函數(shù)最值問題的探討

李旭華

研究性學習，是指在教師的指導下，把教學的主權(quán)交給學生，讓學生在主動、積極的學習環(huán)境中，饒有興趣地學習，成為學習的真正主人。研究性學習注重培養(yǎng)學生以研究的態(tài)度去認真觀察、分析、歸納，不斷提出新問題、新方法，發(fā)現(xiàn)事物的內(nèi)在規(guī)律，使教與學的重心不再僅僅放在獲取知識上，而轉(zhuǎn)到學會思考、學會學習上，使被動的接受式學習轉(zhuǎn)到主動探索性的學習，從而培養(yǎng)學生的提出問題、分析問題、解決問題的能力。

本節(jié)課是我校高三數(shù)學教學研討會上的一節(jié)研究課的實錄。研究的主題是如何使用一道習題培養(yǎng)學生的探索與創(chuàng)新精神，把重點放在研究解題策略的選擇上，使用的數(shù)學素材是求一類三角函數(shù)的最值問題。我校是市重點中學，但學習的水平在我區(qū)6所重點中學處在中等的位置。

1 課堂教學實錄

1.1 提出問題

教師：前段時間我們已經(jīng)研究過函數(shù)的最值問題，今天咱們來一起探討“一類三角函數(shù)的最值問題的解法”。

寫出課題：求函數(shù)y= 的最值。

1.2 解題策略的研究

教師：誰愿意將自己的方案拿出來和大家一起討論？

學生1：我用賦值法，研究他們的特殊情況，當cosx=1代入就得函數(shù)的最大值ymax=3，當cosx=-1，代入得函數(shù)的最小值ymin= 。

學生2：我認為解答題有一個完整的推理是最好的，我用拆項法求解，y=

∵-1≤cosx≤1，∴-1≤2-cosx≤3，∴ ≤y≤3

∴ymin= ，ymax=3

教師：同學們對這一問題已經(jīng)想到了兩種解法，而且各種解法的研究的思路都很清，解題過程也較簡潔，我非常贊同同學們這種勇于探索的精神。當然此題還有其它的解法，課后再去探索。

1.4 問題延拓的研究

教師：剛才這種函數(shù)的分子與分母中的正弦、余弦的系數(shù)的相等或絕對值相等，我們會解決了，如果其系數(shù)不同又如何研？例如

1.4.1 啟示與探索

求函數(shù)y= 的最值

學生3：只要認真審題，把上面的各種方法對照一下，哪些適合，哪些不適合，還是可以解決的。

學生4：有界性可以做，求導法可以，挽元判別式法可以，利用解析幾何的斜率即數(shù)形結(jié)合可以解決。

教師：有沒有同學想到數(shù)形結(jié)合？

學生5：我還沒有完全研究出來，不過我已經(jīng)有了思路，令y1=3sinx，x1=2cosx，則得 =1，則視為橢圓上點A（cosx，sinx）與定點B（3，-10）的連成的斜率的最大（小）值，最值在直線AB和橢圓相切時取得。

1.4.2 進一步探究

教師：如果將sinx，cosx的系數(shù)為任意實數(shù)，求函數(shù)y= 的最值，大家能研究其解法？

學生15：現(xiàn)在我完全可以了。（具體過程略）

1.4.3 研究與推廣

教師：分子，分母中sinx與cosx的次數(shù)，剛才給出都是一次的解法，大家研究得都很好，如果其次數(shù)一個是一次，另一個二次又如何？或兩個都是二次的，其最值又如何？

例如：求y= 的最值，或y= 的最值，或求y= 的最值。

教師：這節(jié)課同學們都展示了自己的研究成果，都非常精彩，有的方法是教師也沒有想到的，說明了同學們能將三角知識與其它數(shù)學知識有機地結(jié)合在一起解決的實際問題，提高學數(shù)學、用數(shù)學的能力。

2 課后的反思

2.1 主題突出

一個有研究價值的問題是開展研究性學習的前提和保證。我們把學生的自主研究為本節(jié)課的主題。研究的內(nèi)容是一道平凡習題，一類三角函數(shù)的最值問題的解法，而是把重點放在研究解題的思路和研究解題的策略的制定上，在教師提出問題之后，要求學生通過分析，自己制定研究解題方案。

本節(jié)課共劃分為4個環(huán)節(jié)，學生的研究活動始終貫穿于課堂教學的全過程，深入到每一個環(huán)節(jié)之中，重點體現(xiàn)學生的獨立自主學習與合作學習相結(jié)合，以課上幾個同學的發(fā)言來看，不僅解題方法不盡相同，而且研究的方向有許多不相同。這樣的學生學習活動，無論是獨立思考還是合作學習，就成了本節(jié)課教學活動的重點，教師始終處在引導的地位，教師的作用發(fā)揮得恰到好處。

2.2 研究的目標明確

從教學內(nèi)容看，課上雖然只重點研究y= 最值問題的解法，但學生研究各種解法后已經(jīng)有了深刻的認識，能從多角度多方位的思考，探究，從這個角度講，本節(jié)課的教學內(nèi)容豐富，容量大，結(jié)構(gòu)性強。

我們把教學目標劃分為三個層次：知識——方法——能力。數(shù)學課的教學應以數(shù)學知識為載體，以數(shù)學思想方法為核心，以提高學生的能力和素質(zhì)為目的，對一節(jié)研究課的評價，重點不在于所學知識內(nèi)容學習和掌握的程度，而是學生從中學到了哪些思考和解決問題的方法和策略。

2.3 能達到研究解題方法的實質(zhì)。

這節(jié)課作為教師和學生均浸在發(fā)現(xiàn)問題，解決問題的喜悅中，師生間的配合非常默契。從教學的角度看，復習了求函數(shù)最值的幾種辦法，復習了導數(shù)的知識，解析幾何，不等式等知識。涉及了數(shù)學中的函數(shù)的思想，方程的思想，轉(zhuǎn)化和化歸的思想，挽元，判別式等思想方法。能從多角度多層次展開解題策略，學有所得。

學生參與的激情與師生共同探討的樂趣深深地感染了我，我覺得研究性學習是調(diào)動學生興趣的一種有效手段。在講授新課時，多作一些引入鋪墊，與學生一道認真研究新概念、新定理，了解其背景，特征。研究性學習的今天，作為教師，只有不斷學習，不斷思考，才能將學生引入美好的明天。