基于Hamilton體系的加載邊簡支矩形薄板穩定性分析

楊洪瀾，趙亞榮，鄭俊，周濤

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基于Hamilton體系的加載邊簡支矩形薄板穩定性分析

楊洪瀾1，趙亞榮2，鄭俊3，周濤1

（1. 齊齊哈爾大學 機電工程學院，黑龍江 齊齊哈爾 161006；2. 長春迪瑞醫療科技股份有限公司，吉林 長春 130000；3. 江蘇大學 能源與動力工程學院，江蘇 鎮江 212013）

在板微彎曲最小勢能變分原理的基礎上，選用狀態變量和對偶變量，導向一般變分原理．經過變分運算，得出全狀態變量表示的微分方程組．采用分離變量法得到本征值方程，給出了本征值方程的解，導出加載邊簡支矩形薄板撓度的級數表達式．可以根據各種邊界條件建立板穩定性問題方程．

Hamilton體系；彈性薄板；穩定性；分離變量法

近年來，Hamilton體系成為一個重要研究領域．鐘萬勰教授[1]首先把Hamilton體系下的對偶變量方法引入到彈性力學問題中，該方法的核心在于方程的正則化，將歐氏空間問題轉化到辛空間．文獻[2]揭示了多門力學學科具有辛對偶變量體系這一共同數學基礎，指出保守體系的各種近似分析皆應保辛．姚偉岸[3]等研究了薄板彎曲問題的分離變量及辛本征函數展開的直接解析法．鐘陽[4]在Hamilton體系下，利用辛幾何方法給出了四邊固支矩形薄板自由振動問題的解析解．胡志強[5]將Hamilton體系引入到比例邊界有限元方法中，得到了邊界剛度陣所滿足的黎卡提方程，采用精細積分等方法予以求解．鮑四元[6]建立了Mindlin的Hamilton正則方程，采用直接解法得出了對邊簡支矩形板彎曲問題的解析解．李俊永[7]等通過在Hellinger-Reisser廣義勢能中引入應變的非線性項，計入剪切變形的影響，導出了Hamilton體系下的屈曲基本方程．但在求解臨界載荷時，仍假設一個屈曲函數，將其代入屈曲基本方程．可以看出，Hamilton體系在彈性力學的各個課題中取得了較好的應用．自從鐘萬勰教授在文獻[1]中指出，彈性力學新體系在彈性穩定性方面也可以有所發揮以來，這方面的研究成果很多．本文通過在能量泛函中引入拉格朗日乘子以及全狀態變量，經過變分運算導向Hamilton體系，用分離變量法得到對邊簡支板撓度函數的級數表達式．然后通過邊界條件確定臨界載荷．與傳統方法相比，本文方法不必事先假定撓度函數，因而富于理性．

1 單向受壓矩形薄板穩定性方程在Hamilton體系中的表示

加載邊簡支矩形薄板的力學簡圖見圖1．

圖1　加載邊簡支矩形板受力簡圖

相對于基本平衡狀態（平面問題），微彎狀態的應變能增量是

2 用分離變量法導出受壓薄板微屈的撓度的表達式

代入式（5），得

化簡式（10），得

式（11）開方，得

將式（13）代入式（12），得

于是得

3 加載邊簡支的矩形板穩定問題的解

其中

這里

將式（25）代入式（23）的第1式，得

解出

進一步求臨界載荷的討論可見文獻[8-9]．應用公式（19）還可求其它約束條件，如加載邊簡支對邊都固支的矩形薄板的臨界載荷[10]．

4 結束語

在板微彎狀態應變能中引入拉格朗日乘子，得到全狀態變量及一般的變分原理．經過變分運算得到哈密頓對偶方程，采用分離變量法得到了撓度表達式的通項．通過求解加載邊和非加載邊都簡支的矩形薄板臨界載荷的算例，闡明了Hamilton方法求解薄板穩定性問題的過程．

[1] 鐘萬勰．彈性力學求解新體系[M]．大連：大連理工大學出版社，1995

[2] 鐘萬勰．應用力學的辛數學方法[M]．北京：高等教育出版社，2006

[3] 姚偉岸，鐘萬勰．辛彈性力學[M]．北京：高等教育出版社，2002

[4] 鐘陽，李銳，田斌．四邊固支矩形薄板自由振動的哈密頓解析解[J]．應用力學學報，2011，28（4）：323-328

[5] 胡志強，林皋，王毅，等．基于Hamilton體系的彈性力學問題的比例邊界有限元方法[J]．計算力學學報，2011，28（4）：510-516

[6] 鮑四元，鄧子晨．Mindlin 中厚板的辛求解方法[J]．固體力學學報，2005，26（1）：102-106

[7] 李俊永，呂和祥．彈性力學Hamilton體系下的穩定問題[J]．工程力學學報，2007，24（8）：81-85

[8] 黃克智．板殼理論[M]．北京：清華大學出版社，1987

[9] 徐芝綸．彈性力學[M]．北京：高等教育出版社，2006

[10] 胡海昌．彈性力學的變分原理及其應用[M]．北京：科學出版社，1981

Stability analysis of simply supported rectangular thin plate for loaded side based upon Hamilton system

YANG Hong-lan1，ZHAO Ya-rong2，ZHENG Jun3，ZHOU Tao1

（1. School of Mechanical and Electrical Engineering，Qiqihar University，Qiqihar 161006，China；2. Changchun Dirui Medical Technology Co.，Ltd，Changchun 130000，China；3. School of Energy and Power Engineering，Jiangsu University，Zhenjiang 212013，China）

The variational principle for the micro bending plate was derived through the principle of the minimum potential energy with the state variables and dual variables．The differential sate equation set，was then obtained from the variational equation of the generalized functional．The characteristic equation of the equation set was derived by the method of separation of variables，which yields the series solution of the deflection of the thin square plate．Other stability problems of the plate could also be modeled for under different boundary conditions．

Hamilton system；elastic thin plate；stability；separation variable method

1007-9831（2016）11-0036-05

O343

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2016.11.010

2016-09-07

江蘇省自然科學基金項目（BK20130478）

楊洪瀾（1968-），男，黑龍江克山人，講師，博士，從事超空泡流和彈性理論研究．E-mail：yanghl2020@163.com