響應面模型與混合優化算法相結合的鋸片參數優化設計

田永軍 段國林 夏曉光 張 萼

河北工業大學,天津，300130

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響應面模型與混合優化算法相結合的鋸片參數優化設計

田永軍 段國林 夏曉光 張 萼

河北工業大學,天津，300130

針對傳統算法在鋸片聲學特征優化中的局限性，提出了一種將二階響應面模型與混合算法相結合的優化設計方法。在設計區域內應用D-optimal試驗設計法抽取樣本點，分別通過顯式算法獲取鋸片聲學、應力響應以及隱式算法獲取鋸片變形量，并用試驗驗證了數值模型的準確性，然后建立了由6個變量參數所決定的鋸片的聲學、應力以及剛度的二階響應面模型；利用自適應模擬退火法和蛙跳混合算法對響應面模型進行循環逼近，獲得了設計變量影響度以及最優結果。結果表明，在保證剛度和應力許可條件下，通過有限次數值分析，經全局優化后的最佳結構可降低空載噪聲4～7 dB。數字算例表明，該方法適用于旋轉類刀具的聲學性能優化設計。

鋸片；響應面模型；混合優化算法；動態；噪聲

0 引言

鋸機噪聲按其工作狀況分為切割噪聲和空載噪聲。切割噪聲涉及諸多因素，如工件種類、切割參數等。空載噪聲由空氣動力學噪聲和主軸噪聲組成，其中空氣動力學噪聲是空載噪聲的主要成分，是鋸片旋轉時周圍空氣流動誘發刀面產生振動形成的[1-2]，并時常伴隨“嘯聲”，據Bies[2]統計，鋸切系統空載時間占用大部分工作時間(約80%)，且空載噪聲決定著鋸機噪聲的下限。隨著綠色制造業的快速發展，噪聲控制已成為刀具制造業的重要研究內容之一。因此，通過對鋸片結構進行合理的優化設計，充分挖掘其設計潛力，是降低鋸機噪聲的有效途徑。

針對鋸片振動與噪聲優化問題，諸多學者在理論和試驗上展開了研究，Cheng等[3]將鋸片基體結構設計為階梯狀，降低了空載噪聲。Chen等[4]對鋸片基體的槽孔等結構進行優化，獲取了穩定性鋸片。

國內外學者針對鋸片結構設計這一研究熱點提出了較多的方案[3-5]，在降低鋸機噪聲、提高加工性能方面取得了顯著效果。但這些研究方案給優化基體及鋸齒結構提供的嚴密的數學分析和理論依據帶來了一定的局限性。主要有兩方面原因：一方面，邊界條件大量簡化。主要以靜力載荷為邊界條件，以結構受最大應力或變形為目標函數進行優化。但鋸片高速旋轉過程行為復雜，僅依靠靜態方法難以準確描述力學、聲學響應。另一方面，數值優化中采用啟發式或梯度類算法。前者如蛙跳算法、遺傳算法，是模擬自然進化過程一種全局尋優的算法；后者如共軛梯度法、梯度下降法，優化過程中要進行大量敏度運算和梯度分析。這些算法適用于靜態結構的優化設計，而鋸片旋轉過程涉及復雜動態邊界條件，其約束函數和目標函數難以顯式表達，單獨使用這些算法需反復進行數值計算，計算量大，難以得到最優解。啟發式和梯度類相結合的混合式優化算法雖可加快求解進程，但計算量仍然巨大。

近年來，以響應面為代理模型的逼近類方法在結構的動態優化設計中逐漸得到了應用[6-9]，其本質是采用逼近近似技術對已知離散樣本點進行插值或擬合來實現對未知點響應的預測，用近似擬合數學模型來代替具有龐大自由度的有限元模型進行分析計算。Nguyen等[6]和Ren等[7]利用響應面方法分別對結構耐撞性以及散熱風扇護罩的低噪音進行優化，取得了較好的結果。

本文基于響應面模型與混合優化算法相結合的方法建立了動態旋轉鋸片聲學特征的優化設計模型。首先建立動態聲學模型，考慮復雜的載荷激勵以及聲學邊界條件，采用邊界元/有限元耦合法對鋸片的空載噪聲聲壓級進行預估并用試驗驗證了仿真模型的準確性。然后，在D-optimal試驗設計以及數值分析的基礎上，采用二階響應面法建立了以鋸片空載噪聲最小為目標函數，以滿足剛度、應力許可為約束條件的代理函數，對其使用自適應模擬退火法和蛙跳算法的混合算法進行全局尋優，研究了鋸片在空載條件下的結構參數對噪聲的影響規律，并獲取了最優鋸片結構，提供了計算效率，降低了鋸機噪聲下限。

1 多場耦合分析及試驗驗證

可靠的數值結果是優化策略實施的基礎。鋸片聲振耦合是結構振動與聲學介質波動的相互作用而產生的聲輻射問題。本文利用有限元(FEM)和邊界元(BEM)耦合方法[8-9]對鋸切系統空載噪聲進行快速求解。FEM/BEM耦合法[8-9]原理是利用FEM求解旋轉系統振動信息，將振動信息作為邊界信息經BEM計算獲取聲場輻射信息。

1.1 鋸片空載噪聲輔射模型

鋸機空載工作過程中，由電機驅動鋸片作旋轉運動，為了簡化運動和實現對其工作過程噪聲的預估，作以下假設：①鋸片空轉時主要噪聲源為鋸片振動，故將鋸片及夾盤作為研究對象；②鋸片周圍空氣流的馬赫數較小(Ma<0.3)，空氣密度變化可以忽略不計，故認為氣體不可壓縮；③氣體黏性系數為常數，忽略摩擦效應；④鋸切系統的噪聲輻射是在三維半空間中傳播的，地面作為剛性面處理(法向振動速度為0)。

旋轉系統模型如圖1所示，參數如下：鋸片直徑a=350 mm，內孔直徑b=25.4 mm，夾盤直徑為120 mm。鋸齒24個，鋸片厚度為3 mm。邊界條件如下：賦予鋸片及夾盤結構繞Z方向的轉動自由度，速度為2800 r/min，約束其他方向自由度。聲學邊界中半空間問題處理方法如下：使用*DEFINE_PLAN關鍵字將距離旋轉結構底部1 m的X-Z面作為剛性體反射面。

圖1 鋸片動態旋轉系統仿真模型

1.2 數值分析及結果

本文采用實體單元對鋸片、夾盤進行離散，得到旋轉系統振動響應的FEM模型，而BEM聲學分析不能使用實體單元計算，必須使用二維殼單元，因此可利用LS_DYNA編寫關鍵字*SET_SEGMENT(抽殼處理)在實體網格外表面生成二維單元組，即聲學模型。此時BEM網格與FEM網格在對應位置節點坐標一致，從而保證了FEM計算得到的振動速度結果作為邊界條件導入BEM聲學邊界時信息輸入的完整性、準確性。

鋸片結構的聲輻射分析，需引入關鍵字*FREQUENCY_DOMAIN_ACOUSTIC_BEM_HALF_SPACE，該關鍵字用于提取鋸片旋轉系統在半空間環境下任意時刻振動信息，通過顯式動力學方程并結合聲振耦合方程[8-9]可得到鋸片時域聲輻射信息；對于鋸片頻域特征問題的處理，該關鍵字使用FFT技術將時域信號轉換為頻域信息，并利用漢明窗函數減少計算分析過程中的頻譜能量泄漏及柵欄效應。

經多場耦合分析后將復雜激勵下計算所得的速度響應由有限元計算模型映射到邊界元模型中，可以獲取外場域任意點輻射聲壓。為驗證數值模擬準確性，通過試驗(圖2)從噪聲與振動兩方面進行對比分析。

1.鋸片及振動監測點位置 2.激光測振儀OFV505 3.麥克(距離鋸機1 m)及聲學分析工具LMS Test.lab圖2 噪聲與振動試驗設備

對比圖3發現數值計算聲壓級水平在穩定階段與試驗數據基本吻合，兩者相差15%之內，模擬值略低的原因是尚未考慮主軸噪聲等外界環境。在啟動階段由于鋸機結構間復雜耦合關系以及外界環境影響，出現“嘯聲”現象，仿真中模擬該特征比較困難。

圖3 鋸片旋轉過程聲學特性曲線

鋸片的橫向振動速度直接決定了噪聲大小以及鋸片在旋轉過程中的穩定性。圖4中提取了在穩定階段鋸片外半徑0.8R處的橫向振動速度，計算結果和試驗結果接近。由此證明耦合模型具備較高的可靠性，因此，數值模型可以保障響應面模型構造精度。

圖4 鋸片表面橫向振動速度曲線

2 響應面模型與優化算法

響應面模型和混合優化算法結合的鋸片參數優化設計法分為三部分：①利用試驗設計理論分布一定數量的鋸片樣本點并對其進行數值計算，得到響應值；②再通過這些響應值構造目標或約束函數的近似多項式響應面數學模型；③采用混合優化法對響應面模型循環逼近優化得到最優解。其中前兩部分為響應面模型的主體，響應面法是一種近似代理模型技術，通過構建顯式的近似數學模型替換原設計方法中隱式問題。

2.1 D-optimal試驗設計理論

本文采用D-optimal設計方法[10]進行試驗樣點的選取，其思想是選取的試驗點可使模型的漸進協方差矩陣的行列式最小，從而得到更可靠的參數估計。

2.2 多項式響應面模型擬合

本方案利用二階多項式方法構建響應曲面，數學模型如下[11]：

(1)

式中，xj為設計變量；β為模型回歸系數。

式(1)中，回歸系數個數N=(n+2)(n+1)/2，為了保證未知回歸系數求解的準確性，通常要求設計樣本點xi(i=1,2,…,M)個數M要大于回歸系數個數[11]。本文取樣本點個數為

M=1.5N+1

(2)

2.3 混合優化算法

自適應模擬退火(adaptive simulated annealing，ASA)算法[12]是基于Monte-Carlo迭代求解策略的一種用于解決具有多峰和非光滑性的高難度非線性優化問題的全局最優的隨機搜索算法。其本質是模擬固體退火的機理建立起的啟發式算法[11-12]，通過控制溫度的變化過程來實現大范圍的粗略搜索與局部的精細搜索，收斂速度較快。這種算法的最大困難在于難以滿足準確的收斂標準，通常解決方案是增加計算時間，以尋求全局最優解，這無疑增大了計算量。

混合優化算法是一種通過全局優化算法與基于局部梯度優化算法相結合的方法，該算法兼備兩者優點[11]，既能在響應面模型優化過程中增大全局尋優速度又易于實現。本文采用的混合優化算法是ASA與蛙跳算法，核心思想如下：利用ASA法的Metropolis判斷準則以動態的概率尋求一個較好的初始點，然后采用蛙跳算法進行局部挖掘，不僅擴大了搜索時的尋優范圍而且加速了優化進程。

3 結構聲學性能優化流程

響應面模型和混合優化法相結合的設計法，使得原有計算復雜的、具有大自由度的鋸片聲學分析模型被簡單有效的多項式代理模型代替，優化算法可直接對近似解析模型式(1)循環逼近獲取最小目標函數值。

圖5為鋸片聲學性能優化體系流程圖，步驟如下：

(1)定義變量、目標函數以及約束函數。

(2)根據D-optimal試驗設計方案，分別在鋸片靜力剛度響應模型和動態聲學響應模型的設計空間內選取樣本點。

(3)通過參數建模方式，依據步驟(2)的離散的試驗樣點數據構建靜力網格模型和動態聲學網格模型。

(4)使用Newmark法和顯式動力學法對樣本點進行計算，分別獲取靜力剛度響應模型和動態聲學、力學響應模型的響應值。

(5)分別對步驟(4)的響應值進行二階多項式響應面模型初次擬合，并建立目標函數(鋸片噪聲聲壓級)、約束條件函數(鋸片軸向位移、鋸片等效應力)響應面模型。

(6)利用混合優化算法對步驟(5)對應的響應面模型進行一次優化，并根據擬合精度準則，判斷響應面是否滿足精度要求，若不滿足則繼續循環。

圖5 優化體系流程圖

(7)根據整個優化體系的收斂標準對相鄰二次優化中的設計變量、目標/約束函數響應值進行收斂判斷。收斂準則為

|(x(k)-x(k-1))|/‖d‖=εx

(3)

|(f(k)-f(k-1))/f(k-1)|=εf

(4)

其中，x為設計參量；d為設計域長度；收斂公差εx=0.01;f為目標函數；k為迭代次數；目標函數公差εf=0.01。若滿足收斂則獲得最優解。

(8)若不滿足優化體系收斂標準，主要原因是響應曲面局部精度不足，最優解附近的試驗點較少，無法準確表達設計域真實響應，此時需對響應面模型進行修正，即通過調整設計區間，以最佳設計點作為擬合中心重新構建高精度近似模型。本文采取序列響應面方法[13]對近似模型的回歸過程進行重構，其思想如下：將設計域離散為一系列子興趣域或子信賴域，在各個子區間對響應曲面進行近似優化，優化過程中，每一個子信賴空間生成原響應面模型的一個當前近似最優設計點，新的子信賴空間以當前的最優設計點作為信賴域的中心，并通過移動、縮放等方式在設計域中連續更新，直到尋找到最佳點。如圖6所示。

(a)移動 (b)縮放 (c)移動與縮放圖6 興趣域更新方案

子信賴域更新是以第k次子信賴域的優化設計點作為第k+1次子信賴域的中心，新信賴域中第i個變量的變化范圍與收縮率λi有關，其數學關系如下[11,13]：

(5)

(6)

利用序列響應面方法不斷縮減設計空間以提高代理模型的擬合精度，通過多次對上述步驟循環，結合混合優化算法不斷搜索直至滿足步驟(7)函數的收斂準則。

4 聲學特征優化問題

本優化體系不考慮鋸片開槽結構、材料對噪聲的影響，旨在針對某一普通類型鋸片的基本結構進行優化并窮盡其設計的可能。

4.1 參數化模型

結構的參數化表示是優化體系的設計基礎，這一關鍵步驟決定了設計變量的數量。高速旋轉過程中由于鋸齒結構作用導致空氣流動復雜[1-2]，空氣流經鋸齒產生瞬變的分離流和渦流，這種分離流不斷依附于鋸片表面不僅產生明顯的壓力梯度，同時迫使鋸片持續振動，從而激發噪聲輔射，而鋸片外表面夾盤的大小對鋸片整個結構的橫向振動響應亦有明顯影響。

針對上述描述，在優化直徑為350 mm這一類型鋸片的過程中將鋸齒結構、夾盤尺寸作為設計變量(圖7)：夾盤直徑為x1，水槽深度、直徑分別為x2、x3，鋸齒間半夾角為x4，鋸齒數量為x5，鋸片厚度為x6。通過6個變量進行參數化建模即可確定完整鋸片結構。

圖7 鋸片結構設計變量示意圖

4.2 優化數學模型

優化過程中，既要充分挖掘低噪聲鋸片的設計潛能，又要確保結構安全性能，而往往優化設計中噪聲的最小化和安全性是一對矛盾，如何協調這一矛盾至關重要。

4.2.1 約束條件

鋸片優化發展趨勢是減小鋸片厚度，而過小的厚度會直接降低鋸片橫向剛度以至鋸片偏擺過大。同時，旋轉過程中鋸片的等效應力也不能超過許用應力。因此，優化的約束條件如下：①鋸片的最大靜態撓度(剛度)，撓度具體測量方式見文獻[14]；②旋轉過程中結構的最大等效應力。具體表示如下：

(7)

式中，Dmax為靜載荷條件下鋸片最大撓度；σemax為最大等效應力。

4.2.2 目標函數

式(7)中設計變量描述見表1。以鋸片高速旋轉過程聲學噪聲有效值的最小值為目標函數，數學表達式如下：

min f(X)=f(x1,x2,…,x6)

(8)

4.3 響應面模型擬合及變量影響度

鋸片聲學特征進行優化時，選擇6個設計變量，經D-optimal試驗設計法并由式(2)確定每次

表1 設計變量

迭代的樣本點數為43。將樣本確定后，分別利用靜態、動態模擬計算出各試驗樣本點的響應值，并經序列響應法通過不斷調整設計域循環逼近獲取近似響應面函數。

通過對基函數以及交叉基函項進行擬合。目標函數與設計變量關系式如下：

f(X)=2.58×109-4.2×1010x1+3.07×109x2-

3.79×109x3-9.11×105x4+5.60×105x5-

1.10×109x6-3.42×1010x1x2+2.21×1010x1x3+

5.53×106x1x4-3.64×106x1x5+2.19×1010x1x6+

5.69×109x2x3+9.17×106x2x4+1.05×105x2x5-

1.99×1010x2x6+4.29×106x3x4-1.12×107x3x5+

5.84×109x3x6-50.4x4x5+1.61×106x4x6+

(9)

表2 響應面模型精度檢驗

根據數據統計分析可得出自變量與各響應之間的貢獻程度。由圖8a可知，鋸片水槽傾斜角度與噪聲聲壓級水平負相關，即增大傾斜角度有利于降低噪聲；在一定程度上隨著鋸齒個數增大，噪聲會增大；一定范圍內夾盤的半徑增大有利于降低噪聲，其主要原因是增大夾徑比導致系統整體剛度增大從而減少振動[15]。由圖8b可知，對鋸片撓度影響最大的為鋸片厚度。由圖8c可知，水槽傾斜角以及結構厚度都對鋸片等效應力有明顯的影響。

(a)聲壓級水平

(b)鋸片撓度

(c)鋸片最大等效應力圖8 設計變量對輸出響應的影響水平

4.4 結果分析

通過模擬退火法和蛙跳法對滿足精度要求的響應面模型在約束條件下的可行域內不斷尋優即可獲取最佳值。為直觀表達擬合函數與設計變量關系，以目標函數隨設計變量x4、x5變化(圖9)為例進行分析，圖9可反映最佳的尋優區間和非可行區間，通過在此類可行域進行搜索最終可獲取滿足剛度和應力條件的低噪聲鋸片。

1.可行域 2.限制域 3.非可行域圖9 試驗樣本點聲壓級等高線二維圖

經6次迭代逼近，得到設計變量的最終優化結果(表3)，其中齒數x5取整數值。優化前后的聲壓水平時域曲線如圖10所示。由于鋸片發展趨勢之一是減小厚度，而厚度增加可以減小鋸片變形量，保持結構穩定，此時若將優化后鋸片厚度減小到0.28 mm，鋸片撓度為0.523 mm，雖超出約束條件，噪聲略有增加，但仍控制在5%范圍內。因此，通過本優化體系分析設計變量對鋸片性能的影響規律，不僅可以在全局優化過程中減少試驗次數、降低試驗成本，而且可提高低噪聲鋸片的正向開發能力。

表3 第6迭次中部分樣本變量與優化結果

圖10 優化前后鋸片空載噪聲聲壓級曲線

5 結論

(1)利用參數化建模方式，結合D-optimal采樣技術及二階多項式函數構建了基于近似模型管理的鋸片旋轉系統聲學優化設計體系，該優化方法代替傳統算法中使用啟發式算法或梯度算法中計算量龐大的目標特性計算模型，不僅減少了試驗次數，降低了試驗成本，而且在刀具聲學優化領域具有實際意義。

(2)通過對設計變量影響度的分析，得到設計變量對鋸片的聲學、變形以及應力等性能的影響規律，這對于高性能鋸片正向研發能力的提高具有指導意義。

(3)基于優化設計體系將直徑為350 mm的普通鋸片的空載噪聲降低了4～7 dB，該方案同樣適用于旋轉刀具或類似復雜機械結構的優化設計。

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(編輯 陳 勇)

Optimization Design of Low Noise Circular Saw Parameters Combining Response Surface Model with Hybrid Optimization Algorithm

Tian Yongjun Duan Guolin Xia Xiaoguang Zhang E

Hebei University of Technology,Tianjin,300130

Focusing on inherent limitations in the traditional optimization methods for structure parameters of low noise circular saw, an optimization combining response surface model with hybrid algorithm was proposed to optimize the design of dynamic rotating blades. Firstly, a set of experimental design data points were extracted by D-optimal experimental design scheme，then the points were calculated respectively by display algorithm for acoustic, stress response and implicit algorithm for deformation saw blades.Then the corresponding response surface models were set up by the points’ responses. Finally, these second-order regression models were optimized by adaptive simulated annealing and leapfrog algorithm. The results show that under the conditions of safety, by a limited number of value analysis after the optimization, the final structure may reduce the idle noise 4～7 dB.Numerical example indicates that this method is suitable for the optimization design of acoustic properties of rotating cutting tools.

circular saw； response surface model； hybrid optimization algorithm； dynamic； noise

2016-01-19

天津市自然科學基金重點資助項目(11JCZDJC23100);河北省自然科學基金資助項目(F2014202241)

TH122;TB53

10.3969/j.issn.1004-132X.2016.22.008

田永軍，男，1988年生。河北工業大學機械工程學院博士研究生。研究方向為動力學優化設計、機械振動與噪聲控制。段國林，男，1963年生。河北工業大學機械工程學院教授、博士研究生導師。夏曉光，男，1988年生。河北工業大學機械工程學院博士研究生。張 萼，女，1989年生。河北工業大學機械工程學院碩士研究生。