一類超橢圓曲線上的有理點

2016-12-15 03:14:26楊仕椿湯建鋼

浙江大學學報(理學版) 2016年6期

楊仕椿, 湯建鋼

(1. 阿壩師范學院數學與財經系, 四川汶川 623000； 2. 伊犁師范學院數學與統計學院, 新疆伊寧 835000)

一類超橢圓曲線上的有理點

楊仕椿1,2, 湯建鋼2*

(1. 阿壩師范學院數學與財經系, 四川汶川 623000； 2. 伊犁師范學院數學與統計學院, 新疆伊寧 835000)

設p為素數,r≥0是整數.利用廣義Fermat方程的深刻結論證明了：若3≤q<100,q≠31,則當p≥5時,超橢圓曲線yp=x(x+qr)上僅有平凡的有理點y=0；當q=5,11,23,29,41,47,59,83時,給出了該超橢圓曲線所有的有理點(x,y).特別地,當q=3且r=1時,證明了超橢圓曲線yp=x(x+3)僅在p=2時有非平凡的有理點(x,y),并給出了此時所有的非平凡有理點.

有理點;超橢圓曲線;廣義Fermat方程

0 引言

設x≥1,l≥2,k≥2,0≤d1<…

yk=(x+d1)…(x+dl)

(1)

有理點的研究引人注目[1-7].1975年,ERD?S等[2]首先證明了超橢圓曲線(1)在dl=l時沒有整點.隨后,SANDER[3]，LAKHAL等[4],SARADHA等[5-6]以及BENNETT[7]均對超橢圓曲線(1)進行了深入細致的探討和研究,獲得了一系列結果.

當l較小時,曲線(1)上的有理點研究似乎會變得困難一些.SANDER[3]、LAKHAL等[4]分別研究了當l≤5時方程(1)的情形.2004年,BENNETT[7]獲得了當l=3,4,5時方程(1)的大量整數解.最近,利用Fermat方程以及廣義Fermat方程[8-9]等相關方程的深刻結論，沈忠燕等[10-11]求出了曲線yk=x(x+2),yk=x(x+2)(x+3)，yk=x(x+1)(x+3),以及曲線yk=x(x+2m)上所有的有理點,任霄等[12]求出了曲線yk=x(x+1)(x+3)(x+4)上當k≥3,k≠4時的所有有理點.

本文將運用沈忠燕等[10-11]的思路,利用廣義Fermat方程的相關結論,考慮超橢圓曲線

yp=x(x+qr)

(2)

上的有理點,其中p,q均為素數,r為非負整數.對滿足3≤q<100的素數,以及q∈{5,11,23,29,41,47,59,83}和q=3且r=1的情形分別進行研究,獲得了一些相應的結論.

1 引理

引理1 令L和p均為素數,r為整數且3≤L<100,p≥5,0

xp+Lryp=zp

(3)

除L=31外無非零整數解(x,y,z).

證明見文獻[13]中的定理15.5.3.

引理2 若p均為素數,且p≥11,0

xp+31ryp=zp

(4)

無非零整數解(x,y,z).

證明見文獻[9]定理1.

引理3 若p均為素數,且p≡2,5(mod 9),則方程

x3+y3+cz3=0

(5)

在c=1,3,p,p2時(除c=2時的非零整數解(x,y,z)=(1,1,-1)外)，無非零整數解(x,y,z).

證明見文獻[14]定理6.4.17.

2 主要結論及證明

定理1 設q為素數,且3≤q<100,q≠31,則當p≥5時,超橢圓曲線(2)上僅有平凡有理點y=0.若q=31,p≥11,則超橢圓曲線(2)上僅有平凡有理點y=0.

cpb2=dpa(a+qrb).

(6)

由于gcd(a,b)=gcd(c,d)=1,則gcd(b,a+qrb)=gcd(cp,dp)=1,因此,b2|dp且dp|b2,則b2=dp,于是方程(6)可化簡為

cp=a(a+qrb), b2=dp.

(7)

令gcd(a,a+qrb)=gcd(a,qr)=qδ,顯然0≤δ≤r.由方程(7)可得,當p≥3時,存在互素的整數x1,z1以及整數y1,k,使得

(8)

且

其中，當δ=0時,k=0,當δ>0時,k≥0.

若δ=0,令r=pl+s,0≤s

(9)

由引理1,可得當p≥5時,除q=31外,方程(9)無非零整數解(x2,y2,z2).若q=31,p≥11,由引理2,可得此時方程(9)也無非零整數解.因此,x1=y1=0,即a=c=0,代入式(2)，可得y=0.

若0<δ≤r,且pk-δ>0,令r=pl+s,0≤s

(10)

定理1得證.

定理2 設q∈{5,11,23,29,41,47,59,83},則超橢圓曲線(2)在p≥3時僅有平凡有理點y=0,在p=2時曲線(2)的所有有理點(x,y)滿足

其中c1,c2為整數,且c1≠±c2.

證明由定理1可知,如果q∈{5,11,23,29,41,47,59,83},則超橢圓曲線(2)在p≥5時僅有平凡有理點y=0.

當p=3時,令r=3l+s,0≤s<3,l,s為整數,由方程(8),可得

(11)

其中0≤δ≤r,且當δ=0時,k=0,當δ>0時,k≥0.若δ=0,由于q≡2,5(mod 9),則由引理3，可得該方程沒有非零整數解(x,y,z).若0<δ≤r,則采用與定理1類似的討論方法,通過比較方程兩邊q的指數,利用引理3,同理可得方程(11)無非零整數解.

定理2得證.

采用與定理1、2類似的證明方法,利用引理1以及引理3中c=3的結論,同理可得:

3 問題

問題1 設p為素數,則超橢圓曲線yp=x(x+9)僅在p=2,3時有非平凡的有理點(x,y)?

問題2 設素數p≥3,則超橢圓曲線yp=x(x+14)僅在p=5時有非平凡的有理點(x,y)=(2,2)?

問題3 設p為素數,a為任意整數,則超橢圓曲線yp=x(x+a)上有哪些非平凡的有理點(x,y)?

以上問題有待進一步探索！

作者衷心感謝審稿專家的寶貴建議!

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YANG Shichun1,2, TANG Jiangang2

(1.DepartmentofMathematicsandFinance,AbaTeachersUniversity,Wenchuan623000,SichuanProvince,China; 2.CollegeofMathematicsandStatistics,YiliNormalUniversity,Yinning835000,theXinjiangUygurAutonomousRegion,China)

Rational points on a class of super elliptic curve. Journal of Zhejiang University(Science Edition), 2016,43(6):676-678

Letpbe a prime, andr≥0 be a integer. Using the deeply result of generalized Fermat equation, we prove that if 3≤q<100 andq≠31, then the superelliptic curveyp=x(x+qr) has only ordinary rational pointy=0 whenp≥5. Ifq=5,11,23,29,41,47,59,83, we give all of the rational points (x,y) in the superelliptic curve. Furthermore, ifq=3 andr=1, the superelliptic curveyp=x(x+3) has a non-trivial rational point (x,y) only whenp=2.

rational point; super elliptic curve; generalized Fermat equation