率失真優化的壓縮感知圖像編碼

蔣 偉，楊俊杰

(上海電力學院 電子與信息工程學院，上海 200090)

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率失真優化的壓縮感知圖像編碼

蔣 偉，楊俊杰

(上海電力學院 電子與信息工程學院，上海 200090)

針對基于壓縮感知的圖像編碼系統，分析了系統中編碼參數和碼率以及失真的關系，在此基礎上提出了基于壓縮感知的圖像編碼系統的碼率-失真模型。根據所提模型設計了率失真優化的壓縮感知圖像編碼算法。在給定碼率的條件下，優化編碼參數，使得編碼器失真最小。算法在Matlab的編碼平臺上進行了仿真和實驗，結果證明提出的碼率-失真模型能夠很好地擬合實際率失真曲線，并且基于該模型的率失真優化算法有效的提高了壓縮感知圖像編碼系統的性能。

壓縮感知；率失真；編碼

2006年Donoho and Candes首次提出了壓縮感知的理論[1-2]。該理論是一種將高維空間的信號轉換為低維信號的采樣方法。如果輸入信號足夠的稀疏，那么這個信號就可以很高的精度被重構。基于壓縮感知的圖像編碼框架摒棄了傳統的先采樣后處理的級聯結構，將采樣和數據壓縮結合起來，簡化了編碼框架[3-4]。通過使用壓縮感知降低了編碼器的復雜度，而解碼端由于需要求解凸優化的問題來恢復輸入信號，因而復雜度較高，所以基于壓縮感知的圖像編碼系統適合于能量受限的編碼場合，如傳感器網絡。

率失真性能是衡量圖像編碼系統性能的重要準則。率失真技術可以不受編碼結構和技術的限制，通過配置最優的編碼參數提高編碼性能，是實際編碼系統中常用的優化方法。量化是傳統的有損編碼系統中的主要失真來源，量化器性能很大程度上決定了編碼效率，因而可以選擇合適的量化參數使得給定編碼碼率下失真最小。然而在基于壓縮感知的圖像編碼系統中除了量化，采樣過程也會引起失真和碼率的變化，也就是說給定碼率條件下最優的編碼性能由量化參數和采樣參數共同決定。因而分析量化參數、采樣參數和編碼碼率、失真之間的關系對確定最優的參數配置至關重要。

目前在基于壓縮感知的圖像編碼系統的編碼參數和碼率失真之間關系的研究方面已有一些成果。文獻[5]中針對傳統的視頻編碼系統提出了延遲-能量-率失真模型。文獻[6-7]針對壓縮感知編碼視頻流提出了碼率-能量-失真模型。該模型可以用于估計接收端接收到的受信道噪聲污染的視頻流的質量。但在基于壓縮感知的圖像編碼系統中最優的編碼參數選擇方面研究成果較少。文獻[8]中針對分布式視頻壓縮感知編碼框架提出了壓縮感知采樣率的分配方法，該方法基于圖像區域的稀疏程度進行采樣率的分配，稀疏度高的區域分配較低的采樣率，稀疏度低的區域分配較高的采樣率。但是該方法并沒有考慮量化對編碼碼率和失真的影響。而且算法還需要額外傳輸附加信息到接收端。文獻[9]提出了率失真優化的碼率分配方案，然而算法的效率很大程度上取決于失真模型的正確性。

本文首先分析了基于壓縮感知的圖像編碼系統的編碼參數與碼率和失真之間的關系，然后分別提出了碼率和失真模型，最后將上述模型用于壓縮感知編碼算法的優化，提出了基于率失真優化的壓縮感知編碼算法，選擇最優的采樣率和量化參數，使得編碼器性能最佳。

1 壓縮感知

壓縮感知(Compressive Sensing)是通過線性投影將高維信號編碼為低維信號的采樣方法。壓縮感知包括3個主要問題：稀疏表示、信號測量和信號重構。壓縮感知理論實現的基礎是信號的稀疏性。稀疏度定義為離散時間信號中非零元素的個數。如果在某個正交基下信號是稀疏的，并且稀疏度K遠小于信號的維數N，那么該信號被稱為稀疏的或可壓縮的，可以通過壓縮感知對信號壓縮。自然圖像在諸如離散余弦變換和小波變換這類變換下都是稀疏的，因此將圖像看作矢量u∈RN，那么圖像在正交基ΨN×N下的映射信號x是

x=Ψu

(1)

假設存在測量矩陣Φ，維數是L×N，L≤N，則通過非相關測量將信號x投影到測量矩陣Φ上，即

y=Φx=ΦΨu

(2)

(3)

由于L≤N，式(3)的求解是一個病態問題，有無窮多組解，計算復雜度很高。因此Donoho and Candes提出當滿足RIP條件時，可以用l1范式代替l0范式，將式(3)轉換為一個凸優化問題進行求解

(4)

通常采樣個數L≥αKlogN時，可以精確重構出x。其中α是一個很小的常數。在實際環境中通常存在各種各樣的噪聲，對測量數據造成干擾，比如圖像壓縮系統中編碼端就會引入量化誤差。在噪聲環境下信號的重構可以進一步寫為

(5)

其中:參數ε表示噪聲。在重構過程中，重構信號質量與測量矩陣、正交基都有關系。精確重構原信號所需的樣本個數也由正交基和測量矩陣的相關性決定[12]。正交基和測量矩陣的相關性越低，精確重建稀疏信號所需要的采樣個數就越少。

2 碼率-失真模型

傳統的視頻編碼系統中，量化是產生失真的主要原因，量化參數(量化步長)越大，失真越大，編碼碼率越小；而在壓縮感知編碼系統中，失真由量化和線性測量共同產生。量化參數和測量數目的設置直接影響系統的性能。比如減小量化步長會提高碼率，減小失真；而增大量化步長會降低碼率，增加失真。增加采樣個數會增加碼率，同時減小失真；而減小測量數目會降低碼率，增加失真。由于無法保證碼率和失真同時達到最小，因此需要在碼率和失真這兩個參數中獲取最優的Pareto均衡。

采樣個數和量化參數互不相關，因此可以分別分析他們對碼率和失真的影響。當測量值的數目固定時，碼率和失真隨量化參數的變化如圖1和圖2所示。圖中，Rcs表示采樣個數占總數的百分比，失真是源圖像和重構圖像之間的均方誤差。可以看出采樣個數不變時，碼率隨著量化參數的增大而下降，失真隨量化參數的增大而增加。從圖1a和圖2a中可以看出，碼率和量化參數QP之間近似服從冪函數的分布，而圖1b和圖2b中失真和量化參數也近似服從冪函數分布，碼率和失真與量化階之間的關系可表示為

R1=α1·QPα2

(6)

D1=α3·R1α4

(7)

式中：α1，α2，α3和α4是模型參數，取值與原信號有關；R1表示碼率；D1表示失真。 當量化參數固定時，碼率和失真隨采樣個數變化如圖3和圖4所示。可以看出碼率R2隨采樣個數呈線性變化，失真D2隨采樣個數呈指數分布

R2=β1·NCS

(8)

D2=β2·eβ3R2

(9)

式中：β1，β2，β3是模型參數，因此可以建立碼率R和采樣個數NCS、量化參數QP之間的數學模型

R=aR·NCSβR·QpγR

(10)

式中：αR，βR和γR是模型參數，取值與原信號有關。總失真由測量模塊產生的失真和量化模塊產生的失真構成，D=D1+D2。測量模塊產生的失真隨采樣個數呈指數分布，量化產生的失真服從冪函數分布，因此失真模型可以定義為

D=αD·RβD+γD·eθDR

(11)

式中：αD，βD和γD是模型參數，取值與原信號有關。

圖1 測量值個數固定時碼率失真關系，Lena

圖2 測量值個數固定時碼率失真關系，Bank

圖3 量化參數固定時碼率失真關系，Lena

圖4 量化參數固定時碼率失真關系，Bank

3 率失真優化的壓縮感知編碼

理想情況下期望最優的編碼器以最小的碼率獲得失真最小的圖像，也就是在給定碼率Rb的條件下失真最小的編碼器

minD(U,S) s.t.R(U,S)≤Rb

(12)

式中：U是源圖像；S是編碼器配置參數矢量；D(U，S)，R(U，S)分別是失真和碼率。式(12)的最優值就是碼率受限條件下最優的視頻編碼器性能。從式(12)中可以看出，編碼器的失真受碼率的約束，無法同時使得碼率和失真最小。當給定編碼碼率一定時，如果分配較多比特用于采樣，那么用于表示每個樣值的比特數較少，導致失真增大；反之，如果用于量化的比特數較多，那么用于采樣的比特就會較少，同樣導致失真增大。因此根據上節提出的碼率-失真模型，分析碼率、失真和編碼參數(量化參數和采樣個數)之間的關系，提出了基于率失真優化的壓縮感知編碼算法，求解最優的編碼參數配置，得到給定碼率條件下的失真最小的編碼器。

壓縮感知編碼框架中影響性能的因素有2個，即采樣個數和量化參數，因此最優的編碼參數配置實際上就是求解能夠使編碼效率最高的采樣個數和量化參數。式(12)可以改寫為

minD(U,NCS,QP) s.t.R(U,NCS,QP)≤Rb

(13)

式中：D(U,NCS,QP)和R(U,NCS,QP)分別是在編碼參數NCS,QP下得到的失真和碼率。通過式(10)的碼率模型可以計算出每組NCS,QP的取值下對應的編碼碼率，通過式(11)可以得到在該碼率下產生的失真。式(13)可以使用拉格朗日法或是動態規劃法求解。由于動態規劃的復雜度隨著編碼單元的增加呈指數上升，導致計算量巨大，因此通常采用拉格朗日法求解。當滿足KKT條件時，式(13)表示的受限優化問題可以轉換成不受限優化問題，可以由下式解出

minJ(U,NCS,QP,λ)=D(U,NCS,QP)+

λR(U,NCS,QP)

(14)

式中：λ≥0稱為拉格朗日因子，也是率失真曲線的斜率。λ用來衡量碼率和失真的相對重要性。λ越小失真越重要，λ越大碼率越重要。拉格朗日代價值J(U,NCS,QP,λ)用于衡量編碼性能的優劣，代價值越小編碼性能越好。能夠使得代價值最小的參數配置S*={N*CS,Q*P}就被稱為最優的參數配置，對應的λ*是最優的率失真斜率，失真D*是在該碼率Rb下的最小失真。諸如牛頓法或二分法這類快速搜索算法通常用于求解λ*，然而算法復雜度都較高，相當耗時。本文中通過求解KKT條件計算最優的拉格朗日因子。既然最優的參數配置S*使得J(U,NCS,QP,λ)達到最小值，那么J(U,NCS,QP,λ)的梯度在S*的值為0，也就是

(15)

R(S*)≤Rb

(16)

λ*≥0，λ*(R(S*)-Rb)=0

(17)

(18)

因此如果存在λ*滿足KKT條件，對應的S*也就是J(U,NCS,QP)的最小值。求解滿足KKT條件的λ*就可以得到式(14)的最優解，也就是最優的壓縮感知編碼器。

4 實驗結果

本文所提算法基于Matlab編碼平臺進行了實驗。在發送端待測圖片先進行小波變換，得到稀疏信號，然后由測量矩陣進行采樣，采樣后的數據再經過均勻量化和算術編碼生成編碼碼字。在接收端編碼碼字先算術解碼和反量化，然后根據得到的采樣數據進行重構。目前有多種重構算法，算法的性能與圖片在小波域的稀疏性有關。本實驗中采用OMP(Orthogonal Matching Pursuit)算法重構信號[13]。重構后的信號再經過小波反變換就恢復出了原圖片。

實驗測試了文中所提的碼率和失真模型的正確性。圖5顯示了根據碼率模型估算的碼率和實際測試碼率的比較。從圖中可以看出，由采樣數目和量化參數估算的碼率和實際編碼碼率相符。依據碼率-失真模型計算出的率失真曲線和實際測試曲線的對比如圖6所示。其中圖6a是在固定量化參數條件下得到的率失真曲線，圖6b是在固定測量數目的條件下得到的率失真曲線，并且圖中的曲線代表實際測試得到的率失真關系，菱形和星型代表模型計算結果。從圖中可以看出模型產生的率失真曲線和實際曲線相符。實驗還對率失真優化的壓縮感知編碼系統的性能進行了測試。測試結果如圖7所示。可以看出根據本文提出的碼率-失真模型對編碼系統進行率失真優化后，系統的編碼性能有了明顯提高，和未優化時相比增益約有2 dB。

圖5 碼率和編碼參數的關系，Lena

圖6 碼率-失真模型曲線，Lena

圖7 率失真優化的壓縮感知編碼性能

5 結論

本文通過分析壓縮感知編碼系統中編碼參數和碼率以及失真的關系，提出了基于壓縮感知的圖像編碼系統的碼率-失真模型。并且根據所提模型設計了率失真優化的壓縮感知圖像編碼算法。通過優化測量數目和量化參數，得到給定碼率下失真最小的編碼器。實驗結果表明該碼率-失真模型能夠很好地擬合實際率失真曲線，以此為基礎提出的率失真優化算法能夠有效提高壓縮感知圖像編碼系統的性能。

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蔣 偉(1975— )，女，副教授，主要研究方向為圖像壓縮；

楊俊杰(1977— )，教授，主要研究方向為電力通信技術、光纖通信技術等。

責任編輯：許 盈

Rate-distortion optimized compressive sensing based coding

JIANG Wei, YANG Junjie

(SchoolofElectronicsandInformationEngineering,ShanghaiUniversityofElectricPower,Shanghai200090,China)

In view of compressive sensing based image coding schemes, the relationship of rate and coding parameters and relationship of distortion and coding parameters are analyzed. Moreover, a source rate and distortion model is proposed. Based on the R-D model, the optimal number of measurements and quantization step size are determined according to the rate-distortion criteria. The proposed algorithm is implemented on the platform of Matlab. The accuracy of the proposed R-D model is verified through experiments. Experimental results show that the proposed algorithm improves coding performances substantially.

compressive sensing; rate-distortion; coding

蔣偉，楊俊杰. 率失真優化的壓縮感知圖像編碼[J].電視技術，2016，40(11)：12-17. JIANG W，YANG J J. Rate-distortion optimized compressive sensing based coding[J].Video engineering，2016，40(11)：12-17.

TN915

A

10.16280/j.videoe.2016.11.003

國家自然科學基金項目(61401269；61371125)；上海市自然科學基金項目(14ZR1417400)；地方能力建設項目(14110500900；15110500900)

2016-06-24