超隔熱材料理論探究

馮仕猛,羅乾杰,劉嘉欣,顧琳慧,唐曉峰,張 紅

(1.上海交通大學 物理與天文系,上海 200240; 2.上海航天技術研究院,上海 201109;3.上海機電工程研究所,上海 201109)

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超隔熱材料理論探究

馮仕猛1,羅乾杰1,劉嘉欣1,顧琳慧1,唐曉峰2,張 紅3

(1.上海交通大學 物理與天文系,上海 200240; 2.上海航天技術研究院,上海 201109;3.上海機電工程研究所,上海 201109)

為新型超隔熱材料研究提供理論依據，給出一種超材料簡單結構模型，根據原子振動波傳播的基本理論，用轉移矩陣理論和不同區間邊界上應力，以及振幅連續關系推導出超材料中聲子的本征方程。它清楚表明了聲子頻率與原子層結構參數及特性參數的非線性關系。討論了不同條件下聲子的模數與頻率，給出了兩種特定條件下的初步解。初步解表明：不同的原子層結構設計，聲子頻率不同，聲子振動模數也不同。只要選擇合適的原子層結構，就能降低聲子振動模數和調節聲子振動頻率，從而降低材料熱傳導系數。對某些特定設計的超級材料，有不存在聲子振動模的可能，這樣的材料不能傳播熱聲子，也就不能有效傳遞熱量，這對新型隔熱材料研究是非常有意義的。

超材料； 矩陣理論； 聲子； 本征方程； 原子層結構； 振動模； 熱傳導系數； 絕熱

0 引言

熱防護技術是保證航天器在上升段和再入段的外部加熱環境中不發生過熱和燒毀的一項關鍵技術，同時也是保證導彈在氣動加熱環境中正常工作和保證火箭發動機在嚴酷的內部加熱環境中正常工作的一項關鍵技術。傳統的隔熱材料以陶瓷復合材料為基礎(氧化硅纖維+硼化物+碳化硅)，再添加其它化合物以實現低熱傳導隔熱材料，在航天器上獲得了廣泛應用[1-7]。如航天飛機上大量使用的陶瓷纖維隔熱瓦由68%石英纖維(直徑1～3 μm)+12%硼硅酸鹽纖維(1～3 μm)+20%氧化鋁纖維(5～10 μm)組成(質量分數)，是一種非常好的隔熱材料；以SiC為添加劑料+高溫的陶瓷ZrB2隔熱材料，使導彈在飛行過程中能長時間承受3 000 ℃的高溫，另外也有其它材料作為高速飛行器隔熱材料的探索試驗[8-9]。這些研究以大量實驗為基礎，通過材料配比優化實現其優異的隔熱性能。超材料是一種新型材料，通過人工組裝，有效調控原子層數，調控原子的種類，實現材料性能的有效調控。但超級材料研究主要集中于反常電磁性能，大多討論介電常數呈負的材料理論和實驗研究[10-17]。通過精確設計材料的結構，能對相對介電常數和有效相對磁導率進行控制。如超材料的質量密度或體積模量兩者之一是負數，構造的超材料就是一種類似聲子晶體的帶隙材料，可阻擋聲音的傳播[18]。若質量密度和彈性模量同時為負數，則此人工超材料是一種雙負材料，能實現材料的負折射[19]。上述研究多涉及材料電磁參數的理論處理或器件的模擬設計，但關于超隔熱材料性能的研究很少。

理想的絕熱材料，即完全隔熱材料是目前超高速飛行器研究中的一個熱點[20-21]。對實現材料的完全隔熱，使熱量無法在材料中傳播，目前尚無完整的機理描述，相關的基本理論研究報道很少。材料的熱傳遞是以原子熱振動或聲子傳播為基礎，如能使材料無法傳播熱聲子，就可實現材料的理想化絕熱。本文試建立一種超級材料的結構模型，根據原子振動的動力學方程，由熱振動在邊界上的連續條件和矩陣理論給出了熱聲子在材料中傳播的本征方程，分析了不同條件下聲子振動頻率與超級材料原子結構參數的關系，討論不同條件下傳播熱聲子的模數和頻率，并在此基礎上給出了降低材料熱傳導可能的物理途徑，以拓寬研究新型隔熱材料的理論思路。

1 新型材料熱傳導的基本理論

熱在材料中傳播，一種模式是通過紅外電磁波透過材料而傳遞熱量，另一種方式是通過材料中原子振動傳播熱量，即依靠聲子傳播熱量。超材料可通過在材料的關鍵物理尺度上的有序設計，有效控制原子振動頻率，減小聲子的振動模數，從而使材料導熱系數降低，達到隔熱效果。

本文設計一種簡單的超級材料結構模型：由甲乙兩種不同的原子在一維方向上呈周期性排列。其中甲原子的原子層數為N1，乙原子的原子層數為N2，其結構如圖1所示。

圖1 一種簡單的超級材料結構模型Fig.1 Simple model of metamaterial

在圖1模型中，設甲原子構成的區間定為1區，乙原子構成的區間為2區。根據原子振動波方程，在1、2區間內，其對應原子振動波方程分別為

(1)

式中：A1，A，A′，B，B′為波方程的系數；y0，y1，y2，y3為不同區間原子振動的振幅；N為超材料中周期層數；q1，q2分別為區間1、2波方程對應的波矢；ω為離子或原子的振動頻率；a為1區N1個原子構成的長度；b為2區N2個原子構成的長度；β′為波在邊界上的衰減系數；i為虛數單位。

在1區間，成立

(2)

(3)

(4)

用相同方法，可得x=a處有

(5)

由式(5)可得

(6)

式(6)的矩陣形式為

(7)

將式(7)代入式(4)，有

(8)

簡化式(8)，可得

(9)

用相同方法，在2區可得

(10)

式中：k2為2區對應材料的彈性模量；k2f′(a)為b區x=a處的應力。

(11)

對由N個周期層構成的超級材料，則有

(12)

展開式(12)，有

(13)

式中：

在材料表面，由式(1)分別可得

a)x≤0時，

(14)

b)x≥l時，

(15)

式中：l，k′分別為超級材料的寬度和表面彈性系數。將式(14)、(15)代入式(13)得

(16)

(17)

用多項式可得

(18)

(19)

式(19)即為研究超材料的基礎方程。

2 討論

2.1 超材料性能與空間尺寸關系

將式(19)展開后得

2βUN-2(χ)+m21UN-1(χ)-βm11UN-1(χ)+

(20)

化簡式(20)得

(21)

式中：a1為1區相鄰兩個原子間的距離；m為1區原子質量；β1為1區原子間的彈性系數；ω為原子振蕩頻率。代入式(21)，得

(22)

式中：b1為2區相鄰兩個原子間的距離；M為2區間原子質量；β2為2區間原子間的彈性系數；N2為1區原子的層數；N2為2區原子的層數；N為總周期數。

式(22)是超級材料中熱聲子的本征方程，滿足該式頻率的聲子才能在超級材料中傳播。由式(22)可知：超級材料中原子的振動頻率不僅與材料本身的性質有關，而且與原子層數結構參數有關。不同的材料組合，傳播聲子的振動頻率各異；在材料組合確定的條件下，原子層數結構參數不同，聲子頻率也不同。因此，理論上僅需調節1區和2區原子的結構參數，就能控制聲子振動模數及頻率，這是調節超級材料性能的物理基礎。

2.2χ=0的超級材料

tan(q1a)tan(q2b)=

(23)

將χ=0 代入式(18)，展開得

-βm11+m21+β2m12-βm22=0.

(24)

將 m11,m21,m12,m22代入式(24)，化簡得

(25)

則

(26)

代入式(26)，得

(27)

或

(28)

同理，由式(23)、(25)還可得

(29)

或

(30)

對χ=0的超級材料，其原子振動頻率必須同時滿足式(28)、(30)。由式(28、(30)可知：原子振動頻率與材料本身的性質、原子結構參數呈明顯的非線性關系，不同尺寸的超級材料有不同的原子振動頻率。因此，只需優化1、2區原子層結構參數，就能降低聲子的振動模數，這對降低材料熱傳導系數非常有用。

特別是當χ=0，如β2-2(q2)2(k2)2<0或(q1)2(k1)2-β2<0，則式(28)、(30)中根號內為虛數，這表明滿足本征方程的頻率存在一個虛數，也就是不存在能傳播的熱聲子。因此，只要材料表面彈性系數非常大或非常小，對應的材料無法傳播熱聲子，使這種材料的導熱系數非常低，理論上這是一種非常好的絕熱材料。因此，若技術上能實現上述條件的原子排列，則能獲得導熱系數非常小的隔熱材料。

2.3χ=1的超材料

當χ=1, 由式(18)得

2β+m21-βm11-βm22+β2m12=0.

(31)

將 m11,m21,m12,m22代入式(31)，化簡得

(32)

代入式(32)，得

(33)

或

(34)

式(34)是滿足χ=1的超級材料熱聲子傳播的本征方程。由式(34)可知：聲子頻率與原子層結構參數間呈非線性關系；不同材料的組合，熱聲子頻率各異，聲子振動模數亦不同；在材料組合確定條件下，原子層結構參數不同，聲子振動頻率和振動模數也不同。

特別地，當N1?N2，由式(34)可得

滿足該條件的材料只能傳播一種頻率的聲子，這會使該種材料導熱性能非常低，這對未來超低導熱材料的研究非常有意義。

綜上所述，對超級隔熱材料，通過一定的技術方法實現不同原子有規律的組裝，就能有效控制聲子的振動頻率和聲子的振動模數。在滿足一定的條件下，可獲得非常少或為零振動模的超材料，其對應的導熱率就非常低，這是將來彈頭隔熱材料研究發展的一個方向。

3 結論

本文通過一個不同材料在空間有規律排列的模型，利用物理原理推導了超隔熱材料傳導的本征方程，給出了兩種典型結構的超材料本征方程的初步解，分析了對應聲子振動模數及頻率與結構參數間的關系，獲得了一些初步結論：超材料中聲子頻率及模數與原子層結構設計參數呈非線性關系。不同原子層結構設計，聲子頻率和聲子振動模數不相同。對某種特殊設計的超隔熱材料，可使超材料的本征方程無解，也就不存在能傳播的熱聲子。因此，這樣的材料導熱系數非常低，理論上是一種非常好的絕熱材料。傳統以陶瓷復合材料為基礎的隔熱材料，實際上是多種材料的混合體，材料空間結構缺少規律性，需要大量的實驗才能找到性能較好的隔熱材料。未來超隔熱材料的研究，理論上需確定多種原子排列的結構模型，再通過一定的技術方式實現兩種或兩種以上不同原子有規律的組裝，才能有效控制聲子的振動頻率與模數，甚至使聲子振動模數趨向零和使材料導熱系數降至一個非常低的水平，從而實現最佳的隔熱或絕熱效果，這是未來彈頭以及超高聲速飛行器超隔熱材料研究發展的一個方向。本文研究對高速飛行器的新型隔熱材料研制有一定的參考意義。

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Theoretical Investigation of Insulation Heat Property of Super-Material

FENG Shi-meng1, LUO Qian-jie1, LIU Jia-xin1, GU Lin-hui1, TANG Xiao-feng2, ZHANG Hong3

(1. Department of Physics and Astronomy, Shanghai Jiao Tong University, Shanghi 200240， China; 2. Shanghai Academy of Spaceflight Technology, Shanghai 201109, China; 3. Shanghai Electromechanical Engineering Institute, Shanghai, 201109, China)

For the study of super-material theory, a simple model of super material was presented. According to the basic theory of mechanical wave propagation, using the transfer matrix and continuous stress and amplitude at the different boundary, one eigenequation of phonon was derived which clearly described the nonlinear relationship of phonon frequency with the designed parameters of atomic layer structure and the property parameter of material. The modular and frequency of phonon were discussed under various conditions. The preliminary solution of the equation was given under two specific conditions. The preliminary solution shows that the phonon frequency changes with the change of the design of atomic layer. Generally, the phonon frequency and the number of phonon vibration mode would be different when the structure parameter of atomic layer is different. It can reduce phonon frequency and the number of phonon vibration module as long as choosing appropriate atomic layer structure, which leads to the low coefficient of thermal conductivity. Especially, for specific design of the super material, it may have no phonon vibration mode, and can't spread thermal phonons. That is to say, it will not be able to transfer heat efficiently. This new type insulation material is very significant for the research of new heat insulation materials.

Super-material; Matrix theory; Phonon; Eigenequation; Atomic layer structure; Vibration mode; Coefficient of thermal conductivity; Heat insulation

1006-1630(2016)05-0050-07

2016-07-12；

2016-08-07

馮仕猛(1964—)，男，博士，主要從事新穎材料物理研究。

TB34

A

10.19328/j.cnki.1006-1630.2016.05.008