二分法快速求解Duffing混沌閾值的微弱信號檢測

張 菁， 王 斌， 葉家敏

(1. 上海工程技術大學 電子電氣工程學院，上海 201620；2. 上海西南工程學校，上海 201100)

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·計算機技術應用·

二分法快速求解Duffing混沌閾值的微弱信號檢測

張 菁1， 王 斌2， 葉家敏2

(1. 上海工程技術大學 電子電氣工程學院，上海 201620；2. 上海西南工程學校，上海 201100)

針對改進型Duffing混沌系統檢測微弱信號，求解Lyapunov閾值時間過長問題，提出二分法實現快速求解Duffing系統由混沌到周期態的閾值。首先, 以0.1步長的Lyapunov指數確定一個粗略的閾值；然后根據對分法快速收索Duffing-Holmes振子混沌閾值的精確值，這一算法大大提高了閾值搜索速度，通過識別微弱信號仿真事例證明這種方法的有效性。

二分法； Duffing； 微弱信號； Lyapunov指數

0 引 言

微弱信號檢測技術是采用電子學、信息論、計算機及物理學的方法，分析噪聲產生的原因和規律，研究被測信號的特點與相關性，檢測被噪聲淹沒的微弱有用信號。傳統的建立在FFT的信號處理無法在強噪聲中識別或提取微弱的奇異信號[1]，考慮到改進型Duffing混沌系統對外界干擾的極端敏感性，可用于微弱信號的檢測[2]。該方法的目的是找到Duffing(LY)系統從混沌態到周期態變化的閾值，同時能夠獲得Duffing(LY)系統狀態會隨內置攝動力r的從小變大出現有規律的變化，因此搜索閾值微弱信號混沌檢測中的一個重要內容。應用前需確定該系統是混沌的，這就涉及到混沌判別[3]。本文給出了基于改進型Duffing混沌系統，利用Lyapunov特性指數判別法并結合二分法快速求解Duffing系統閾值從而檢測出微弱信號的方法。

1 Duffing混沌系統的改進型—Duffing(LY)

原Duffing系統方程為：

x″(t)+kx′(t)-ax(t)+bx3(t)=r cos ωt

(1)

由于原Duffing系統對不同的信號敏感程度不同，建立對信號敏感的混沌系統是信號檢測的首要條件。為了更好地檢測微弱信號，應對Duffing系統方程進行改進。從微弱信號的檢測能力的下限，混沌系統檢測信噪比，以及系統混沌判定的幾方面綜合考慮[4-5]，得到改進型Duffing系統為：

x″(t)+kx′(t)-bx3(t)+cx5(t)=r cos ωt

(2)

其中：k為阻尼系數；-bx3(t)+cx5(t)為改進后的非線性恢復力；rcosωt為系統攝動力。式(2)稱為改進型Duffing(LY)并對狀態的變化非常敏感，可通過判別系統處于混沌態還是周期態，檢測信號中是否含有微弱奇異信號[6]。

2 Lyapunov指數定量判別方法

判別系統混沌態和周期態的臨界點就是找到系統的閾值，如果無法找到閾值，表示系統不存在混沌[7]。Lyapunov特性指數是一個經典的混沌判別方法，是對混沌系統敏感性的度量，它表征了系統在相平面中運動軌道的收斂或發散的平均指數率[8]，其定義由文獻[9]給出。

將方程(2)作如下變換:

(3)

當系統呈現大尺度周期狀態時，2個Lyapunov指數(LE)均是負值；當系統為混沌狀態時，至少有1個Lyapunov指數是正值。

設初始條件為x(0)=1，x′(0)=1, 在r=[0.5, 1]選擇30個點值分別計算LE,r的計算精度是小數點2位。圖1是LE的曲線圖，在r=0.70, 系統呈現混沌狀態；r=0.78, 系統呈現周期態，見圖2和圖3。

圖1 Lyapunov指數與r的關系

圖2 r=0.70時系統時域響應、相平面和LE

圖3 r=0.78時系統時域響應、相平面和LE

3 二分法與直觀法確定系統精確域值

由于二分法適用于快速求取最優解[10]，可將其用于對閾值進行精確定位。首先粗略計算Lyapunov指數(初始條件為x(0)=1，x′(0)=1，有效位為1)，得到系統的閾值大致范圍為r=[0.7,0.8]。隨后，在該區間內用二分法快速求取精確閾值(精度為6)，步驟如下：

(1) 由于0.7對應系統混沌態，而0.8對應周期態，取 0.7～0.8的中間值r=0.75。

(2) 由于r=0.75對應周期態，所以取r的區間為[0.7,0.75]。然后r從0.7～0.75以步長為0.01 增加到0.71，該值對應混沌態，0.72對應周期態，取0.71 ～ 0.72的中間值r=0.715。

(3) 由于0.715對應的是混沌態，此時r的取值范圍是[0.715,0.72]。然后r從0.715～0.72以步長為0.001增加到0.718，r=0.717對應周期態，而0.718對應混沌態，取0.717～0.718的中間值0.717 5。

(4) 由于0.717 5對應的是混沌態，所以r的取值范圍是[0.717,0.717 5]。然后r從0.717～0.717 5以步長為0.000 1增加到0.717 3，r=0.717 3對應混沌態，而0.717 4對應周期態，取0.717 3～0.717 4的中間值0.717 35。

(5) 由于0.717 35對應的是周期態，則r的取值范圍是[0.717 3,0.717 35]。然后r從0.717 3～0.717 35以步長為0.000 01增加到0.717 32，r=0.717 32對應混沌態，而0.717 33對應周期態，0.7173 2～0.717 33的中間值是0.717 325。

(6) 由于r=0.717 325對應的是周期態，所以r的取值范圍是[0.717 325,0.717 33]。 然后r從0.717 325到0.717 33以步長為0.000 001增加到0.717 329，r=0.717 329這個值對應混沌態，而0.717 33對應周期態。

(7) 最后的閾值確定為0.717 329。當弱周期信號嵌入到系統(3)時，這個系統呈現大尺度周期態。這個計算過程見表1。

表1 二分法求系統閾值

從計算過程看出，確定一個6位閾值最多搜索運行30次，閾的求解速度得到很大改進。

4 結 語

提出了利用改進型Duffing混沌系統檢測微弱信號的方法。具體過成為：先將要檢測的信號做為擾動輸入到Duffing(YL)系統作為外部攝動力；再通過確定合理的閾值識別檢測信號中是否含有微弱的奇異信號。而閾值的確定需要將二分法與Lyapunov指數算法相結合運用。首先通過Lyapunov指數判別法確定閾值的范圍；隨后在該范圍內用二分法快速求出閾值。這種算法能夠快速得從混沌到周期的系統臨界閾值，確定Duffing(YL)系統的閾值，降低系統Lyapunov指數的計算時間。

[1] 高振斌，張 晨，李景春. 混沌算法和子空間算法應用在微弱信號檢測中的比較[J]. 科學技術與工程，2014,14(1): 235-239.

[2] 夏均忠,劉遠宏,冷永剛，等.微弱信號檢測方法的現狀分析[J].噪聲與振動,2011, 31(3): 156-161.

[3] 孫玉勝,詹小霞,石 軍,等.基于Duffing振子的微弱信號檢測[J].鄭州輕工業學院學報,2012,27(5):81-84.

[4] Dr Ivana Kovacic, Michael J. Brennan.The Duffing Equation: Nonlinear Oscillators and their Behaviour[M].New York City:John Wiley & Sons,2011:82-84.

[5] 樊養余,李利品,黨瑞榮，等.基于隨機共振的任意大頻率微弱信號檢測方法研究[J].儀器儀表學報,2013,34(3):566-572.

[6] 程鳳芹,曲 娜,趙 璐，等.基于特定混沌系統的微弱信號檢測仿真研究[J].計測技術,2011,31(5):1-2.

[7] Patel V.N. Tandon N., Pandey R.K.. Defect detection in deep groove ball bearing in presence of external vibration using envelope analysis and Duffing oscillator[J].Measurement,2012，45(5):960-970.

[8] Ch. Skokos. Dynamics of Small Solar System Bodies and Exoplanets[C ].New York City: Spinger,2010:63-135.

[9] Lai-Sang Young. Mathematical theory of Lyapunov exponents[J].Mathematical and Theoretical, 2013，46(25)：1916-1930.

[10] Bachrathy, Dániel, and Gábor Stépán. Bisection method in higher dimensions and the efficiency number[J].Mechanical Engineering，2012，56 (2): 81-86.

[11] Damodarasamy S., Raman S.. Inexpensive system for classifying tool wear states using pattern recognition[J]. Wear,1993, 170(2):149-160.

[12] Wanqing song, and ZHANG Jing: Tool State Detection by Harmonic Wavelet and Sample Entropy [J]. Chinese Journal of Mechanical Engineering, 2011, 24(6)：1068-1073.

[13] Yao Y X, Li X, Yuan Z J. Tool wear detection with fuzzy classification and wavelet fuzzy neural network[J]. International Journal: Machine Tool & Manufacture 1999,39(10): 1525-1538.

[14] Cho S. S., Komvopoulos K. Correlation Between Acoustic Emission and Wear of Multi-Layer Ceramic Coated Carbide Tools[J]. Transactions of the ASME,1997,119(2):238-246.

[15] Ding Liu, Haipeng Ren, Li Song. Weak Signal Detection Based On Chaotic Oscillator[C]. Xian (China): Industry Applications Conference, Fourtieth IAS Annual Meeting, 2005, 3: 2054-2058.

[16] Julien Clinton Sprott.. Chaos and Time-Series Analysis[M]. University Press, Oxford, UK & New York, USA, 2003.

[17] Florian Grond, Hans H. Diebner. Local Lyapunov exponents for dissipative continuous systems[J]. Chaos, Solitons and Fractals,2005, 23(5): 1809-1817.

[18] 聶春燕,石要武. 基于互相關檢測和混沌理論的弱信號檢測方法研究[J]. 儀 器儀表學報, 2001,22(1):33-35.

[19] 劉立，孫軍. 基于混沌振子的微弱信號檢測方法研究[J]. 沈陽農業大學學報，2005, 36(6)：667-67.

[20] Udwadia F E, von Bremen H F. Computation of Lyapunov characteristic exponents for continuous dynamic system[J]. Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Physik (ZAMP), 2001, 53(1):123-146.

Quickly Solving the Threshold of Duffing Chaos System for Weak Signal Detecting by Bisection Algorithm

ZHANGJing1,WANGBin2,YEJia-min2

(1.School of Electronic & Electrical Engineering, Shanghai University of Science and Engineering,Shanghai 201620, China; 2.Shanghai Southwest Engineering School, Shanghai 201100, China)

In the improved Duffing system, detection signal is quite weak, hence, solving the chaos threshold takes a lot of time when one applies Lyapunov exponent criterion. The paper proposes a bisection algorithm to solve the problem. The algorithm can figure out the threshold value whcih makes Duffing system transfer from chaos state to period state. First, we take 0.1 as the step length to find a threshold roughly based on the Lyapunov exponent. Then the bisection algorithm figures out the exact value for the threshold. The speed of calculating is speeded a lot, Simulation result proves the validity of this method.

bisection algorithm; Duffing; weak signal; Lyapunov exponent

2015-07-09

國家自然科學基金項目(51477099和51477100)

張 菁(1969-)，女，上海人，副教授，主要研究方向為電氣工程及其自動化、機械電子等。E-mail: 1768283350@qq.com

TN 98

A

1006-7167(2016)02-0086-03