包含函數Γ（x）的對數完全單調函數及不等式

李晶晶，孫梅

（西北大學數學學院，陜西西安710127）

包含函數Γ（x）的對數完全單調函數及不等式

李晶晶，孫梅

（西北大學數學學院，陜西西安710127）

基于歐拉Gamma函數的奇特性質，利用函數的單調性理論以及一些簡單函數的積分表達式與級數展開式證明了函數fα（x），α∈R和函數s（x）的對數完全單調性，并利用該性質得出了一個比原有結論更精確的不等式以及一個雙邊不等式.

完全單調性；對數完全單調性；Gamma函數；充分條件

1 引言

歐拉Gamma函數是一種非常重要的特殊函數，在數學的許多分支以及物理，工程等學科中都有著十分重要的重要作用.歐拉Gamma函數定義為：

函數

作為函數Γ（z）的對數的導數，被稱為digamma函數.對于i∈｛0｝∪N，導函數ψ（i）（z）被稱為polygamma函數，其中N表示所有正整數的集合.特殊地，函數ψ′（z）和ψ′′（z）被稱為trigamma函數和tetragamma函數.

稱函數f在區間I上完全單調，如果f在區間I上存在各階導數且滿足：

如果不等式（1）嚴格成立，則稱函數f在區間I上嚴格完全單調［1-4］.

稱函數f在區間I上對數完全單調，如果它的對數lnf在區間I上存在各階導數且滿足：

如果不等式（2）嚴格成立，則稱函數f在區間I上嚴格對數完全單調［1-4］.

2 引理

為了證明主要結論，先給出下面的引理.

3 主要結論

4 結束語

本文利用函數的單調性理論，指數函數的級數展開式以及一些簡單函數的積分表達式證明了函數fα（x），α∈R和函數s（x）的對數完全單調性，利用該性質，由定理3.1和定理3.2分別得出比（10）式更加精確的不等式（9）和一個雙邊不等式.通過查閱資料，還了解到q-gamma函數的一些相關概念及其與Gamma函數的關系，在今后的工作中可以考慮研究其完全單調單調性，并得出一些很好的結論.

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Logarithmically completely monotonic functions and inequalities involving the function Γ（x）

Li Jingjing，Sun Mei
（College of Mathematics，Northwest University，Xi′an710127，China）

Based on unique properties of the gamma function，this paper proves the logarithmically complete monotonicities of the function fα（x），α∈R and the function s（x）by the monotonicity theory，the integral representations and the series expansions of some simple functions.Using the property，it concludes a inequalities that is more accurate than the original conclusion and a two-side inequality.

completely monotonicity，logarithmically completely monotonicity，Gamma function，sufficient condition

O174.6

A

1008-5513（2016）02-0182-08

10.3969/j.issn.1008-5513.2016.02.009

2015-12-10.

陜西省自然科學基金（2010JM1017）.

李晶晶（1989-），碩士生，研究方向：特殊函數論.

2010 MSC:33B15