數(shù)學(xué)建模：架設(shè)高中生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“內(nèi)設(shè)橋梁”

江蘇省南通市通州區(qū)金沙中學(xué)(226399)

陳 剛●

?

數(shù)學(xué)建模：架設(shè)高中生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“內(nèi)設(shè)橋梁”

江蘇省南通市通州區(qū)金沙中學(xué)(226399)

陳 剛●

凝視當(dāng)下的高中數(shù)學(xué)教學(xué)，學(xué)生對(duì)“數(shù)學(xué)建模”的認(rèn)識(shí)不到位、能力不到位是“數(shù)學(xué)建模”教學(xué)不力的主要原因.“數(shù)學(xué)建摸”能夠優(yōu)化學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，點(diǎn)化學(xué)生的數(shù)學(xué)思想，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).教學(xué)時(shí)必須讓學(xué)生從簡(jiǎn)單建模開(kāi)始，滲透建模意識(shí).加強(qiáng)典型建模，扎實(shí)學(xué)生的建模根基，讓學(xué)生在“一般建模”中豐富學(xué)習(xí)策略.

數(shù)學(xué)模型；數(shù)學(xué)建模；數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)

一、高中“數(shù)學(xué)建模”教學(xué)的問(wèn)題凝視

當(dāng)下很多高中生對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的認(rèn)識(shí)很多還停留于“做習(xí)題”，津津于“題海戰(zhàn)術(shù)”，對(duì)數(shù)學(xué)思想和方法重視不夠，很少能自覺(jué)地進(jìn)行數(shù)學(xué)建模.由此導(dǎo)致高中生面對(duì)復(fù)雜的數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題時(shí)會(huì)產(chǎn)生一種畏懼的“怵”的心理，感到高中的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)枯燥、乏味.

1．“數(shù)學(xué)建模”的認(rèn)識(shí)不到位.

數(shù)學(xué)是抽象化、概括化的模式科學(xué).高中生只有擁有了建模意識(shí)并能積極主動(dòng)地建模才能走進(jìn)數(shù)學(xué)的“腹地”.建模作為教學(xué)思想是應(yīng)該貫穿高中數(shù)學(xué)教學(xué)的始終.如果學(xué)生停留于解題的技巧，滿(mǎn)足于“一題一得”的經(jīng)驗(yàn)獲得，那么，學(xué)生的“建模意識(shí)”將很難形成.

2.“數(shù)學(xué)建模”的能力不到位.

“數(shù)學(xué)建模”要求學(xué)生能用數(shù)學(xué)的眼光去觀察，用數(shù)學(xué)的思維去考量實(shí)際問(wèn)題.數(shù)學(xué)建模不是知識(shí)的簡(jiǎn)單再現(xiàn)、機(jī)械識(shí)記和模式化運(yùn)用，而是一種創(chuàng)造性的數(shù)學(xué)活動(dòng).

二、高中“數(shù)學(xué)建模”教學(xué)的價(jià)值透視

“數(shù)學(xué)建模”是用數(shù)學(xué)的符號(hào)、圖形或者程序表征數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種思想方法.數(shù)學(xué)建模是用來(lái)刻畫(huà)、解釋、解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種策略、一種方案、一種結(jié)構(gòu).數(shù)學(xué)建模要讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)與生活、與社會(huì)等的千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系，增強(qiáng)高中生運(yùn)用數(shù)學(xué)的意識(shí)和能力，讓學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的思想、方法去解決實(shí)際問(wèn)題.從而獲得未來(lái)社會(huì)公民必備的、應(yīng)有的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

1．“數(shù)學(xué)建模”能夠優(yōu)化學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu).

“數(shù)學(xué)建模”的過(guò)程是一個(gè)完整的數(shù)學(xué)化過(guò)程.在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生需要主動(dòng)地理解問(wèn)題、提出假設(shè)、建立模型并對(duì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行數(shù)學(xué)求解等.在“數(shù)學(xué)建模”中，學(xué)生要主動(dòng)觀察建模對(duì)象，尋找模型因子.因此，“數(shù)學(xué)建模”能夠優(yōu)化學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，讓學(xué)生的知識(shí)組塊獲得意義重組.

2．“數(shù)學(xué)建模”能夠形成學(xué)生的數(shù)學(xué)思想.

“數(shù)學(xué)建模”需要數(shù)學(xué)思想的統(tǒng)攝，同時(shí)“數(shù)學(xué)建模”也能夠形成學(xué)生的數(shù)學(xué)思想.數(shù)學(xué)建模的過(guò)程是數(shù)學(xué)方法思想相互關(guān)聯(lián)的過(guò)程，數(shù)學(xué)建模有助于形成更上位的數(shù)學(xué)高觀念.在數(shù)學(xué)建模中，要注重“數(shù)學(xué)模型”的可推廣性、普適性.例如大數(shù)學(xué)家歐拉對(duì)“七橋問(wèn)題”建立的“一筆畫(huà)模型”就具有問(wèn)題解決的普適性.

3．“數(shù)學(xué)建模”能夠豐厚學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

在“數(shù)學(xué)建模”中，學(xué)生需要對(duì)紛繁復(fù)雜的數(shù)學(xué)信息進(jìn)行篩選，選擇對(duì)問(wèn)題解決相關(guān)的數(shù)學(xué)信息.例如“七橋問(wèn)題”的數(shù)學(xué)模型就是歐拉專(zhuān)注于“七橋”的點(diǎn)與線(xiàn)的連接特質(zhì)，抽象成了“奇點(diǎn)”和“偶點(diǎn)”，根據(jù)“奇點(diǎn)”和“偶點(diǎn)”個(gè)數(shù)，形成了“一筆畫(huà)”的問(wèn)題解決模型.“數(shù)學(xué)建模”能夠讓學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言去表達(dá)問(wèn)題，用數(shù)學(xué)的方法去解決問(wèn)題.

三、高中“數(shù)學(xué)建模”的路徑審視

高中“數(shù)學(xué)建模”教學(xué)要有意識(shí)地落實(shí)到日常的數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中去.教師要引領(lǐng)學(xué)生學(xué)會(huì)將生活實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行抽象、化簡(jiǎn)、化歸成“數(shù)學(xué)模型”，同樣要引領(lǐng)學(xué)生對(duì)“數(shù)學(xué)模型”進(jìn)行“意義賦予”，使之具有實(shí)際問(wèn)題解決的意義.要讓學(xué)生在“數(shù)學(xué)對(duì)象”與“數(shù)學(xué)模型”之間來(lái)回穿行.

1．簡(jiǎn)單建模，滲透“數(shù)學(xué)建模”意識(shí).

“數(shù)學(xué)建模”能力的形成不是一蹴而就的，首先要讓學(xué)生明白“數(shù)學(xué)建模”，滲透“數(shù)學(xué)建模”意識(shí)，通過(guò)教師的引領(lǐng)和學(xué)生的模仿，讓學(xué)生親身經(jīng)歷建模的過(guò)程，讓學(xué)生逐步學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)建模.例如教學(xué)“函數(shù)的單調(diào)性”，筆者借助本市一天的氣溫變化圖展開(kāi)數(shù)學(xué)交流.首先讓學(xué)生運(yùn)用語(yǔ)言描述“圖象上升或下降趨勢(shì)”的內(nèi)涵；然后讓學(xué)生從“數(shù)”的視角描述“圖象上升或下降趨勢(shì)”的內(nèi)涵；最后讓學(xué)生用“數(shù)學(xué)的符號(hào)語(yǔ)言”描述“圖象上升或下降趨勢(shì)”.從文字到符號(hào)的逐層描述就是“數(shù)學(xué)建模”的初級(jí)階段.在這里，學(xué)生抽象出了“增函數(shù)”或“減函數(shù)”的過(guò)程本身也可以看成是一種簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)建模.讓學(xué)生感受到“數(shù)學(xué)建模”并不復(fù)雜，消除學(xué)生的畏懼“數(shù)學(xué)建模”的心理.滲透“數(shù)學(xué)建模”的意識(shí)，讓學(xué)生了解“數(shù)學(xué)建模”的一般步驟，逐步學(xué)會(huì)“數(shù)學(xué)建模”.

2．典型建模，扎實(shí)“數(shù)學(xué)建模”根基.

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要選擇一些學(xué)生熟悉的、感興趣的內(nèi)容，讓學(xué)生嘗試建立“數(shù)學(xué)模型”.“典型建模”能夠扎實(shí)學(xué)生的建模根基，形成學(xué)生用數(shù)學(xué)的思想、觀點(diǎn)、方法去觀察和分析解決實(shí)際問(wèn)題.

由于這一類(lèi)數(shù)學(xué)模型在日常生活中大量存在，筆者將這一數(shù)學(xué)模型的實(shí)際內(nèi)容進(jìn)行拓展，讓學(xué)生繼續(xù)深入討論.

3．一般建模，豐富“數(shù)學(xué)建模”策略.

學(xué)生“數(shù)學(xué)建模”策略的形成是“數(shù)學(xué)建模”能力形成的重要標(biāo)識(shí)，也是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo).“數(shù)學(xué)建模”能讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的魅力，養(yǎng)成“模型化”處理實(shí)際問(wèn)題的習(xí)慣，形成“模型化”的思維方式.可以在“數(shù)學(xué)建模”中融入“數(shù)學(xué)直觀”，穿插“模型背景”等.以“洗衣中數(shù)學(xué)問(wèn)題”為例，我們平時(shí)洗衣服，不可能將衣服十分?jǐn)Q干，假如衣服上還有含污垢的水1kg，用20kg水來(lái)漂洗，怎樣才能洗得更干凈？教學(xué)時(shí)首先引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行問(wèn)題分析：衣服上的水有1kg，再加上20kg干凈的水，所以一共有水21kg，因此一次漂洗，假設(shè)還留下1kg的含污垢的水，那么污垢殘留將被降到；如果我們分兩次進(jìn)行漂洗，假設(shè)每次都是10kg的水，那么第一次漂洗所留下的污垢將被降到，第二次漂洗后所留下的污垢將被降到的，也就是.接著筆者引導(dǎo)學(xué)生將問(wèn)題一般化：假設(shè)一件衣服充分?jǐn)Q干后殘留污垢為akg，含污垢bkg，漂洗的水為ckg.如果我們將ckg水分為c1、c2、c3、…、cn(kg).那么在n次漂洗后，衣服上還殘留著多少污垢？引導(dǎo)學(xué)生將問(wèn)題“一般化”.讓學(xué)生分析洗衣數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而得出結(jié)論.這里，不僅要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)問(wèn)題進(jìn)行分析，建立起一般性的數(shù)學(xué)模型，更重要的是對(duì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行評(píng)價(jià)：

生1：如果衣服原來(lái)的污垢b越多，那么最后衣服中的污垢bn也越多；

生2：如果每一次漂洗后擰得干也就是a越小，那么污垢bn也就越小；……

而學(xué)生的所有這些分析和他們的生活經(jīng)驗(yàn)是一致的、匹配的.不僅如此，筆者引導(dǎo)學(xué)生作進(jìn)一步的思考：在漂洗時(shí)是不是次數(shù)越多漂洗得越干凈？是不是將水分得越平均衣服漂洗得越干凈？筆者讓學(xué)生運(yùn)用“數(shù)學(xué)建模”自己分析.

“數(shù)學(xué)建模”必須有意識(shí)地融入到高中教學(xué)中，要培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、概括、應(yīng)用和創(chuàng)造能力，這是一個(gè)去粗取精、去偽存真的過(guò)程.其中“簡(jiǎn)單建模”是數(shù)學(xué)建模的根基，“典型建模”是數(shù)學(xué)建模的核心，“一般建模”是數(shù)學(xué)建模的靈魂.整個(gè)高中階段的數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)當(dāng)讓“數(shù)學(xué)建模”成為其自覺(jué)內(nèi)設(shè)的橋梁.

[1]鄭志星．蘇教版高中數(shù)學(xué)教材中對(duì)數(shù)學(xué)建模的處理[J]．中學(xué)生數(shù)理化，2016(6)．

[2]洪順剛．高中數(shù)學(xué)建模的探索與實(shí)踐[J]．中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，2010(6)．

[3]吳道春．關(guān)于高中數(shù)學(xué)課程建模教學(xué)的比較研究[J]．中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2015(3)．

探究的目的，從根本上說(shuō)，是激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，學(xué)生帶著思考和問(wèn)題去進(jìn)行化學(xué)實(shí)驗(yàn)，從而對(duì)化學(xué)復(fù)雜的實(shí)驗(yàn)產(chǎn)生濃厚的興趣，興趣與行動(dòng)相互易補(bǔ)，完成化學(xué)的學(xué)習(xí)過(guò)程.

二、捕捉過(guò)程生成，媒體輔助

應(yīng)試教育中，教師教學(xué)側(cè)重于提高學(xué)生的解題能力，大幅度縮短了學(xué)生的實(shí)驗(yàn)課時(shí)，甚至濫用多媒體進(jìn)行教學(xué)，使用視頻代替實(shí)際操作，降低了實(shí)驗(yàn)教學(xué)效率.除此之外，化學(xué)實(shí)驗(yàn)伴隨著新物質(zhì)的形成，而在物質(zhì)形成過(guò)程中，伴隨著質(zhì)和量的各種變化，比如，溶液中開(kāi)始冒出氣泡，或者生成了不同顏色的物質(zhì)，再者，發(fā)生反應(yīng)的物質(zhì)量多或者量少對(duì)生成物質(zhì)有沒(méi)有影響等，有些實(shí)驗(yàn)具有危險(xiǎn)性和有毒性不能在教室進(jìn)行操作的特性，需要教師借助輔助工具完成實(shí)驗(yàn)的制作和演示過(guò)程，借助多媒體實(shí)現(xiàn)了這樣的教學(xué)過(guò)程.

例如，金屬外層電子分布情況人眼無(wú)法直接獲得，實(shí)驗(yàn)室也不配備高精度顯微鏡，筆者借助多媒體演繹并總結(jié)完成教學(xué)過(guò)程.如下表為幾種典型金屬原子圖，并進(jìn)行比較.

表1 三種金屬原子比較

表1顯示三種金屬原子核外電子排列情況，金屬原子核最外層電子數(shù)小于4，在化學(xué)反應(yīng)過(guò)程中失去最外層電子呈現(xiàn)正電性.以金屬鈉的相關(guān)化學(xué)反應(yīng)為例，通過(guò)多媒體演示離子間反應(yīng)的實(shí)際過(guò)程.如下圖所示.

左圖，鈉與氯氣反應(yīng)，失去外層電子，Cl為非金屬分子，獲得電子呈現(xiàn)負(fù)電性，二者形成新的物質(zhì)NaCl呈中性.

右圖是兩種化合物重新結(jié)合的過(guò)程

重新結(jié)合的過(guò)程為

借助多媒體，對(duì)離子反應(yīng)中涉及的電解及重新組合形成新化學(xué)產(chǎn)物的全過(guò)程有一個(gè)全面而形象的演示，有助于學(xué)生理解離子反應(yīng)的每一個(gè)環(huán)節(jié)，加深學(xué)生對(duì)離子反應(yīng)化學(xué)本質(zhì)的理解.此外，此方法還可以應(yīng)用于氧化還原反應(yīng)、化學(xué)平衡、有機(jī)物反應(yīng)等較難理解的章節(jié)，能起到事半功倍的效果，避免了冗長(zhǎng)而乏味的語(yǔ)言講解.

化學(xué)實(shí)驗(yàn)不是單純的物質(zhì)加減，首先考慮其安全性再進(jìn)行實(shí)際實(shí)踐操作，多媒體引入化學(xué)教學(xué)為實(shí)驗(yàn)課程帶來(lái)了全新的變革，學(xué)生從更細(xì)微處觀察到了物質(zhì)的變化過(guò)程.

三、有效銜接理論，防止盲目

實(shí)驗(yàn)教學(xué)是對(duì)相關(guān)化學(xué)理論知識(shí)的鞏固和驗(yàn)證.學(xué)生通過(guò)化學(xué)實(shí)驗(yàn)掌握和理解化學(xué)相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，提高化學(xué)學(xué)習(xí)效率、理解能力以及動(dòng)手能力，但在實(shí)際教學(xué)過(guò)程中，我發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生對(duì)化學(xué)實(shí)驗(yàn)有很高的學(xué)習(xí)興趣，但僅僅是對(duì)做實(shí)驗(yàn)興趣高，不能通過(guò)實(shí)驗(yàn)理解化學(xué)的本質(zhì)和內(nèi)涵，不能掌握相應(yīng)的化學(xué)知識(shí)，不能有效完成實(shí)驗(yàn)和理論的知識(shí)對(duì)接.針對(duì)這種情況，筆者和化學(xué)組老師積極更改教學(xué)策略，做實(shí)驗(yàn)之前先提出實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象涉及的問(wèn)題，提醒大家實(shí)驗(yàn)的目的和目標(biāo)，讓學(xué)生帶著問(wèn)題去進(jìn)行相應(yīng)操作，完成銜接過(guò)程.

以金屬鈉為例.鈉長(zhǎng)期露置于空氣中最終完全轉(zhuǎn)變?yōu)镹a2CO3粉末，此過(guò)程中的主要變化與現(xiàn)象有：

圖3 金屬Na在空氣中反應(yīng)過(guò)程

實(shí)驗(yàn)完成，請(qǐng)學(xué)生們自己列出發(fā)生主要變化的化學(xué)方程式.

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

這樣，在完成實(shí)驗(yàn)的同時(shí)，學(xué)生們完成了化學(xué)方程式的演練，同時(shí)認(rèn)識(shí)到了金屬的一些屬性.拓展，鎂、鐵、銅等金屬長(zhǎng)期置于空氣中又會(huì)發(fā)生什么樣的變化.

表1 部分金屬活動(dòng)性

除此之外，教師本身實(shí)驗(yàn)知識(shí)不足，教學(xué)結(jié)構(gòu)陳舊等，都是需要解決的問(wèn)題，新形勢(shì)下，學(xué)校和教師相互配合相互督促，才能一起改進(jìn)學(xué)校的化學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)弊端，真正從學(xué)生的角度完成實(shí)驗(yàn)教學(xué)過(guò)程.同時(shí)，在實(shí)驗(yàn)教學(xué)中應(yīng)當(dāng)注意著重培養(yǎng)學(xué)生各方面的能力，予以指導(dǎo)而不是統(tǒng)籌包辦，學(xué)生形成獨(dú)立思維，切實(shí)了解實(shí)驗(yàn)“怎么做”和“還能怎么做”的思維，積極思考，完成獨(dú)立探索過(guò)程.

本文是南通市教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃課題“化學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)與研究性學(xué)習(xí)的整合研究”(立項(xiàng)編號(hào)GH12)研究成果之一

G632

B

1008-0333(2016)33-0045-02