基于模態分析法的復合材料頻散曲線特性

陳勇強， 肖 強， 陳 亮， 洪敬賢， 沈 艷

(1.電子科技大學 機械電子工程學院，四川 成都 611731;2.成都信息工程大學 控制工程學院，四川 成都 610225)

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基于模態分析法的復合材料頻散曲線特性

陳勇強1， 肖 強1， 陳 亮1， 洪敬賢1， 沈 艷2

(1.電子科技大學 機械電子工程學院，四川 成都 611731;2.成都信息工程大學 控制工程學院，四川 成都 610225)

針對很難用傳統的數值解析法求解Lamb波在復合材料中傳播時的頻散曲線，提出一種快而有效獲得頻散曲線的方法，通過有限元軟件對結構進行模態分析來獲得Lamb波在結構中傳播時的頻散曲線。首先對Lamb波在薄板結構中傳播的頻散現象進行模態分析，提取各階模態相對應的固有頻率，然后計算得不同頻厚積下Lamb波在薄板中傳播的的相速度和群速度大小;通過Matlab擬合出薄板的頻散曲線。與數值方法得到的頻散曲線進行了對比。結果表明，該方法獲得的頻散曲線與數值方法獲得的頻散曲線相吻合，證明了該方法的正確性，最后運用此方法繪制了Lamb波在復合材料中傳播時的頻散曲線。

復合材料； 模態分析； Lamb波； 頻散曲線

0 引 言

超聲Lamb波檢測技術是一種高效的無損檢測技術，由于復合材料的質量輕、強度高、模量高、壽命久等優勢，復合材料在航空航天、船舶及發動機結構等領域得到廣泛應用，其損傷檢測已經成為研究的熱點[1-5]，而使用超聲Lamb波檢測技術最大難題就是怎樣選擇合適的激勵頻率產生Lamb波。與各向同性介質相比，復合材料中Lamb波傳播更加復雜，使用Lamb波對復合材料無損探傷時，會產生更多的模態，需要選擇合適的激勵信號中心頻率來激發超聲導波，而選擇合適激勵信號中心頻率需要確定超聲導波在復合材料結構中傳播時的頻散特性，因此研究超聲導波在復合材料結構中傳播特性成為急需解決的問題[6-10]。

本文通過有限元軟件對結構進行模態分析來獲得Lamb波在結構中的傳播時的頻散曲線。提出了一種快而有效獲得頻散曲線的方法，首先對Lamb波在薄板結構中傳播的頻散現象進行模態分析，提取各階模態相對應的固有頻率，然后計算得到不同頻厚積下Lamb波在薄板中傳播的的相速度和群速度大小，通過Matlab擬合出薄板的頻散曲線。與數值方法得到的頻散曲線進行了對比，結果表明，該方法獲得的頻散曲線與數值方法獲得的頻散曲線相吻合，證明了該方法的正確性，最后運用此方法繪制了Lamb波在復合材料中傳播時的頻散曲線。

1 振動模態分析頻散特性的計算原理

1.1 頻散特性理論分析

在給定擾動源及邊界條件、初始條件下，彈性體的動力響應有波動解和振動解兩種形式，而有限元進行分析的過程中，首先需要將結構劃分為任意數量的離散有限單元。在每一個單元中，多項式公式被假定為此單元的位移場，該位移場與節點的位移有關并被用來定義每個單元，通過傅里葉級數可以把波動解和振動解聯系起來，則彈性體的振動方程[11]可表示為

(1)

式中:M為結構的質量矩陣;C為結構黏滯阻尼矩陣;K為結構剛度矩陣;u為位移向量;F為施加負載向量。本文中結構被假定為一個復雜的波導結構，整個波導結構沿著x方向被分為一系列周期性單元結構，在周期性結構中，選取一個周期的子結構，左右的邊界截面用a和b表示，系統內部的自由度不包括左右邊界，用i表示，模型的長度用L表示,如圖1所示。

圖1 單元模型

現實情況下，對結構進行模態分析，可以通過ABAQUS中無載荷、無阻尼時的動態響應分析得到，即式(1)中F=0和C=0,則式(1)變為

(2)

超聲導波的傳播特性主要體現在位移場表達式中：

u=U0ejkxe-jωt

(3)

(4)

當子系統發生諧振動，把式(3)和(4)代入式(1),得：

(5)

當自由導波在子結構傳播時，Fi=0。由于波在結構中傳播時，需要利用子結構左右兩邊的節點把波動從一個子結構傳遞到下一個子結構，所以子結構左右兩邊節點力矢量F1和F2不為零。由布洛赫定理[12]可知,相鄰模型單元之間位移比是eu，u是傳播常數，對于沿著x軸傳播的波，u=jkL，其中k是波數，單元模型長度為L，a,b兩邊的節點被周期性單元模型長度隔開，由于a,b兩邊的節點自由度完全一致，則兩截面a,b的節點位移關系為

u2=ejkLu1

(6)

與位移相似，截面a、b節點力之間的關系為

F2=-ejkLF1

(7)

由歐拉公式知：

ejkL=coskL+isinkL

(8)

為了快速、簡潔地求出所需模態頻率，只考慮：

ejkL=cos2πp+jsin2πp=1

(9)

由式(8)和(9)可知：kL=±2pπ，其中p=0,1,2,…,∞，則式(6)、(7)可化為：

U2=U1,F2=-F1

(10)

由式(10)可知，在式(4)中的位移向量可寫為：

(11)

(12)

(13)

式中：ω2是方程的特征值，它的平方根為該結構的固有頻率。求解式(13)，解得該式有n個特征頻率和與其對應的n個特征向量，由kL=±2pπ和k=2π/λ可推得：

λ=L/p，p=0,1,2,…

(14)

由式(10)可知，要獲得結構的固有頻率，只需左右邊界的對應的每個節點位移滿足：結構左右邊界對應節點耦合，即：

UXa=UXb,UYa=UYb,UZa=UZb

(15)

由相速度公式cp=λf和群速度公式

推導知：

式中:p為振型中波長的個數(1,2,3,…)；L為原始模型的長度；L′為新模型的長(L′=L+ΔL)；f1、f2為原始模型和新模型對應同一模態同階振型的頻率;角頻率ω=2πf。

1.2 網格尺寸和模型長度的確定

由Mace等[13]提出一個波長范圍內最少擁有10個網格才能保證計算的收斂精度和一個波長范圍內應有20個網格[14]可知，網格大小應滿足：

(18)

式中:le為單元尺寸;λmin是最小波長。相速度和群速度求解收斂精度不僅與單元尺寸的大小有關，還取決于模型長度[15]，增大模型長度L可以有效地降低相鄰波數頻率差。當模型無窮大時，相鄰波數的頻率差趨近于無窮小，計算結果和精確值誤差趨近于無窮小。但是受到實際情況的限制，所以取L=(10～20)h，其中h是模型的厚度。選擇合適的模型長度之后，計算群速度必須對一個長度為L′=L+ΔL新模型進行有限元分析，其中ΔL=(0.005～0.025)L。

2 有限元模態分析法的正確性驗證

采用鋁板為研究對象，密度ρ=2 700 kg/m3，泊松比u=0.33，彈性模量E=70 GPa。單元模型厚度h=4 mm，取L=15 mm，h=60 mm，寬度b=1 mm，ΔL=0.005L。應用三維實體結構單元，通過計算單元尺寸le=0.2 mm，鋁板截面載荷如圖2所示。識別各模態振型如圖3所示。

圖2 鋁板截面載荷示意圖

圖3 Lamb波各模態振型圖

通過ABAQUS軟件后處理模塊“結果”→“分析步/幀”提取與振型對應的各階頻率，利用Matlab數據處理功能繪制Lamb波相速度和群速度頻散曲線，如圖4和圖5所示。

圖4 鋁板中Lamb波相速度頻散曲線

圖5 鋁板中Lamb波群速度頻散曲線

從圖4和5中可見，有限元群速度頻散曲線與理論分析完全符合，為了進一步驗證該法的正確性，對分析結果進行相對誤差計算[16]。分別從有限元頻散曲線和解析解頻散曲線中隨機抽(0.2～2.5)MHz·mm范圍內，A0、S0以及A1模態對應的相速度和群速度，相對誤差計算結果如表1所示。由表1可以看出，無論是相速度還是群速度，模態分析計算結果與理論結果之間的相對誤差很小，并且都小于5%，從而證明了有限元模態分析法的正確性。

表1 解析解與有限元解的相對誤差 %

3 復合材料頻散曲線的繪制

使用有限元模態分析法繪制超聲Lamb波在復合材料中傳播時的頻散曲線，選擇單向板復合材料T300/QY8911作為復合材料層合板的基本組成單元，材料性能參數分別為：E1=126，E2=8.8，E3=8.8，G12=4.47，G23=4.47，G13=3.0，ν=0.3，ρ=1 614。

模態分析結束后，進入ABAQUS可視化模塊，進行模態識別。通過對各階模態的識別發現，復合材料單向板的振型與板結構相似，采取與單向板同樣的假設。超聲波在層合板結構中波傳播的模態分為對稱模態(S型)和非對稱模態型)，使用與板波相同的字母表示復合材料層合板的各模態。由于超聲導波在復合材料傳播時模態很多，選擇A0，S0，A1，S1，A25種模態進行分析，識別不同模態對應的振型，結合每種模態本身性質，獲得各模態振型如圖6所示。

圖6 復合材料層合板各階振型圖

通過Matlab數據處理繪制的Lamb波相速度和群速度頻散曲線如圖7和圖8所示。由圖可知，在任一頻率下，至少存在兩種或者兩種以上的模態，并且隨著頻厚積的增加導波模態迅速增加，符合導波的多模態性。另外，對于每個單獨模態，隨著頻率的變化導波的相速度隨著變化，符合導波的頻散特性，從而初步驗證了該頻散曲線的正確性。又由超聲導波數值模擬理論以及有限元模態分析法的驗證可知，通過有限元模態分析繪制的頻散曲線是有效的，更進一步說明此頻散曲線是正確的。

圖7 復合板中Lamb波相速度頻散曲線

圖8 復合板中Lamb波群速度頻散曲線

4 結 語

本文通過對超聲波傳播特性的分析，提出一種快速、簡便、有效繪制頻散曲線的方法：有限元模態分析法。首先使用ABAQUS軟件繪制鋁板結構中Lamb波的頻散曲線，驗證有限元模態分析法的正確性，接著對復合材料結構進行模態分析，得到與各個模態振型對應的頻率。通過Matlab進行數據擬合，繪制復合材料的頻散曲線。基于有限元模態分析法繪制頻散曲線具有廣泛適用性，特別是對于一些不易用解析法獲得頻散曲線的結構，該方法具有有很大的應用前景。

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Research of Dispersion Curves for Composites Material by Modal Analysis Method

CHENYong-qiang1,XIAOQiang1,CHENLiang1,HONGJing-xian1,SHENYan2

(1. School of Mechatronics Engineering, University of Electronic Science and Technology of China, Chengdu 611731,China; 2. School of Control Engineering, Chengdu University of Information Technology, Chengdu 610225, China)

It’s difficult to obtain the dispersion curves of Lamb waves propagating in composite materials by traditional numerical analytics method. A fast and efficient method is presented to obtain the dispersion curves. The dispersion curves are obtained by simulating the Lamb wave propagation in samples based on the finite element modal analysis. Firstly, modal analysis of Lamb waves dispersion phenomena in thin plates is done, and the natural modal frequency of different modal is extracted. Then the phase velocity and group velocity of Lamb wave propagating in the thin plate at different frequency-thickness are calculated. The dispersion curves of Lamb waves propagating in thin pates are fitted in MATLAB and compared with the dispersion curve obtained by the numerical analytics method. The results show that the dispersion curves are coincident with the curves obtained by traditional numerical analytics method. It also shows the accuracy of this method. Finally, the method is applied to get the dispersion curves of Lamb waves propagating in composite materials.

composite materials; modal analysis; Lamb wave; dispersion curves

2015-07-13

國家自然科學基金(61472050);中央高校基本業務費(ZYGX2012J099);成都市科技局基金(11DXYB281JH-027);電子科技大學教育發展基金項目(2013XJYEL024)資助

陳勇強(1977-)，男，湖北荊門人，講師，主要從事機電測控領域的相關研究。

Tel.：028-61831110; E-mail:chenyongqiang@uestc.edu.cn

TG 115.6

A

1006-7167(2016)04-0012-05