初探高中學生數學思維障礙的成因及突破

張金云

摘要：如何減輕學生學習數學的負擔？如何提高我們高中數學教學的實效性？本文通過對高中學生數學思維障礙的成因及突破方法的分析，以起到拋磚引玉的作用。

關鍵詞：高中；數學；思維；障礙；突破

思維是人腦對客觀現(xiàn)實的概括和間接的反映。高中學生的數學思維的形成是建立在對高中數學基本概念、定理、公式理解的基礎上的；發(fā)展高中學生數學思維最有效的方法是通過解決問題來實現(xiàn)的。然而，在學習高中數學過程中，我們經常聽到學生反映上課聽老師講課，聽得很“明白”，但到自己解題時，總感到困難重重，無從入手。事實上，有不少問題的解答，并不是因為這些問題的解答太難以致學生無法解決，而是學生的數學思維存在著障礙。這種思維障礙，有的是來自于教學中的疏漏，而更多來自于學生自身非科學的知識結構和思維模式。因此，研究高中學生的數學思維障礙對于增強高中生數學教學的實效性意義重大。

一、高中學生數學思維障礙的形成原因

在數學課程中，個體的學習總是要通過已知的內部認知結構，對“從外到內”的輸入信息進行整理加工，以一種易于掌握的形式加以儲存，也就是說學生能從原有的知識結構中提取最有效的舊知識來吸納新知識，即找到新舊知識的“媒介點”，這樣，新舊知識在學生的頭腦中發(fā)生積極的相互作用和聯(lián)系，導致原有知識結構的不斷分化和重新組合，使學生獲得新知識。但是這個過程不可能都一次性成功。一方面，如果在教學過程中，教師總是按自己的思路或知識邏輯進行灌輸式教學，則到學生自己去解決問題時往往會感到無所適從；另一方面，當新的知識與學生原有的知識結構不相符時或者新舊知識中間缺乏必要的“媒介點”時，這些新知識就會被排斥或經“校正”后吸收。因此，如果教師的教學脫離學生的實際；如果學生在學習高中數學過程中，其新舊數學知識不能順利“交接”，那么這時就勢必會造成學生對所學知識認知上的不足、理解上的偏頗。

二、高中數學思維障礙的具體表現(xiàn)

作為主體的學生的思維習慣、方法也都有所區(qū)別，高中數學思維障礙的表現(xiàn)各異，具體的可以概括為：

1.數學思維的膚淺性：由于學生在學習數學的過程中，對一些數學概念或數學原理的發(fā)生、發(fā)展過程沒有深刻的去理解，一般的學生僅僅停留在表象的概括水平上，不能脫離具體表象而形成抽象的概念，自然也無法擺脫局部事實的片面性而把握事物的本質。由此而產生的后果：1〉學生在分析和解決數學問題時，往往只順著事物的發(fā)展過程去思考問題，注重由因到果的思維習慣，不注重變換思維的方式，缺乏沿著多方面去探索解決問題的途徑和方法。例如在課堂上我曾要求學生證明：如| a |≤1，| b |≤1，則 。讓學生思考片刻后提問，有相當一部分的同學是通過三角代換來證明的（設a=cosα，b=sinα），理由是| a |≤1，

| b |≤1（事后統(tǒng)計這樣的同學占到近20%）。這恰好反映了學生在思維上的膚淺，把兩個毫不相干的量（a，b）建立了具體的聯(lián)系。2〉缺乏足夠的抽象思維能力，學生往往善于處理一些直觀的或熟悉的數學問題，而對那些不具體的、抽象的數學問題常常不能抓住其本質，轉化為已知的數學模型或過程去分析解決。

例：已知實數x、y滿足 ，則點P（x，y）所對應的軌跡為（ ）（A）圓（B）橢圓（C）雙曲線（D）拋物線。在復習圓錐曲線時，我拿出這個問題后，學生一著手就簡化方程，化簡了半天還看不出結果就再找自己運算中的錯誤（懷疑自己算錯），而不去仔細研究此式的結構 進而可以看出點P到點（1，3）及直線x+y+1=0的距離相等，從而其軌跡為拋物線。

2.數學思維的差異性：由于每個學生的數學基礎不盡相同，其思維方式也各有特點，因此不同的學生對于同一數學問題的認識、感受也不會完全相同，從而導致學生對數學知識理解的偏頗。這樣，學生在解決數學問題時，一方面不大注意挖掘所研究問題中的隱含條件，抓不住問題中的確定條件，影響問題的解決。如非負實數x，y滿足x+2y=1，求x2+y2的最大、最小值。在解決這個問題時，如對x、y的范圍沒有足夠的認識（0≤x≤1，0≤y≤1/2），那么就容易產生錯誤。另一方面學生不知道用所學的數學概念、方法為依據進行分析推理，對一些問題中的結論缺乏多角度的分析和判斷，缺乏對自我思維進程的調控，從而造成障礙。如函數y= f（x）滿足f（2+x）=f（2-x）對任意實數x都成立，證明函數y=f（x）的圖象關于直線x=2對稱.對于這個問題，一些基礎好的同學都不會做，我就動員學生看書，在函數這一章節(jié)中找相關的內容看，待看完奇、偶函數、反函數與原函數的圖象對稱性之后，學生也就能較順利的解決這一問題了。

3.數學思維定勢的消極性：由于高中學生已經有相當豐富的解題經驗，因此，有些學生往往對自己的某些想法深信不疑，很難使其放棄一些陳舊的解題經驗，思維陷入僵化狀態(tài)，不能根據新的問題的特點作出靈活的反應，常常阻抑更合理有效的思維甚至造成歪曲的認識。如：z∈c，則復數方程 所表示的軌跡是什么？可能會有不少學生不假思索的回答是橢圓，理由是根據橢圓的定義。又如剛學立體幾何時，一提到兩直線垂直，學生馬上意識到這兩直線必相交，從而造成錯誤的認識。

由此可見，學生數學思維障礙的形成，不僅不利于學生數學思維的進一步發(fā)展，而且也不利于學生解決數學問題能力的提高。所以，在平時的數學教學中注重突破學生的數學思維障礙就顯得尤為重要。

三、高中學生數學思維障礙的突破

1.在高中數學起始教學中，教師在講解新知識時，要嚴格遵循學生認知發(fā)展的階段性特點，照顧到學生的個性差異，發(fā)展學生的主動精神；同時要培養(yǎng)學生學習數學的興趣，盡量預防學生思維障礙的產生。要針對不同學生的實際情況，因材施教，分別給他們提出新目標，使學生有一種“跳一跳，就能摸到桃”的感覺，提高學習的信心。

例：高一新生入校后，一般我們都要復習二次函數的內容，而二次函數中最大、最小值尤其是含參數的二次函數的最大、小值的求法學生普遍感到比較困難，為此我作了如下題型設計，學生普遍（包括基礎差的學生）情緒亢奮，思維始終保持活躍。設計如下：

1〉求出下列函數在x∈[0，3]時的最大、最小值：（1）y=（x-1）2+1，（2）y=（x+1）2+1，（3）y=（x-4）2+1

2〉求函數y=x2-2ax+a2+2，x∈[0，3]時的最小值。

3〉求函數y=x2-2x+2，x∈[t，t+1]的最小值。

上述設計層層遞進，每做完一題，適時指出解決這類問題的要點，大大地調動了學生學習的積極性，提高了課堂效率。

2.重視數學思想方法的教學，指導學生提高數學意識。數學意識是學生在解決數學問題時對自身行為的選擇，它既不是對基礎知識的具體應用，也不是對應用能力的評價，數學意識是指學生在面對數學問題時該做什么及怎么做，至于做得好壞，當屬技能問題，有時一些技能問題不是學生不懂，而是不知怎么做才合理，有的學生面對數學問題，首先想到的是套那個公式，模仿那道做過的題目求解，對沒見過或背景稍微陌生一點的題型便無從下手，無法解決，這是數學意識落后的表現(xiàn)。數學教學中，在強調基礎知識的準確性、規(guī)范性、熟練程度的同時，我們應該加強數學意識教學，指導學生以意識帶動雙基，將數學意識滲透到具體問題之中。如：設x2+y2=25，求u= 的取值范圍。若采用常規(guī)的解題思路，μ的取值范圍不大容易求，但適當對u進行變形： 轉而構造幾何圖形容易求得u∈[6，6 ]，這里對u的適當變形實際上是數學的轉換意識在起作用。因此，在數學教學中只有加強數學意識的教學，如“因果轉化意識”“類比轉化意識”等的教學，才能使學生面對數學問題得心應手、從容作答。所以，提高學生的數學意識是突破學生數學思維障礙的一個重要環(huán)節(jié)。

3.誘導學生暴露其原有的思維框架，消除思維定勢的消極作用。在高中數學教學中，我們不僅僅是傳授數學知識，培養(yǎng)學生的思維能力也應是我們的教學活動中相當重要的一部分。而誘導學生暴露其原有的思維框架，包括結論、例證、推論等對于突破學生的數學思維障礙會起到極其重要的作用。

例如：在學習了“函數的奇偶性”后，學生在判斷函數的奇偶性時常忽視定義域問題，為此我們可設計如下問題：判斷函數 在區(qū)間[2 ―6，2a]上的奇偶性。不少學生由f（―x）=―f（x）立即得到f（x）為奇函數。教師設問：①區(qū)間[2 ―6，2a]有什么意義？②y=x2一定是偶函數嗎？通過對這兩個問題的思考學生意識到函數 只有在a=2或a=1即定義域關于原點對稱時才是奇函數。

使學生暴露觀點的方法很多。例如，教師可以與學生談心的方法，可以用精心設計的診斷性題目，事先了解學生可能產生的錯誤想法，要運用延遲評價的原則，即待所有學生的觀點充分暴露后，再提出矛盾，以免暴露不完全，解決不徹底。有時也可以設置疑難，展開討論，疑難問題引人深思，選擇學生不易理解的概念，不能正確運用的知識或容易混淆的問題讓學生討論，從錯誤中引出正確的結論，這樣學生的印象特別深刻。而且通過暴露學生的思維過程，能消除消極的思維定勢在解題中的影響。當然，為了消除學生在思維活動中只會“按部就班”的傾向，在教學中還應鼓勵學生進行求異思維活動，培養(yǎng)學生善于思考、獨立思考的方法，不滿足于用常規(guī)方法取得正確答案，而是多嘗試、探索最簡單、最好的方法解決問題的習慣，發(fā)展思維的創(chuàng)造性也是突破學生思維障礙的一條有效途徑。