從“標準方程”的含義談解決代數問題的一種思維方式

◇ 遼寧 金鐘植(特級教師)

從“標準方程”的含義談解決代數問題的一種思維方式

◇ 遼寧 金鐘植(特級教師)

1 曲線“標準方程”的含義

從教28年以來,筆者一直關注一個基本問題:解析幾何中經常提到的“標準方程”的含義是什么?到目前為止,能夠自圓其說的理解是:曲線方程代數結構的特殊性能直接體現曲線決定性的幾何特征的方程是曲線的標準方程.即從曲線方程的代數結構中能直接解讀出曲線的決定性的幾何特征.反之有了曲線決定性的幾何特征就可確定曲線的標準方程.下面就各類曲線標準方程給出這種理解的解釋.

1.1 5種曲線標準方程的解釋

1)直線的標準方程.

2)圓的標準方程.

與教科書的說法相同.

3)橢圓的標準方程.

4)雙曲線的標準方程.

5)拋物線標準方程.

1.2 標準方程和一般方程的內在聯系與本質區別

1)一般方程與標準方程內在聯系.

將標準方程化簡即可得一般方程,將一般方程經過有目的性的代數變形(如配方、運用等式的性質等)即可得標準方程.

2)一般方程與標準方程本質區別.

一般方程是由標準方程化簡得到,進而使原有的代數結構特征消失,所以比起標準方程,體現不出所有決定性的幾何特征.但有些一般方程還能體現部分幾何特征.如直線的一般方程中體現其法向量為n＝(A,B).

從以上“標準方程”的含義不難看出,按照筆者對幾種曲線標準方程的解析,可以將解析幾何中的標準方程系統地化歸為一類:曲線方程代數結構的特殊性能直接體現曲線決定性的幾何特征的方程是曲線的標準方程.同時,解析幾何中關注曲線方程或一些表達式的代數結構的特殊性的思維方式對解決有關問題起著決定性的作用.下面僅從解析幾何的2種基本思維方式來談談其重要性.

2 解析幾何的基本思維方式

解析幾何體現的數學思想和方法主要是數與形的相互轉化.那么問題是如何轉化的?轉化的依據是什么?

2.1 形到數的轉化

2.2 數到形的轉化

根據方程代數結構的特殊性或表達式蘊含的特殊結構,依據這種結構的特殊性就能轉化為有關幾何問題,轉化依據是解析幾何的相關知識,這種轉化也是解析幾何的基本思維方式之一.

3 解決代數問題的一種思維方式

筆者認為,在解析幾何中上面所說的2種轉化,從難度上說不是對等的.相對來說由形到數的轉化目標比較清晰,思維難度小,而由數到形的轉化目標不清晰,需要通過構造、變形等手段把數轉化為形,思維難度相對大.最典型的是在有關的代數問題中,如果運用這種思維方式解決問題更加簡潔.下面僅從3道例題,談在代數問題中這種思維方式的應用.

例2 已知實數x、y滿足

則(x－3)2＋y2的取值范圍是______.

逆用兩點間的距離公式,再根據橢圓的定義和標準方程得到

式(x－3)2＋y2的幾何意義就是橢圓上任意一點到右焦點的距離的平方,所以根據橢圓的幾何直觀不難得出其最大值為(5＋3)2,最小值為(5－3)2,進而得出(x－3)2＋y2的取值范圍是[4,64].

如果此題轉化為閉區間上二次函數值域問題,計算量非常大(特別是無理方程化為有理方程的過程).所以在學完圓錐曲線的標準方程后,根據曲線的定義和代數結構的特殊性,可以將一些無理方程不經過運算,即可得到有理方程.例如:

此題在近幾年的高考試卷壓軸的填空題中屬于難度較大的題目.但如果注意觀察到關鍵性的思維信息|2a＋b|,這種特殊結構在高中數學范圍內,只有在點到直線的距離公式中能夠體現出其幾何意義,進而經過適當的變形,可以把條件轉化為直線與圓的位置關系問題.

解 因為4a2－2ab＋4b2－c＝0?

故其最小值為－2.

利用數轉化為形解決有關代數問題時,有平方就可以考慮逆用兩點間的距離公式,有絕對值就可以考慮逆用點到直線的距離公式,有一次分式就可以考慮逆用直線的斜率公式等.所以這種思維方式的運用,難點就是為了逆用公式,需要構造符合這些公式代數結構的形式.

(作者單位:遼寧省大連理工大學附屬高級中學)