2-距離空間中Fisher型映象的公共不動點定理

趙美娜, 張樹義, 鄭曉迪

(1.渤海大學數理學院,遼寧 錦州 121013; 2.錦州師范高等專科學校,遼寧 錦州 121001)

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2-距離空間中Fisher型映象的公共不動點定理

趙美娜1, 張樹義1, 鄭曉迪2

(1.渤海大學數理學院,遼寧 錦州 121013; 2.錦州師范高等專科學校,遼寧 錦州 121001)

使用廣義擬弱交換概念, 在完備2-距離空間中研究了涉及四個映象的Fisher型壓縮映象公共不動點的存在性和唯一性, 證明了新的公共不動點定理, 從而改進和推廣了現有文獻中的相應結果.

完備2-距離空間;Fisher型映象;廣義擬弱交換;公共不動點

Fisher[1]在完備度量空間(X,d)上研究了兩個自映象S和T滿足如下條件的不動點的存在性：

曾文智[2]推廣了文[1]中的結果,研究了下列Fisher型映象S和T的不動點的存在性：

張樹義[3]使用廣義擬弱交換概念,研究了下列涉及四個自映象的Fisher型映象的公共不動點的存在性,從而推廣了文獻[1-2]中的結果:

近些年來, 文[4-14]研究了一些非線性映象不動點的存在性. 受上述工作啟發,本文在2-距離空間中研究Fisher型映象不動點的存在性, 所得結果改進和推廣了有關文獻中的相應結果.

1 預備知識

定義1 (X,d)稱為2-距離空間,如果X是一空間,d是定義在X×X×X上滿足下述條件的一非負實值函數：

1)對每一對點a,b∈X,a≠b存在一點c∈X,使得d(a,b,c)≠0；

2)d(a,b,c)=0,當a,b,c中至少有二元相等；

3)d(a,b,c)=d(a,c,b)=d(b,c,a)；

4)d(a,b,c)≤d(a,b,x)+d(a,x,c)+d(x,b,c),其中x是X中的任一元.

條件4)稱為三角形面積不等式.

2-距離空間(X,d)稱為完備的,若X中的每一Cauchy列都是X中的收斂列.

定義3[4]2-距離空間(X,d)中自映象T和J稱為廣義擬弱交換,如果存在φ:R+→R+=[0,+∞),在R+連續且φ(0)=0,使得對一切x,a∈X,有d(TJx,JTx,a)≤φ(d(Tx,Jx,a)).

2 主要結果

有

cd(By,Sx,a)d(By,Ty,a)+λd(Ax,Ty,a)d(By,Sx,a),

(1)

證明 令y2n=Sx2n=Bx2n+1,y2n+1=Tx2n+1=Ax2n+2(n=0,1,2,…),由式(1)有

δd(Ax2n,Sx2n,a)d(Bx2n+1,Tx2n+1,a)+bd(Ax2n,Tx2n+1,a)d(Ax2n,Sx2n,a)+

cd(Bx2n+1,Sx2n,a)d(Bx2n+1,Tx2n+1,a)+λd(Ax2n,Tx2n+1,a)d(Bx2n+1,Sx2n,a)=

δd(y2n-1,y2n,a)d(y2n,y2n+1,a)+bd(y2n-1,y2n+1,a)d(y2n-1,y2n,a)=

(2)

在式(2)中取a=y2n-1,得d(y2n,y2n+1,y2n-1)=0,從而由三角形面積不等式和式(2)得

(3)

由于二次方程

有解

(4)

于是由式(3)與(4)得

d(y2n,y2n+1,a)≤βd(y2n-1,y2n,a),

(5)

同理可證

(6)

由式(5)與(6)有

(7)

由式(1)有

[d(SAx2n,Tx2n+1,a)]2≤ δd(A2x2n,SAx2n,a)d(Bx2n+1,Tx2n+1,a)+bd(A2x2n,Tx2n+1,a)d(A2x2n,SAx2n,a)+

cd(Bx2n+1,SAx2n,a)d(Bx2n+1,Tx2n+1,a)+λd(A2x2n,Tx2n+1,a)d(Bx2n+1,SAx2n,a).

令n→∞,得

從而Aξ=ξ.

由式(1)有

上式令n→∞,得TBx2n+1→Bξ.

由式(1)有

{d(Sx2n,TBx2n+1,a)}2≤ δd(Ax2n,Sx2n,a)d(B2x2n+1,TBx2n+1,a)+bd(Ax2n,TBx2n+1,a)d(Ax2n,Sx2n,a)+

令n→∞,得

從而Bξ=ξ. 由式(1)有

下證唯一性：假設u,v是S,T,A和B在X上兩個不同的公共不動點,由式(1)有

這是一個矛盾,故u=v.

[1] FISHER B. Common fixed point mappings on complete and compact metric spaces[J]. Rev Roum Math,1980(2):217-222.

[2] 曾文智.關于映象對某些不動點定理[J].貴州大學學報(自然科學版),1988,5(1)：22-26.

[3] 張樹義.Fisher型映象的不動點定理[J].長沙大學學報(自然科學版),2000,14(4)：22-24.

[4] 張樹義.完備度量空間上四個映射的公共不動點[J].沈陽師范學院學報(自然科學版),1998(4)：20-23.

[5] 張軍賀,谷峰.2-距離空間中兩對非相容映象的一個新的公共不動點定理[J].西南師范大學學報(自然科學版),2012,37(4)：42-45.

[6] 鄭曉迪,張樹義.2-距離空間中兩類Φ-壓縮映象的公共不動點定理[J].杭州師范大學學報(自然科學版),2009,8(6)：429-431.

[7] 張樹義.Altman型映象的公共不動點定理[J].煙臺師范學院學報(自然科學版),2000,16(2)：95-97.

[8] 張樹義,衣立紅,邵穎.Altman型映象的公共不動點[J].杭州師范大學學報(自然科學版),2008,7(6)：401-404.

[9] ZHANG S Y, WANG L, SHIN S H, et al. Common fixed point theorems for a pair of orbitally contraction mapping[J]. Fixed Point Theory and Applictions,2003,5:191-195.

[10] 鄭曉迪,萬美玲,張樹義,等.軌道壓縮映射的幾個新的不動點定理[J].北華大學學報(自然科學版),2014,15(4)：438-442.

[11] 張樹義,宋曉光,欒丹.Φ-壓縮映象的公共不動點定理[J].北華大學學報(自然科學版),2014,15(2)：167-173.

[12] 張樹義,林媛.Φ-φ-型壓縮映象不動點的存在性[J].北華大學學報(自然科學版),2016,17(1)：1-3.

[13] 張樹義,趙美娜,劉冬紅.弱相容映射幾個新的公共不動點定理[J].江南大學學報(自然科學版),2015,14(6)：852-856.

[14] 張樹義,趙美娜,李丹.關于平方型Altman映象的公共不動點定理[J].江南大學學報(自然科學版),2015,14(4)：472-477.

Common Fixed Point Theorem for Fisher Type Mapping in 2-metric Spaces

ZHAO Meina1, ZHANG Shuyi1, ZHENG Xiaodi2

(1. College of Mathematics and Physics, Bohai University, Jinzhou 121013, China; 2. Jinzhou Teacher’s Training College,Jinzhou 121001, China)

By using the concept of generalized guasi-commutativity, the existence and uniqueness of common fixed point for Fisher type contractive mapping involving four mappings are studied in complete 2-metric spaces, a new common fixed point theorem is proved, which improves and extends the corresponding results of some reference.

complete 2-metric space; Fisher type mapping; generalized guasi-commutativity; common fixed point

2016-07-02

國家自然科學基金項目(11371070).

張樹義(1960—),男,教授,主要從事非線性泛函分析及應用研究.E-mail:jzzhangshuyi@126.com

10.3969/j.issn.1674-232X.2016.06.013

O177.91 MSC2010: 47H10; 54H25

A

1674-232X(2016)06-0632-04