基于排隊(duì)論的艦空導(dǎo)彈殺傷概率估算*

王 韜 朱華邦

(92941部隊(duì) 葫蘆島 125001)

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基于排隊(duì)論的艦空導(dǎo)彈殺傷概率估算*

王 韜 朱華邦

(92941部隊(duì) 葫蘆島 125001)

在裝備試驗(yàn)中,武器系統(tǒng)的作戰(zhàn)效率極為重要，對(duì)其殺傷概率的研究也擺在了突出位置。文中應(yīng)用排隊(duì)論對(duì)艦空導(dǎo)彈系統(tǒng)群的殺傷概率進(jìn)行了評(píng)定，簡(jiǎn)述了排隊(duì)論的原理，介紹了系統(tǒng)群受干擾時(shí)殺傷概率的估算，并繪制了殺傷概率和突防概率曲線，最后根據(jù)曲線得出三點(diǎn)結(jié)論。

排隊(duì)論； 艦空導(dǎo)彈； 殺傷概率； 設(shè)計(jì)循環(huán)時(shí)間； 干擾

Class Number TJ761

1 引言

在艦空導(dǎo)彈武器系統(tǒng)中，由于突防飛行器進(jìn)入防空區(qū)域的時(shí)刻及艦空導(dǎo)彈設(shè)計(jì)循環(huán)時(shí)間均隨不同時(shí)期與條件而變化，因此，在某一防空區(qū)域中，若有K個(gè)導(dǎo)彈艦艇構(gòu)成一個(gè)系統(tǒng)群。每個(gè)導(dǎo)彈艦艇的射擊循環(huán)時(shí)間Tc和突防飛行器進(jìn)入防空區(qū)域的時(shí)刻都是隨機(jī)的。所以為了確定系統(tǒng)群的作戰(zhàn)效率，可以應(yīng)用排隊(duì)論(或稱隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)理論)進(jìn)行估算。在排隊(duì)論中，顧客可以看作是突防飛行器，服務(wù)機(jī)構(gòu)可以看作艦空導(dǎo)彈群，只不過(guò)以攻擊方式進(jìn)行“服務(wù)”而已。為此，在討論系統(tǒng)群的作戰(zhàn)效率之前，對(duì)排隊(duì)論作簡(jiǎn)單介紹[1～3]。

2 排隊(duì)論簡(jiǎn)介

排隊(duì)論的任何一個(gè)服務(wù)系統(tǒng)(如艦空導(dǎo)彈系統(tǒng)群)都可以抽象成三個(gè)部分來(lái)描述，即：顧客到達(dá)過(guò)程、服務(wù)機(jī)構(gòu)服務(wù)過(guò)程和服務(wù)結(jié)束離開(kāi)過(guò)程(見(jiàn)圖1)[4]。

1) 顧客到達(dá)過(guò)程

顧客到達(dá)過(guò)程又稱輸入過(guò)程，指顧客的到達(dá)規(guī)律。顧客可以是人，也可以是物，要根據(jù)討論的問(wèn)題而定，在本文中指定空中目標(biāo)(飛行器)。

到達(dá)過(guò)程一般是隨機(jī)過(guò)程。描述該過(guò)程的數(shù)量是隨機(jī)變量。例如，在時(shí)間t內(nèi)到達(dá)的顧客數(shù)為N(t)， 顧客相繼到達(dá)的時(shí)間間隔t=ti-ti-1等都是隨機(jī)變量，可以用概率、概率分布函數(shù)或分布密度來(lái)描述。

圖1 服務(wù)系統(tǒng)的組成

顧客相繼到達(dá)時(shí)間間隔通常服從負(fù)指數(shù)分布，其概率分布函數(shù)A(t)為[5～6]

A(t)=1-e-λt

(1)

式中：λ為單位時(shí)間內(nèi)到達(dá)的顧客平均數(shù)。

在時(shí)間t內(nèi)，到達(dá)K個(gè)顧客的概率PK服從泊松分布。

(2)

2) 排隊(duì)論規(guī)則

排隊(duì)規(guī)則指為到達(dá)的顧客服務(wù)的次序。一般有下列幾種情況：

(1)損失制

當(dāng)顧客到達(dá)時(shí)，若所有服務(wù)機(jī)構(gòu)均已被占用，則該顧客自動(dòng)消失，離開(kāi)服務(wù)系統(tǒng)。

(2)等待制

當(dāng)顧客到達(dá)時(shí)，若所有服務(wù)機(jī)構(gòu)均已被占用，則該顧客等待服務(wù)。常用服務(wù)方式有以下幾種:

A 先到先服務(wù)；

B 后到先服務(wù)；

C 優(yōu)先權(quán)服務(wù)；

D 隨機(jī)服務(wù)。

(3)混合制(損失制與等待制的混合)

這種情況主要發(fā)生在排隊(duì)的長(zhǎng)度、等待時(shí)間和逗留時(shí)間有限制時(shí)。如用艦空導(dǎo)彈射擊敵機(jī)，敵機(jī)飛越導(dǎo)彈射擊區(qū)為t0，若敵機(jī)飛過(guò)該區(qū)域，在時(shí)間t0內(nèi)未被擊落，就算丟失了。

3) 服務(wù)機(jī)構(gòu)

服務(wù)機(jī)構(gòu)可以是一個(gè)，也可以是多個(gè)；既可以串行，也可以并行；每次可以對(duì)一個(gè)顧客進(jìn)行服務(wù)，也可以成批進(jìn)行服務(wù)。

服務(wù)機(jī)構(gòu)可以用服務(wù)時(shí)間及其分布進(jìn)行描述。同到達(dá)時(shí)間間隔一樣，服務(wù)時(shí)間通常也服從負(fù)指數(shù)分布。其概率分布函數(shù)B(t)為[7]

B(t)=1-e-μt

(3)

式中：μ為單位時(shí)間內(nèi)服務(wù)的顧客平均數(shù)。

4) 排隊(duì)模型的符號(hào)表示方法

通常用四個(gè)符號(hào)表示不同的排隊(duì)模型，符號(hào)之間用斜線分開(kāi)，如A/B/C/K。其中，A表示到達(dá)時(shí)間間隔的分布；B表示服務(wù)時(shí)間的分布；C表示服務(wù)機(jī)構(gòu)的數(shù)量；K表示等待空間的大小，K=0表示損失制，K=∞表示等待制，K為有限正整數(shù)表示混合制。例如M/M/1/0表示該服務(wù)系統(tǒng)輸入為泊松分布的簡(jiǎn)單流，服務(wù)時(shí)間為負(fù)指數(shù)分布，服務(wù)機(jī)構(gòu)為1個(gè)，排隊(duì)規(guī)則為損失制。

3 艦空導(dǎo)彈系統(tǒng)群受干擾時(shí)殺傷概率的估算

1) 影響艦空導(dǎo)彈系統(tǒng)作戰(zhàn)能力的因素

艦空導(dǎo)彈系統(tǒng)的作戰(zhàn)能力，通常可用射擊循環(huán)時(shí)間來(lái)表示。

若用n枚導(dǎo)彈射擊一個(gè)目標(biāo)，那么射擊循環(huán)時(shí)間應(yīng)該等于射擊準(zhǔn)備時(shí)間和射擊目標(biāo)所需時(shí)間之和，即

Tc=TA+TP

(4)

式中：Tc為射擊循環(huán)時(shí)間；TA為射擊第一個(gè)目標(biāo)所需時(shí)間；TP為射擊準(zhǔn)備時(shí)間。

射擊循環(huán)時(shí)間若以對(duì)第一個(gè)目標(biāo)發(fā)射導(dǎo)彈的時(shí)間到對(duì)第二個(gè)發(fā)射導(dǎo)彈的時(shí)間計(jì)算，則射擊目標(biāo)所需時(shí)間為

TA=t1+t2+t3

(5)

式中：t1為導(dǎo)彈飛到遭遇點(diǎn)的時(shí)間；t2為對(duì)同一目標(biāo)連射時(shí)，連續(xù)發(fā)射導(dǎo)彈之間的時(shí)間間隔；t3為射擊效果檢查時(shí)間。

對(duì)于給定的導(dǎo)彈系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，時(shí)間t1同目標(biāo)離導(dǎo)彈艦艇的距離及目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)參數(shù)有關(guān)；當(dāng)只對(duì)目標(biāo)發(fā)射1枚導(dǎo)彈或齊射時(shí)t2=0。

為了對(duì)第二個(gè)目標(biāo)進(jìn)行射擊，跟蹤制導(dǎo)雷達(dá)必須發(fā)現(xiàn)和截獲第二個(gè)目標(biāo)；轉(zhuǎn)入自動(dòng)跟蹤狀態(tài)之后，尚需一定時(shí)間方能使導(dǎo)彈和發(fā)射設(shè)備指向目標(biāo)，還需一定時(shí)間檢查射擊通道的準(zhǔn)備程度。故火力轉(zhuǎn)移時(shí)間，即射擊準(zhǔn)備時(shí)間TP，可由下式確定

TP=t4+t5+t6

(6)

式中：t4為跟蹤制導(dǎo)雷達(dá)發(fā)現(xiàn)和截獲目標(biāo)的時(shí)間；t5為跟蹤制導(dǎo)雷達(dá)從截獲狀態(tài)轉(zhuǎn)入自動(dòng)跟蹤狀態(tài)的時(shí)間；t6為導(dǎo)彈和發(fā)射裝置進(jìn)入發(fā)射狀態(tài)，以及檢查射擊通道裝備程度的時(shí)間。

因此，射擊循環(huán)時(shí)間也可寫(xiě)成下列形式

Tc=t1+t2+t3+t4+t5+t6

(7)

由此可見(jiàn)，射擊循環(huán)時(shí)間決定于：導(dǎo)彈飛向遭遇點(diǎn)的距離，目標(biāo)高度及其運(yùn)動(dòng)參數(shù)，火力轉(zhuǎn)移條件及操作員的技術(shù)水平，而且它們都是隨機(jī)變量，通常用平均值表示。為了保證導(dǎo)彈能有效地射擊目標(biāo)，必須滿足下式

Tc≤Δt

(8)

式中：Δt為目標(biāo)進(jìn)入導(dǎo)彈發(fā)射區(qū)的時(shí)間間隔。

2) 艦空導(dǎo)彈武器系統(tǒng)群殺傷概率的計(jì)算

在反空襲斗爭(zhēng)中，艦空導(dǎo)彈的殺傷概率和敵飛行器的突防概率是非常重要的戰(zhàn)術(shù)參數(shù)。如果把進(jìn)入導(dǎo)彈射擊區(qū)域的突防飛行器看作到達(dá)服務(wù)系統(tǒng)的顧客，把艦空導(dǎo)彈艦艇看作服務(wù)機(jī)構(gòu)，建立起排隊(duì)系統(tǒng)的模型，就可以應(yīng)用排隊(duì)論估算艦空導(dǎo)彈的殺傷概率和突防飛行器的突防概率。

假定進(jìn)入導(dǎo)彈射擊區(qū)域飛行器的相繼到達(dá)時(shí)間間隔為負(fù)指數(shù)分布，在時(shí)間t內(nèi)有K個(gè)飛行器進(jìn)入導(dǎo)彈射擊區(qū)域的概率為泊松分布，艦空導(dǎo)彈系統(tǒng)由S個(gè)導(dǎo)彈艦艇組成，每個(gè)導(dǎo)彈艦艇的服務(wù)時(shí)間為射擊循環(huán)時(shí)間TC，服務(wù)時(shí)間為負(fù)指數(shù)分布，那么該服務(wù)系統(tǒng)可以看作輸入為泊松分布，服務(wù)時(shí)間為負(fù)指數(shù)分布的。有S個(gè)服務(wù)機(jī)構(gòu)的損失制系統(tǒng)，即M/M/S/0系統(tǒng)。損失制指飛行器進(jìn)入導(dǎo)彈射擊區(qū)域時(shí)，如S個(gè)導(dǎo)彈艦艇都在其它目標(biāo)而被占用，則飛行器穿過(guò)攻擊區(qū)，不出現(xiàn)受攻擊而引起損失的情況，即突防成功。

在這種情況下，導(dǎo)彈的殺傷概率為[8]

(9)

飛行器的突防概率

(10)

式中：μ為服務(wù)機(jī)構(gòu)的服務(wù)率，μ=1/Tc，即導(dǎo)彈射擊循環(huán)時(shí)間的倒數(shù)；λ為進(jìn)入導(dǎo)彈射擊區(qū)的飛機(jī)到達(dá)率；S為導(dǎo)彈艦艇的數(shù)目。

由以上各式看出，導(dǎo)彈殺傷概率PK和飛行器突防概率PA，均與導(dǎo)彈的射擊循環(huán)時(shí)間TC(或μ)、突防飛行器到達(dá)率λ以及導(dǎo)彈艦艇的數(shù)目S有關(guān)，當(dāng)導(dǎo)彈艦艇的數(shù)目S=0時(shí)，由于沒(méi)有導(dǎo)彈艦艇進(jìn)行攔截，所以導(dǎo)彈的殺傷概率為0，飛行器的突防概率為1。

艦空導(dǎo)彈武器系統(tǒng)的射擊效率由對(duì)目標(biāo)的射擊次數(shù)和每次的射擊效率決定。若對(duì)武器系統(tǒng)實(shí)施干擾，則將使武器系統(tǒng)的射擊效率大大降低。

在干擾條件下，制導(dǎo)系統(tǒng)的目標(biāo)信息將受到很大破壞，從而使導(dǎo)彈系統(tǒng)對(duì)目標(biāo)進(jìn)行射擊的次數(shù)和每次射擊的效率降低。目標(biāo)信息丟失的程度，可用被干擾遮蓋的空間體積(面積)與作戰(zhàn)空域的空間體積(面積)之比度量。

對(duì)于艦面搜索或目標(biāo)指示雷達(dá)來(lái)說(shuō)，在干擾條件下，目標(biāo)信息的破壞程度主要表現(xiàn)在目標(biāo)信息的丟失或信息精度的降低。從而使跟蹤制導(dǎo)雷達(dá)的激活概率降低，在出現(xiàn)假目標(biāo)時(shí)，將產(chǎn)生假目標(biāo)信息，甚至使導(dǎo)彈對(duì)假目標(biāo)進(jìn)行射擊[9]。

在干擾條件下，導(dǎo)彈武器系統(tǒng)的射擊效率，還與制導(dǎo)系統(tǒng)各個(gè)無(wú)線電環(huán)節(jié)的抗干擾能力有關(guān)。因此，當(dāng)其它條件相同時(shí)，干擾對(duì)艦空導(dǎo)彈武器系統(tǒng)射擊效率的影響，可用殺傷目標(biāo)數(shù)的數(shù)學(xué)期望相對(duì)降低程度δM來(lái)表示

(11)

式中：M1為無(wú)干擾時(shí)，導(dǎo)彈殺傷目標(biāo)的數(shù)學(xué)期望；M2為有干擾時(shí)，導(dǎo)彈殺傷目標(biāo)的數(shù)學(xué)期望。

射擊效率下降的原因主要有三點(diǎn)：

(1)制導(dǎo)誤差增加

干擾不能破壞制導(dǎo)回路的工作，但能使導(dǎo)彈的制導(dǎo)誤差增加，誤差的大小不但與干擾的樣式、強(qiáng)度有關(guān)，而且與制導(dǎo)系統(tǒng)的抗干擾能力有關(guān)。

(2)戰(zhàn)斗部效率降低

由于干擾作用使無(wú)線電引信啟動(dòng)區(qū)與動(dòng)態(tài)殺傷區(qū)的配合受到破壞，因而使戰(zhàn)斗部的效率降低。

(3)武器系統(tǒng)各個(gè)無(wú)線電環(huán)節(jié)的功能受到破壞

這是由目標(biāo)坐標(biāo)及其運(yùn)動(dòng)參數(shù)的信息中斷，導(dǎo)彈制導(dǎo)回路中斷以及無(wú)線電引信假觸發(fā)引起的。若假目標(biāo)信息傳輸?shù)街茖?dǎo)回路，則可以使目標(biāo)的殺傷概率下降到零[10]。

根據(jù)以上所述，干擾對(duì)艦空導(dǎo)彈武器系統(tǒng)射擊效率的影響，也可以用受干擾時(shí)的殺傷概率和未干擾時(shí)殺傷概率的相對(duì)值PrK來(lái)評(píng)定，即

(12)

式中：PKj為艦空導(dǎo)彈武器系統(tǒng)受干擾時(shí)的殺傷概率；PK為艦空導(dǎo)彈武器系統(tǒng)未受干擾時(shí)的殺傷概率。

假定，在某一地區(qū)，艦空導(dǎo)彈布置由K個(gè)導(dǎo)彈艦艇構(gòu)成的一個(gè)系統(tǒng)群。該系統(tǒng)群在未受對(duì)方干擾時(shí)，每個(gè)導(dǎo)彈艦艇的平均射擊時(shí)間TC=15s，目標(biāo)(干擾載機(jī))以2架/min的到達(dá)率進(jìn)入該系統(tǒng)群的防空區(qū)域。當(dāng)系統(tǒng)群受干擾時(shí)，由于系統(tǒng)反應(yīng)時(shí)間增加，平均射擊時(shí)間變?yōu)?0s，但目標(biāo)到達(dá)率不變。根據(jù)上述假定可知，系統(tǒng)群未受干擾時(shí)，μ=1/Tc=4架/min，λ=2架/min；系統(tǒng)群受干擾時(shí)，μj=2架/min，λj=λ=2架/min。將上述數(shù)據(jù)分別代入式(9)就可以求出導(dǎo)彈未受干擾時(shí)的殺傷概率PK和受干擾時(shí)的殺傷概率PKj，再將PK與PKj代入式(12)就可以求得相對(duì)殺傷概率PtK。在干擾和非干擾情況下殺傷概率和突防概率曲線如圖2所示。

圖2 殺傷概率和突防概率曲線

4 結(jié)語(yǔ)

綜上所述，由圖2可以得出下列結(jié)論：

1) 在其它條件相同時(shí)，服務(wù)機(jī)構(gòu)的服務(wù)率μ越大，導(dǎo)彈的殺傷概率PK也越大，也就是說(shuō)艦空導(dǎo)彈武器系統(tǒng)的反應(yīng)時(shí)間越短，導(dǎo)彈的殺傷概率越大。所以反應(yīng)時(shí)間是艦空導(dǎo)彈系統(tǒng)的重要戰(zhàn)術(shù)技術(shù)參數(shù)。尤其是低空、超低空導(dǎo)彈系統(tǒng)的反應(yīng)時(shí)間有時(shí)比射程還重要。因?yàn)楝F(xiàn)代低空目標(biāo)對(duì)導(dǎo)彈武器系統(tǒng)的反應(yīng)時(shí)間要求非常苛刻，一般小于10s，否則就貽誤戰(zhàn)機(jī)。因此，縮短武器系統(tǒng)反應(yīng)時(shí)間是改進(jìn)現(xiàn)代艦空導(dǎo)彈武器系統(tǒng)的重要任務(wù)之一。

2) 從干擾的觀點(diǎn)出發(fā)，干擾增加了導(dǎo)彈的反應(yīng)時(shí)間，也就是增加了導(dǎo)彈的射擊循壞時(shí)間，從而降低了殺傷概率，根據(jù)干擾條件下的導(dǎo)彈射擊循環(huán)時(shí)間，可以得到干擾條件下的殺傷概率。

3) 多個(gè)艦空導(dǎo)彈艦艇比單個(gè)的殺傷概率大，但窗口增加到一定數(shù)值后，殺傷概率的增加微乎其微。所以在配制導(dǎo)彈系統(tǒng)群時(shí)，不一定越多越好，太多了效費(fèi)比低，不經(jīng)濟(jì)。故設(shè)置艦空導(dǎo)彈艦艇時(shí)，應(yīng)考慮最優(yōu)化問(wèn)題。例如：當(dāng)進(jìn)入導(dǎo)彈射擊區(qū)的飛行器到達(dá)率λ=2，導(dǎo)彈的射擊率μ=4，導(dǎo)彈艦艇的數(shù)目S=4時(shí)，導(dǎo)彈的殺傷概率PK可達(dá)到0.945。

[1] 鄭春柏，魯小強(qiáng)，康永文，等.排隊(duì)論在地空導(dǎo)彈系統(tǒng)作戰(zhàn)評(píng)估中的應(yīng)用研究[J].艦船電子工程，2009(9)：47-49.

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Kill Probability Estimation of Ship-to-air Missile Based on Queuing Theory

WANG Tao ZHU Huabang

(No. 92941 Troops of PLA， Huludao 125001)

The operational efficiency of weapon system in the equipment test is very important, and the study of kill probability should be put into the outstanding position. In this part, the queuing theory is used to assess the kill probability of ship-to-air missile systematic group, and the principle queuing theory is described, the kill probability estimation when the systematic group get disturbed is introduced, and the kill probability curve and penetration probability curve are poted. Finally, three conclusions are drawn according to the curve.

queuing theory, ship-to-air missile, kill probability, design cycle time, disturb

2016年5月10日,

2016年6月27日

王韜，男，助理工程師，研究方向：目標(biāo)跟蹤與制導(dǎo)控制。朱華邦，男，高級(jí)工程師，研究方向：目標(biāo)跟蹤與制導(dǎo)控制。

TJ761

10.3969/j.issn.1672-9730.2016.11.008