Fig.6 Simulation and implementation results for three swings

2) 經歷4次擺動完成起擺的情況

起擺控制器參數選取為：Ksu=0.56、Kcw=0.22、Kvw=0.8、Kem=0.01。

圖7 經歷4次擺動起擺的情況，仿真實驗和實物驗證結果Fig.7 Simulation and implementation results for four swings

3)經歷6次擺動完成起擺的情況

起擺控制器參數選取為：Ksu=0.48、Kcw=0.22、Kvw=0.8、Kem=0.01。

圖6～8中，圖(a)為利用MATLAB仿真的實驗結果，圖(b)為小車倒立擺實物系統驗證結果。可以看出，實物系統起擺實驗的結果與仿真驗證的結果保持較高的一致性。然而，由于實物系統結果中含有系統噪聲，因而需要更長的時間來到達穩定狀態。噪聲主要是在對速度環節的處理過程中產生。另外在系統建模和控制器設計過程中，并沒有將全部摩擦阻力納入考慮范疇。三種情況下，理論仿真和實驗驗證均取得了一致的結果，證明了本文提出的基于能量控制的改進型起擺控制器不僅能夠實現起擺控制目標，而且可對小車的位移和擺桿的姿態進行精確控制。

圖8 經歷6次擺動起擺的情況，仿真實驗和實物驗證結果Fig.8 Simulation and implementation results for six swings

4 結 論

針對純能量控制策略的不足，通過對小車倒立擺系統起擺控制策略研究，設計了一種改進型能量控制策略。引入“小車位移極限”、“小車速度極限”和“系統能量保持”的概念，解決了擺桿快速起擺的問題，能滿足系統對于小車位移的限制。通過實物驗證，該改進型控制策略能夠有效地對小車倒立擺系統的起擺過程進行控制，通過對控制器參數的整定，不僅可以將小車位移控制在有限的距離內，而且能夠對整個起擺過程(包括起擺耗時、擺動次數、擺動趨向等)進行精確控制。

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(責任編輯：傅 游)

Swing-up Control Strategy Analysis of Inverted Pendulum Based on Energy Control

GAO Hao1, CAO Lin1, CAO Maoyong2

(1. Institute of Oceanographic Instrumentation, Shandong Academy of Sciences, Qingdao, Shandong 266001, China;2. College of Electrical Engineering and Automation, Shandong University of Science and Technology, Qingdao, Shandong 266590, China)

Based on the swing-up characteristics of the linear single inverted pendulum, a swing-up controller based on energy control was designed. By introducing the concepts of “Cart Potential Well”, “Velocity Well” and “Energy Maintenance”, the pure energy-based control strategy was optimized. The design not only ensured the quick and smooth swing-up of the pendulum rod but also the displacement of the cart within a limited length during the whole swing-up period. Then the pendulum system was simulated by using MTALAB and real-time experiments were made by using the inverted pendulum manufactured by the British Feedback company. The experimental results indicate that the proposed controller is able to achieve the quick and smooth swing-up of the inverted pendulum.

inverted pendulum; modified energy-based swing-up controller; MATLAB simulation; real-time application

2015-11-08

“十二五”國家科技支撐計劃項目(2012BAB13B04)

高 皜(1988—)，男，山東汶上人，碩士，主要從事自動控制研究與應用. 曹 琳(1988—)，女，山東青州人，碩士，主要從事自動化及監測監控技術研究，本文通信作者. E-mail: 759925933@qq.com

TP13

A

1672-3767(2016)06-0095-06